准凸再生核无网格法

摘要

无网格形函数是通过没有拓扑连接关系的离散点进行构造，不依赖于单元且具有任意高阶光滑的特性，能够有效避免有限元计算中由于单元有序连接引起的一系列问题。但是，传统的无网格形函数不具备凸近似的性质。凸近似是指形函数具有非负特性，对应的质量矩阵元素均为非负的，具有良好的频谱特性和计算精度。现有基于最大熵理论的无网格法通过引入指数基函数构造出具有凸近似性质的形函数。但与传统的再生核无网格形函数相比，最大熵无网格形函数需要迭代求解，计算效率较低，并且难以推广到任意高阶情况。
　　本文在具有广泛应用的传统再生核无网格法的基础上，提出具有凸近似主要性质的新型准凸再生核无网格法。该方法的形函数不但具有凸近似的主要性质，而且继承了传统再生核无网格法中形函数不需要迭代、计算效率高、任意高阶协调等优点。在准凸再生核无网格形函数的构造过程中，首先在传统再生核无网格再生条件的基础上通过引入节点松弛参数建立新型的任意高阶松弛再生条件。其次，基于这些松弛再生条件和传统再生核无网格的构造方法，建立任意高阶且具有凸近似主要性质的准凸再生核无网格形函数。该形函数在内部区域几乎均为正值，且形函数在边界区域的负值部分也有明显的减小。另外值得指出的是准凸再生核形函数导数比传统再生核形函数导数更加光滑。文中采用准凸再生核无网格形函数和伽辽金方法建立了准凸再生核无网格法，并对杆、膜、弹性力学等二阶问题以及梁板等四阶问题进行了详细的分析。数值结果表明，与传统再生核无网格法相比，准凸再生核无网格法在静力和自由振动分析方面都具有更高的计算精度，且在自由振动分析方面的优势更加显著。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 引言

1．2 无网格法研究的历史及现状

1．3 本文的选题背景

1．4 本文的主要内容

第二章 再生核无网格法

2．1 一维再生核无网格形函数

2．2 二维再生核无网格形函数

2．3 核函数的选取

2．4 小结

第三章 一维准凸再生核无网格法

3．1 一维二阶准凸再生核无网格形函数

3．2 一维任意阶准凸再生核无网格形函数

3．3 一维杆算例

3．3．1 静力问题控制方程和无网格离散

3．3．2 自由振动问题的控制方程和无网格离散

3．3．3 结果与讨论

3．4 小结

第四章 二维准凸再生核无网格法

4．1 二维二阶准凸再生核无网格形函数

4．2 二维任意阶准凸再生核网格形函数

4．3 数值算例

4．3．1 二维膜静力问题的控制方程和无网格离散

4．3．2 二维膜自由振动问题的控制方程和无网格离散

4．3．3 二维弹性力学问题的控制方程和无网格离散

4．3．4 方膜算例结果与讨论

4．3．5 悬臂梁算例结果与讨论

4．4 小结

第五章 薄梁板问题的准凸再生核无网格分析

5．1 Euler梁静动力分析

5．1．1 Euler梁静力问题的控制方程和无网格离散

5．1．2 Euler梁自由振动问题的控制方程和无网格离散

5．1．3 Euler梁结果与讨论

5．2 薄板静动力分析

5．2．1 薄板静力问题的控制方程和无网格离散

5．2．2 薄板自由振动的控制方程和无网格离散

5．2．3 薄板结果与讨论

5．3 小结

第六章 结论与展望

6．1 结论

6．2 展望

参考文献

致谢

作者攻读硕士学位期间撰写的论文