广义交替方向乘子法的若干理论性研究

摘要

本文主要研究了求解两分块凸优化问题的广义Peaceman-Rachford分裂方法和求解三分块优化问题的广义交替方向乘子法. 首先，由于原有的广义Peaceman-Rachford分裂方法并未对其收敛率作出分析，本文在原有的基础上，进一步补充了这方面的内容，在遍历和非遍历情况下，建立了广义Peaceman-Rachford分裂方法的最坏情形O(1/t)迭代复杂性. 此外，通过数值实验来深入地阐述该算法的收敛速率. 其次,在求解两分块凸优化问题的线性化广义交替方向乘子法基础上,将该算法推广到三块的情形. 然而,对于求解三分块的优化问题,算法在不添加其他相关的条件下，无法保证它的收敛性. 本文在目标函数的约束条件任意两个正交且加速因子有界时,证明了该算法是收敛的. 基于上述条件,在遍历和非遍历情况下建立了该算法的最坏情形O(1/t)收敛率. 进一步地，通过举出一个不满足上述条件的例子使得算法发散；数值实验表明，该算法在解一类矩阵优化问题时是一种有效的方法.

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