矩阵环的强二和性与有限群环的*-clean性

摘要

近几十年来，利用环中特殊元素的性质来研究环的性质与结构是环论研究中的热点课题之一。
　　第一章介绍了本文的研究背景，涉及到的一些基本概念和预备知识，并且概述了本文的主要结果。
　　第二章主要研究局部环及其扩张的强二和性质。强二和环这一概念是2013年由唐高华和周毅强引进的。2.1节概述了强二和环的背景和研究进展。2.2节列举了关于强二和环的一些基本性质。2.3节研究了局部环及其扩张的强二和性质，包括幂级数扩张、平凡扩张、矩阵扩张。特别地，我们证明了对交换局部环R,R[[x]]，M2(R)，M3(R),Tn(R)的强二和性质仅仅依赖于R的强二和性质。2.4节给出了3阶全矩阵环的两类强二和子环。最后，2.5节总结了关于环的强二和性质的研究，并提出一些猜想和问题。
　　第三章主要研究有限群环的*-clean性质。*-clean环是2010年由Vas引进的。3.1节概述了*-clean环的研究现状。3.2节证明了如果Fq是q阶有限域，G是n阶有限交换群且gcd(q,n)=1，则FqG是*-clean环当且仅当对群G的指数m，存在正整数ω使得qω≡-1(modm)。特别地，若G是一有限循环群，则一个关于有限群环*-clean性质的公开问题就可以被完全解决。最后，我们把主要结果推广到群G是任意有限交换群的情形。3.3节对第三章做了总结，同时也提出了一些公开问题。

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Chapter 1Introduction

1.1 Motivation and Background

1.2 Preliminaries

1.3 Summary of Results

Chapter 2 Strong 2-sum Property of Matrix Rin gs

2.1 Introduction

2.2 Basic Properties of Strong 2-sum Rings

2.3Extensions of Local Rings

2.4Two Strong 2-sum Subrings

2.5 Conclusions

Chapter 3 *-Cleanness of Finit e Group Rings

3.1 Introduction

3.2 Main Results

3.3 Conclusions

参考文献

Publications

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