非凸函数的凸化方法

摘要

本文主要针对下列三类重要的“非凸问题”用“凸化”的思想方法展开研究：(1)非凸函数的优化和扰动优化的存在性；(2)(非凸函数的)广义导数(次微分)用其局部凸化函数的次微分逼近问题；(3)度量空间(可以看作为Banach空间中的子集)上度量凸函数的基本性质与其凸化函数的关系．更多地借助局部凸化、度量空间等距嵌入等新方法，最后我们得到诸如下列意料之外的结果： A：一个广义实值函数的无限制线性扰动优化在某点存在等价于它的凸化函数在该点取值不变且次微分存在(第二章引理2.1.2)，以及一个函数可以延拓成凸函数的特征条件(第二章定理2.1.3，推论2.1.4)； B：我们借助非凸函数的局部凸化方法，在第三章引入了一种新的广义次微分(第三章定义3.1.1，定义3.1.2)，事实证明它继承了经典次微分的诸多性质(第三章定理3.1.5，定理3.1.6，定理3.1.10)，克服了由于Clarke导数(集合)太大而带来的不便，保留了原函数诸如可微性等良好性质(第三章定理3.1.13，推论3.1.14)，可有效应用于Clarke次微分的逼近(第三章推论3.1.15)； C：虽然Banach空间上“凸函数”和“度量凸函数”是互不包含的概念(第四章反例4.2.5，反例4.3.5)，但“一维”度量凸函数实质就是凸函数．这样就为第五章引入诸如度量凸函数的方向导数等许多基本而又是非常重要的概念(第五章定义5.1.3，定义5.1.4)和建立相应的微分理论(第五章定理5.2.1，定理5.2.3，定理5.2.4)奠定了基础．

目录

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第一章序言

第二章非凸函数可凸化特征

§2.1函数可凸化的充分必要条件

§2.2关于次微分与扰动最优化问题之间联系的注记

第三章一种新的广义导数及其应用

§3.1广义导数和广义次微分的基本性质

§3.2广义导数和广义次微分的应用

第四章度量凸函数的凸化

§4.1概述

§4.2度量凸函数的基本性质

§4.3 Banach空间完备度量凸集上度量凸函数的凸化

§4.4 Banach空间开集上度量凸函数的凸化

第五章度量凸函数的可微性

§5.1概述

§5.2完备度量凸度量空间上度量凸函数的可微性

§5.3 Banach空间开集上度量凸函数的可微性

参考文献

致谢