广义逆的反序律及校正矩阵的特征值问题

摘要

众所周知，对于多个非奇异矩阵乘积的逆有如下的反序律成立：(A1A2…Am)-1= A-1mA-1m-1…A-11。 然而，当矩阵乘积A1A2...Am奇异时(此时，矩阵Ai可为奇异矩阵或长方形矩阵)，这种所谓的反序律对于广义逆就不一定成立了.如何给出广义逆反序律成立的充要条件是矩阵广义逆理论中一个重要而又有趣的问题. 假设Ai∈Cli×li+1,i=1，…，m为任意的m个复矩阵，本文利用广义Schur补的极大极小秩这一途径研究矩阵广义逆如下反序律Am{i，j，k}Am-1{i，j，k)…A1{i，j，k)()(A1A2…Am){i，j，k}成立的充要条件，其中Ai{i，j,k}表示矩阵Ai的{i，j，k}-广义逆构成的集合，第三章中给出了下列反序律关系成立的充分必要条件：Am{1,3}Am-1{1,3}… A1{1,3}()(A1A2…Am){1,3},Am{1,2,3}Am-1{1,2,3}…A1{1,2,3}()(A1A2…Am){1,2,3},Am{1,2,4}Am-1{1,2,4}… A1{1,2,4}()(A1A2…Am){1,2,4}。 作为上述反序律的一个推广，第四章给出了两矩阵乘积的{1，3M}-、{1，4N}-、{1，2，3M}-和{1，2，4N}-广义逆反序律成立的充分必要条件.第五章给出了任意多个矩阵乘积的广义逆正序律以及任意多个矩阵乘积的广义逆混合反序律成立的充分必要条件.第三、四、五各章中对反序律、正序律及混合反序律给出的充要条件均是由已知矩阵的秩所满足的某种等式所构成的，其结果简单明了，容易验证. 第六章利用广义Schur补的极小秩和一些已知的经典结论，讨论了一类特殊Schur补的正则逆问题.作为矩阵广义逆反序律的一个应用，给出了这类Schur补正则逆的显式表达式。 最后，第七章研究了某些具有特殊结构的秩-r校正复矩阵的特征值问题.利用m维线性系统中的Leverrier型算法，给出了求解此类矩阵特征多项式及特征值的一个快速、有效的算法.数值结果表明该算法是可行有效的.

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章前 言

1.1符号简介

1.2问题综述和研究动机

第二章准备知识

2.1广义逆的基本概念

2.2广义逆的基本性质

第三章矩阵乘积广义逆的反序律

3.1矩阵乘积{1}-逆的反序律

3.2矩阵乘积{1，3}-逆和{1，4}-逆的反序律

3.3矩阵乘积{1，2，3}-逆和{1，2，4}-逆的反序律

3.4矩阵乘积Moore-Penrose逆的反序律

第四章矩阵乘积加权广义逆的反序律

4.1引言

4.2两矩阵乘积{1，3M}-逆和{1，4N}-逆的反序律

4.3两矩阵乘积{1，2，3M}-逆和{1，2，4N}-逆的反序律

第五章矩阵乘积广义逆的正序律及其混合反序律

5.1矩阵乘积{1}-逆的正序律

5.2矩阵乘积广义逆的混合反序律(Ⅰ)

5.3矩阵乘积广义逆的混合反序律(Ⅱ)

第六章Schur补(O-CD-1B)的正则逆

6.1 Schur补(O-CD-1B)正则逆的一般表示形式

6.2 Schur补(O-CD-1B)正则逆的广义逆表示形式

第七章秩-r校正矩阵的特征值问题

7.1引言

7.2秩-r校正矩阵A+UV*的特征值问题

参考文献

在读期间获奖情况和发表的论文

致 谢