双曲守恒律和Hamilton-Jacobi方程的高阶中心HWENO有限体积方法研究

摘要

本文研究了基于有限体积中心格式和交错网格的高阶中心Hermite WENO(weighted essentially non-oscillatory,HWENO)数值格式的构造及其应用，在空间上采用HWENO重构进行离散，时间上采用Lax-Wendroff型方法或natural continuous extension of Runge-Kutta(NCE-RK)方法进行离散。相比于中心WENO格式，这里使用的空间重构更加紧致;而相比于传统的迎风型HWENO格式，我们的方法不需要进行通量分裂或计算数值流通量。本文的具体内容如下:
　　1.构造了一类求解双曲守恒律的高阶中心HWENO格式，该格式采用基于解及其一阶导数的HWENO重构作为空间离散方法，该重构不仅在光滑处具有高阶精度，而且在间断处具有本质无振荡性质。在二维情形下，该重构为真二维重构。对于方程组情形，为了保证格式的无振荡性质，在重构单元平均值时需进行局部特征分解。一系列一维和二维的数值实验表明了格式求解光滑和非光滑问题时的高分辨率性质和鲁棒性。
　　2.构造了一类新的求解双曲守恒律的高阶中心HWENO格式。区别于前一类中心HWENO格式，该格式的一个重要组成部分在于它的空间HWENO重构，该重构基于解的零阶和一阶矩，并且对于高维空间，该重构可以按逐维的方式进行，使得该格式在高维情形下变得更加简单和高效。同时，该格式也具有一般中心HWENO格式所具有的好性质:重构模板的紧致性，不需要通量分裂或数值流通量，高阶精度和本质无振荡性质。我们通过大量的数值实验表明了方法的有效性。
　　3.基于Hamilton-Jacobi(HJ)方程的表达形式与双曲守恒律极其相似这一事实，我们将基于矩重构的求解双曲守恒律的中心HWENO格式，应用于求解一维和二维HJ方程，它结合了中心格式和HWENO空间重构的优点。一般来说，设计直接求解HJ方程的有限体积格式并不简单，其中一个重要的环节就是如何设计能保证格式稳定的数值Hamiltonians。得益于中心格式框架，该格式既不需要通量分裂也不需要计算数值流通量。同时，解的零阶和一阶矩用于空间的HWENO重构，该重构比WENO重构更加紧致。对于二维情形，该空间重构可以采用逐维的方式进行。大量的数值实验验证了格式在近似求解HJ方程时的有效性。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 问题研究背景及意义

1．2 研究现状

1．3 研究动机

1．4 研究内容与结构安排

第二章 求解双曲守恒律的高阶中心HWENO格式

2．1 采用Lax-Wendroff时间离散的中心HWENO格式

2．2 采用NCE-RK时间离散的中心HWENO格式

2．3 数值实验

2．4 结论

第三章 基于矩重构的逐维高阶中心HWENO格式

3．1 采用Lax-Wendroff时间离散的中心HWENO格式

3．2 采用NCE-RK时间离散的中心HWENO格式

3．3 数值实验

3．4 结论

第四章 求解Hamilton-Jacobi方程的逐维高阶中心HWENO格式

4．1 采用Lax-Wendroff时间离散的中心HWENO格式

4．2 采用NCE-RK时间离散的中心HWENO格式

4．3 数值实验

4．4 结论

第五章 总结与展望

5．1 论文总结

5．2 论文展望

参考文献

在学期间发表的学术论文与研究成果

致谢