Boussinesq-Burgers方程的Painleve分析及其精确解

摘要

Painleve分析方法是判别非线性微分方程可积性和求精确解的一种十分有效的方法. 本文利用Painleve分析方法，研究(1+1)维和(2+1)维Boussinesq-Burgers 方程(以下简称B-B方程)，得到不同情形下的Darboux-Backlund 变换，求出不同类型的孤立子解. 主要内容如下: (1) 首先研究(1+1)维B-B 方程（公式略），利用Painleve分析，得到方程的四个不同分支. 然后分别对每一个分支进行分析，证明了他们具有Painleve性质，并给出方程的Darboux-Backlund 变换. 最后利用Darboux-Backlund 变换和Schwarz导数方程，求出B-B 方程的孤子解. (2) 对于(2+1)维B-B方程（公式略），利用Painleve 测试方法，证明其具有Painleve 可积性. 给出方程的Darboux-Backlund 变换和孤子解. 然后用Painleve 截断得到的Darboux-Backlund 变换，对方程做相关双线性变换，通过双线性方程求解方程，得到方程的孤子解.两种方法得到的解在某种意义下是相同的. (3) 通过对以上方程的孤子解做图形分析，发现部分双孤子出现了少有的裂变或者聚变现象. 通过对解做渐近分析，揭示了出现聚变现象的原因.