按向量形式实现的隐式重启块Arnoldi方法

摘要

随着科学和技术的发展，越来越多的应用和计算问题需要求解形如Ax=λx的大型稀疏矩阵的特征值问题.而且在实际的应用问题中，我们往往只需要其中少数几个特征值.众所周知，Krylov方法非常适用于这样的计算问题，而其中的Arnoldi方法是—个比较好的求解大型稀疏矩阵的少数几个近似特征值的迭代方法.Sorensen在文献[24]中给出著名的单向量的隐式重启Arnoldi方法.后来，Lehoucq和Maschhoff把隐式重启技术推广用于块Arnoldi方法[10].该方法具有良好的收敛性质，但必须特别注意Hessenberg结构的保持.在一篇关于模型降阶问题的文章中[6],Freund介绍了一种按向量形式实现的块Arnoldi方法，它大大地简化了判断何时需要压缩线性相关向量的操作，同时也使压缩操作更容易进行.因此，按向量形式构造Krylov子空间比按块形式的构造方式更可取. 本文的主要工作是开发了按向量形式实现的隐式重启块Arnoldi算法来求解大型特征值问题.我们指出：隐式重启技术可以与按向量形式实现的块Arnoldi方法结合(定理3.2.2)，而且按向量形式的实现方式比按块形式的实现方式收敛更快(定理3.2.4)，这是由于后者要保持Hessenberg结构而前者的处理方式不再受这个限制的缘故.最后，我们的数值实验表明，该算法结合了块方法的优点和按向量方式实现的优点，对实的重，稠密特征值的求解非常有效，收敛速度相当快. 本文的结构和内容如下：在第一章，我们在第一节对特征值问题的背景及解法探索历史给出了一个比较详细的概述.第二节介绍了块Arnoldi过程及块方法较非块方法的优缺点.第三节讲述了将隐式重启技术用于块Arnoldi方法的原理.第二章对按向量方式实现的块Arnoldi过程作了详细的介绍，并在本章的最后举了一个具体的算例以方便理解.本文在第三章中首先证明了隐式重启技术可以与按向量形式实现的块Arnoldi方法结合，接着开发了按向量形式实现的隐式重启块Arnoldi算法来求解大型特征值问题的算法，最后，我们用理论和数值实验说明我们所开发的按向量形式实现的隐式重启块Arnoldi算法所具有的优越性.

目录

文摘

英文文摘

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第一章引言

第一节特征值问题概述

第二节块Arnoldi过程

第三节隐式重启块Arnoldi方法

第二章Arnoldi-type算法

第一节块Krylov子空间

第二节基向量

第三节Arnoldi-type算法

第三章按向量形式实现的隐式重启块Arnoldi方法

第一节Arnoldi分解

第二节Arnoldi分解的更新

第三节求解特征值问题的完整算法

第四节数值实验

参考文献

致谢