非线性Schr(¨o)dinger方程(组)normalized解的存在性及其轨道稳定性

摘要

本文主要研究定义在上的两类非线性Schr?dinger方程组和一类四次非线性Schr?dinger方程ormalized解的存在性及其轨道稳定性，其中normalized解为相应的能泛函在L2范数约束条件上的临界点.我们所运用的主要工具为变分法. 本文主要分为六部分. 贫先我们描述所研究的问题及其背景，并且陈述本文的主要结果.其次考虑定义在RN上的一类非线性Schrodinger方程组 此处公式省略 其中 N ≥1,μ1,μ2,β> 0,2 < p1,p2<2* 此处公式省略 特别地，参数λ1，λ2是未知的，且为Lagrange乘子. 若 N≥1 ，μ1,μ2,β> 0,2 1,r1+ r2<2+4/N ,相应的能量泛函在约约束条件上是下方有界的，因此我们可以引进一个全局极小化问题，且其极小元为上述问题的解. 此时,运用coupled对称递减軍排理论，我们可知任意极小化序列是紧的，且极小元是轨道稳定的. 另外，若 N ≥1,μ1,μ2,β> 0,2 < p1,p2< 2+4/N，r1，r2> 1,r1+ r2 >2+4/N 或者 N≥1，μ1,μ2,β> 0,2 < p1,p2 > 2+4/N >1 r1,r2 <2+4/N，能量泛函在约束条件下方是无界的. 在这种情形下，我们建立两个解的存在性,其中一个是局部极小元，另一个是鞍点类型的解. 此外，我们证明局部极小元是轨道稳定的。 接着考虑定义在R3上的一类具有部分调和位势的非线性Schr?dinger方程组 此处公式省略 其中μ1,μ2，β > 0,2 < p1,p2 < 10/3 ,r1,r2 >1,r1+ r2 < 10/3 ，且参数 λ1λ2 为Lagrange乘子. 此时，能量泛函在约束条件上是下方有界的，根据coupled对称递减重排理论，我们建立相应极小化问题任意极小化序列的紧性以及极小元的轨道稳定性。 然后研究定义在上的一类四次非线性Schr?dinger方程 此处公式省略 其中N≥1,γ>0,σN >≥4 ,且参数α为 Lagrange乘子. 基于Pohozaev类型的流形，我们建立基态解和多个径向激发态解的存在性. 另外，我们证明任意径向对称基态解是不稳定的。 最后，我们给出一些与本文相关的注记，并且提出一些有待进一步研究的有趣问题。

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