斐波那契猫映射的经典与量子动力学研究

摘要

量子混沌是一门基础学科旨在探索经典混沌的量子表现。周期驱动系统在量子混沌研究中起着重要作用，经过三十多年广泛深入的研究，人们已在这类系统中发现了许多新现象，如动力学局域化，量子共振等。相比之下，人们对准周期驱动系统的了解显得较为有限，尽管对准周期驱动系统的研究也有着重要的理论意义和应用价值。周期驱动猫映射形式简单，在揭示混沌动力系统的系综运动规律方面起到了重要作用。然而，准周期驱动系统的系综运动性质却始终缺乏研究。本文构造斐波那契猫映射，并以此为例利用粗粒熵和维格纳函数研究准周期驱动系统的经典与量子动力学性质。
　　我们首先定义了一个更一般的周期驱动猫映射，计算了它的经典和量子粗粒熵随时间的演化，发现在弛豫阶段，经典和量子粗粒熵以同一种方式随时间增长，其增长率恰好等于系统的最大李亚普诺夫指数。达到平衡态后，经典粗粒熵保持不变，而量子粗粒熵则表现出一系列无规涨落。如果用粗粒熵的时间平均作为平衡态下量子涨落强度的度量，我们发现在周期猫映射中量子涨落正比与普朗克常数的一次方。其次，我们定义了斐波那契猫映射，发现它的粗粒熵和周期猫映射的粗粒熵有着类似的弛豫行为，而达到平衡态后，斐波那契猫映射的量子涨落正比与普朗克常数的平方，与在周期驱动猫映射中得到的结果有着定性的区别。利用遍历性假设，我们对该结果予以解释，推断其具有一般性及鲁棒性，并得到数值计算结果的验证。最后，我们计算了周期猫映射和斐波那契猫映射的粗粒密度分布和粗粒维格纳函数，进一步验证了有关粗粒熵的结果。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 混沌

1．2 量子混沌

1．3 准周期驱动系统

参考文献

第二章 周期驱动猫映射

2．1 模型定义

2．2．1 猫映射

2．2．2 周期猫映射

2．2 研究方法

2．2．1 特征函数

2．2．2 维格纳函数

2．2．3 粗粒熵

2．3 数值结果

2．2．1 粗粒熵

2．2．2 粗粒维格纳函数

2．4 疤痕

2．5 小结

参考文献

第三章 准周期驱动猫映射

3．1 斐波那契猫映射

3．2 粗粒熵

3．3 特征函数空间遍历性

3．4 粗粒化维格纳函数

3．5 小结

参考文献

第四章 总结与展望

参考文献

硕士期间发表文章