鞍点线性系统的矩阵分裂迭代方法和预处理技术研究

摘要

当今,很多工程和物理应用问题,如计算流体动力学,计算电磁学,约束优化问题等,最后都会归为线性方程组的求解.一些微分方程,例如Navier-Stokes方程,求它们的解析解是非常困难的,此时研究它们的数值解就变得尤为重要.一般采用有限差分或有限元等方法去离散这些微分方程为大型稀疏的线性方程组,这样就把微分方程的数值解问题最后都转化为对应的线性方程组求解问题.因此,研究这些线性方程组有效的解法具有非常重要的理论意义和应用价值.本学位论文主要研究了鞍点线性系统的矩阵分裂迭代方法和预处理技术;还研究了基于双分裂的并行多分裂迭代方法.
　　首先,关于非对称鞍点问题,提出了一类修正的位移分裂(MSS)预处理子,同时MSS预处理子对应的MSS迭代方法的收敛性质会被讨论;另外,进一步提出了局部的MSS(LMSS)预处理子,也讨论了LMSS预处理子对应的LMSS迭代方法的收敛性质;接着,讨论了MSS和LMSS预处理子的最优参数的选取方法;数值实验验证了MSS预处理子和LMSS预处理子的有效性.
　　其次,提出了广义鞍点问题的正则的埃尔米特和反埃尔米特分裂(RHSS)迭代法和RHSS预处理子,且研究了RHSS迭代方法的收敛性质;接着,推出了修正的RHSS(MRHSS)预处理子,并分析了MRHSS预处理的广义鞍点矩阵的谱性质;此外,分别研究了RHSS和MRHSS预处理子最优参数的选取方法;数值实验验证了RHSS迭代方法的优势,以及RHSS预处理子和MRHSS预处理子的预处理效果.
　　再次,为了克服修正的维数分裂(MDS)预处理子和广义的松弛分裂(GRS)预处理子的不足,给出了松弛的块三角分裂(RBTS)预处理子.因为RBTS预处理子有更简单的块结构,所以这个新的预处理子比MDS和GRS预处理子更容易实施;接着,推导了RBTS预处理的鞍点矩阵的谱分布和最小多项式次数的上界;另外,提出了RBTS预处理子最优参数的选取方法.数值实验证实了RBTS预处理子的有效性.
　　然后,关于广义鞍点问题,给出一类修正的GRS(MGRS)预处理子和一类修正的块三角分裂(MBTS)预处理子;接着,分别研究了MGRS和MBTS预处理的鞍点矩阵的谱性质及它们的最小多项式次数的上界;进而,分别讨论了MGRS和MBTS预处理子最优参数的选取方法;另外,应用这两类新的预处理子到三维线性化的Navier-Stokes方程,并分别讨论了对应的MGRS和MBTS预处理子最优参数的选取;最后,通过数值实验来验证了两类新预处理子的有效性.
　　最后,基于系数矩阵的双分裂提出了并行多分裂迭代法和并行多分裂两阶段迭代法.当系数矩阵为单调矩阵或H矩阵时,研究了新方法的收敛性,也进一步讨论了新方法的比较结果.此外,提出了鞍点线性系统的基于双分裂的多分裂迭代法.

目录

声明

第一章 绪 论

§1.1 研究背景和动机

§1.2 研究现状

§1.3 本文主要研究内容和创新点

§1.4 论文基本框架

第二章 非对称鞍点问题修正的位移分裂预处理子

§2.1 引言

§2.2 MSS预处理子

§2.3 LMSS预处理子

§2.4 最优参数的选取

§2.5 数值实验

第三章 广义鞍点问题正则的埃尔米特和反埃尔米特分裂迭代方法

§3.1 引言

§3.2 广义鞍点问题的 RHSS迭代方法

§3.3 广义鞍点问题的 RHSS迭代方法收敛性

§3.4 广义鞍点矩阵的 MRHSS预处理子

§3.5 最优参数的选取

§3.6 数值实验

第四章 广义鞍点问题的松弛块三角分裂预处理子

§4.1 引言

§4.2 MDS预处理子和 GRS预处理子简介

§4.3 RBTS预处理子

§4.4 预处理矩阵 P?1RBTSA 的谱性质

§4.5 RBTS预处理子的最优参数估计

§4.6 数值实验

第五章 广义鞍点问题的修正的块三角分裂预处理子

§5.1 引言

§5.2 MGRS预处理子和其预处理的鞍点矩阵的谱性质

§5.3 MBTS预处理子和其预处理的鞍点矩阵的谱性质

§5.4 预处理子 P MGRS 和 P MBTS 的最优参数估计

§5.5 MGRS和 MBTS预处理子应用到三维 Navier-Stokes方程

§5.6 数值实验

第六章 基于矩阵双分裂的多分裂迭代方法的收敛和比较结果

§6.1 引言

§6.2 一般线性方程组基于双分裂的并行多分裂迭代法

§6.3 一般线性方程组基于双分裂的多分裂迭代法收敛性结果

§6.4 一般线性方程组基于双分裂的多分裂迭代方法比较结果

§6.5 基于双分裂的并行多分裂迭代法应用于鞍点问题

第七章 总结与展望

§7.1 总结

§7.2 展望及未来工作

参考文献

攻读博士学位期间完成的成果

致谢