应用时空守恒元和解元方法数值研究溃坝洪水波和ESWL中的聚焦冲击波

摘要

本文主要应用一种全新的数值方法(即:时空守恒元和解元方法)来数值研究溃坝洪水波和水下冲击波在其最成功的医学应用ESWL(Extracorporeal Shock Wave Lithotripsy)中的聚焦行为。它们分别属于两类不同的波:浅水波和水下冲击波。虽然它们物理形态不同,但是都属于双曲波的范畴,因此可用统一的数学形式来描述它们并进行数值研究。
　　横断河流的拦河大坝有蓄水、防洪、灌溉、发电等造福于人类的功能,河流两岸的堤防保护人类免于洪水灭顶之灾,但是,它们又对人类生命和财产具有潜在的巨大危险。当人为原因或自然力造成大坝或堤防溃坝时,大量水体突然释放而形成的狂暴的洪水会对下游滞洪区造成毁灭性的灾难。因此,预测和确定溃坝坝址的流量和水位过程线,以及洪水向下游演进时沿程各处的流量、水位、流速、波前和洪峰到达的时间等具有重要的意义,长久以来一直受到国内外学者研究的关注。因其突发性、暴烈性和灾害性,难以获得真实溃坝水流的直接观测数据。
　　数学上,可采用浅水方程来描述溃坝洪水波的流动。而无论浅水方程的初始值是否光滑,其解都可能产生间断,即流场中出现涌波。对于溃坝洪水,其初始条件本身就是间断的,构成了浅水方程的Riemann问题。所以数值研究溃坝水流具有特定的困难,尤其是在超临界流情况,多数算法常常失效。由重力引起的浅水运动与无粘可压缩流体的不定常流动在数学上是同类的,因此求解含冲击波的空气动力学问题的数值方法经过适当改造,可用于求解含溃坝波的浅水运动问题。体外冲击波聚焦粉碎结石术(ESWL)因无手术的侵入性创伤又能有效地粉碎人体结石,目前已成为治疗尿路结石的一种常用临床手段。ESWL通过水下放电或爆炸产生冲击波,利用聚焦冲击波的高能量密度和空化作用而粉碎结石。一般认为ESWL冲击波的负压波段是引起水空化的主要原因。然而,临床和实验研究均发现伴随着ESWL的不同形式损伤,例如血尿、慢性出血、多重肾软组织内的血肿、以及肾水肿等。因此,在冲击波医疗技术中,医疗效率和安全性十分重要。为了ESWL碎石效率最优化和组织损伤最小化,确定聚焦冲击波的动力学焦点和研究负压的产生和演化过程具有很重要的意义。冲击波是一种非线性波,对于它线性波的Snell反射定律等不再成立。
　　水下冲击波聚焦的数值研究,必须考虑水的可压缩性,本文采用Tait状态方程来描述水的特性,并假设水是无粘的、运动中无热传导和热辐射。这样,在数学形式上,可以借助空气动力学中研究冲击波的一系列方法,来研究ESWL中的水下冲击波传播、反射和聚焦。浅水方程和理想可压缩流体的不定常运动的Euler方程可以统一写成一个守恒形式的双曲型一阶拟线性偏微分方程组。溃坝洪水涌波和水下冲击波,在数学上分别表现为浅水方程和Euler方程的广义解(也称为物理解)。由于双曲波在科学问题中的广泛性、多样性和重要性,发展求解双曲型一阶拟线性偏微分方程组广义解的数值方法,一直是非线性问题研究的一个热点,尽管已经出现了大量的数值格式,新方法依然层出不穷。其中值得注意的是ChangS.C在1995年提出了一种求解双曲型方程的崭新的数值方法,即时空守恒元和解元(CE/SE)方法(space-timeConservationElementandSolutionElementmethod),目前,已被美国NASA列为第二代CFD程序中的主要算法之一。CE/SE方法不是对以前方法的改进和优化,而是一种全新的数值方法,无论从概念上还是从构造方法上都与传统的数值方法(如:有限差分法、有限元法、有限体积法、特征线法等)有所不同,具有独特的优点:首先,该方法把时间与空间完全统一起来同等对待,从守恒积分型方程出发,通过设立守恒元和解元,使格式局部和全局都严格保证其物理意义上的守恒律;其次,它把流场基本变量及其对空间偏导数都作为独立变量,同时进行求解。与传统方法相比,在相同网格点数的情况下,格式的精度可以达到更高;第三,它除利用了简单的Taylor级数展开式外,无需任何其它的数值逼近技术,无需求解Riemann问题,也不需要任何单调性限制或特征技术,因此该方法格式构造思想非常简单,物理意义清晰,通用性好;最后,该方法可直接推广到多维情形,无需采用维数分解或交替方向技术。该方法不仅可用于求解连续流动问题,而且可用于求解含有冲击波等不连续流动问题,其高分辨率的数值结果甚至比目前广泛流行的某些高分辨率格式的计算结果还好。目前,CE/SE方法已经用于一些复杂流场的计算,如内爆和外爆问题、声/波及波/涡干扰问题、ZND爆轰波问题等,但运用该方法来计算本文关注的溃坝洪水波问题和ESWL中的水下冲击波聚焦问题迄今未见先例。
　　本文首先经过适当改造张增产等改进的CE/SE方法来离散浅水方程,建立一维数学模型和二维基于结构网格的数学模型来分别研究理想条件下和简单计算区域的溃坝洪水波的运动特性。其次,进一步改进和构造了CE/SE方法求解双曲型方程的数值格式,建立了基于非结构混合网格的二维数值格式,使之既能够满足精度的要求,又能很好的拟和复杂的计算边界。第三,采用本文建立的新的CE/SE数值格式来离散浅水方程,建立了基于非结构混合网格的二维数学模型来研究复杂边界下的溃坝洪水波的运动特性。第四,应用本文建立的新的CE/SE数值格式来离散Euler方程,建立了研究ESWL中的水下聚焦冲击波的二维数学模型,以球面压电陶瓷型ESWL为例,研究负压的产生及其演化的过程。第五,为了数值追踪ESWL中的水下冲击波的波阵面的传播,本文从另外一个角度出发,采用CCW几何冲击波动力学方法来建立数学模型,研究ESWL中的冲击波的波阵面的演化、聚焦的问题。以上建立的数学模型都是本人采用FORTREAN语言来编写代码,实现功能。本文成功应用CE/SE方法用来计算溃坝洪水波问题和ESWL中的水下冲击波聚焦的问题,使得此新方法的应用面进一步的拓宽。溃坝洪水波的计算表明:本文建立的基于时空守恒元和解元方法的溃坝洪水波数学模型格式简单,稳定性好,通用性更好,计算量小,计算结果精度高,对溃坝波间断具有很高的分辨率,能够很好的展示溃坝波的运动特性,是研究溃坝洪水波一种高精度的新的数值方法,为预估和应对溃坝洪水的毁灭性灾难提供一种有效的新的研究手段。ESWL的计算算例表明:本文建立的基于时空守恒元和解元方法的求解ESWL中的水下冲击波的数学模型,第一次数值模拟了球面压电陶瓷型ESWL的冲击波传播的压力场,从计算结果可知,由于在边缘衍射产生的负压,使得在焦点附近的压力在冲击波的正压作用以后紧跟着负压的作用,说明球面压电陶瓷型ESWL水下冲击波聚焦时出现空化是不可避免的,所以在球面压电陶瓷型EWSL机的设计制造及临床应用中,都不可忽视空蚀。其次,建立的基于CCW几何冲击波动力学方法的数学模型能够很好的追踪冲击波波阵面传播的情况,数值解展示了球面压电陶瓷型EWSL几何中心即球心附近的冲击波聚焦特性,计算结果说明实际的动力学焦点未必就是几何中心,有可能偏离球心,因此,在临床应用球面压电陶瓷型ESWL粉碎结石时,实际焦点应当规定为压力最大的点,而不是简单地就将球心选为焦点——轰击的靶点。

目录

中文摘要

英文摘要

1 绪论

1.1 双曲波问题

1.2 理论模型及控制方程

1.2.1 流体力学的基本控制方程

1.2.2 浅水方程

1.2.3 Euler 方程

1.2.4 统一形式的控制方程

1.3 溃坝洪水波研究概况

1.3.1 溃坝洪水波研究的背景

1.3.2 溃坝洪水波研究的目的及意义

1.3.3 国内外研究的现状

1.4 ESWL 的研究概况

1.4.1 ESWL 研究的背景及发展

1.4.2 ESWL 研究的主要内容

1.4.3 国内外ESWL 的研究进展

1.5 时空守恒元和解元(CE/SE)方法介绍

1.6 本文研究的主要工作

2 时空守恒元和解元(CE/SE)方法

2.1 引言

2.2 CE/SE 方法与FVM 方法的时间-空间积分的区别

2.3 一维CE/SE 格式

2.4 二维CE/SE 方法基于结构网格的其它格式

2.5 二维CE/SE 方法基于非结构混合网格的格式

2.6 边界条件的处理

3 一维溃坝洪水波的理论分析及数值模拟

3.1 引言

3.2 一维溃坝洪水波的理论分析

3.2.1 Ritter 理论解

3.2.2 Stoker 理论解

3.3 CE/SE 法数值离散控制方程

3.3.1 一维守恒型浅水方程的控制方程

3.3.2 利用CE/SE 方法离散控制方程

3.3.3 源项的处理

3.4 数值应用及算例

3.4.1 模拟在理想条件下的溃坝洪水波流动

3.4.2 模拟在WES 试验条件下的溃坝洪水波的流动

3.5 小结

4 二维溃坝洪水波的数值模拟

4.1 引言

4.2 二维浅水方程的控制方程

4.3 利用CE/SE 格式1 离散二维控制方程

4.4 源项的处理

4.5 数值应用

4.5.1 模拟在CADAM 90 度弯道的试验条件下的溃坝流动

4.5.2 矩形河道局部溃坝

4.6 利用基于非结构网格的CE/SE 格式离散二维控制方程

4.7 模拟在CADAM 45 度弯道的试验条件下的溃坝流动

4.8 小结

5 球面压电陶瓷型ESWL 中的聚焦冲击波的动力学焦点的数值分析

5.1 引言

5.2 Whitham 冲击波动力学关系及其数值离散

5.3 Whitham 方法对于水下冲击波问题的适用性

5.4 数值模拟的初始条件和边界条件

5.5 数值模拟结果及其分析

5.6 小结

6 球面压电陶瓷型ESWL 中的空化现象的数值研究

6.1 引言

6.2 控制方程

6.3 水的状态方程

6.4 利用CE/SE 方法离散控制方程

6.5 源项的处理

6.6 数值结果及讨论

6.6.1 计算区域及网格生成

6.6.2 ESWL 水下冲击波聚焦流场状况数值分析

6.6.3 压电陶瓷型ESWL 水下冲击波聚焦特性

6.7 小结

7 结论

7.1 结论

7.2 进一步工作的展望

致谢

参考文献

附录