实四元数体上代数特征值分布与估计及奇异值分解研究

摘要

代数与数值代数是计算数学研究的两个重要方面，四元数体上代数是复数域代数的扩展。然而，由于四元数乘法的不可交换性，造成了它与复数域上的代数理论既有一定的联系，又有很大的差异，形成相对独立的内容体系，四元数代数问题涉及抽象的理论研究与具体的实践应用两个方面。
　　近年来，四元数代数问题已经引起了数学和物理研究工作者的广泛兴趣，四元数体上代数的许多问题已经被研究，比如四元数体上的多项式，行列式，特征值和四元数代数方程组等。由于四元数乘法的不可交换性，造成了对四元数代数问题研究的困难。然而四元数代数理论变得日益重要。许多应用科学领域，比如物理学，图形图像识别，飞船姿态定位，3-D动画等等，人们开始使用四元数代数理论解决许多实际的问题。因此这使得人们需要对四元数代数理论作深入的研究。
　　理论上，四元数体上许多代数问题需要人们研究和解决，比如四元数矩阵特征值的分布与估计问题，四元数多项式问题，四元数矩阵奇异值分解问题，四元数代数方程组的解的问题，四元数矩阵标准形和正定性问题等等，均需要深入的研究。
　　本博士学位论文较为系统地分析了四元数体上一些重要的代数特征，论文通过在四元数体上建立四元数范数和广义球邻域概念，对四元数矩阵特征值的广义球邻域分布与定位、特征值球邻域的连通性和非连通性、特征值的最小球邻域包含问题，特征值的矩、实部与虚部的上下界估计进行了研究，获得了相应问题的一些定理。进而考虑到四元数乘法的不可交换性，对四元数矩阵的左特征值和右特征值的分布与估计进行了研究，得到一些有意义的结果。借助于自共轭四元数矩阵的性质，研究自共轭四元数矩阵和、差及张量积的特征值关系问题，获得了一些不等式定理。论文在推广了的Gerschgorin定理的基础上，解决了Cassini卵形定理在四元数体上的形式问题。论文研究了四元数体上两类特殊乘积即Kronecker乘积和Hadamard乘积的奇异值分解问题，获得一些奇异值分解定理和迹范数不等式。
　　此外，论文将各种文献中研究的正定矩阵归结为四种类型，即I型正定、II型正定、III型正定和IV型正定，并将相应类型正定矩阵的集合记为，SI)(M、SI)(M、SIII)(M、SIV)(M，分别就复数域和四元数体上的四元数正定矩阵集合的关系进行了研究，获得四类正定矩阵的一些判定定理。最后，为了阐明四元数代数问题研究的广泛性，论文还研究了四元数体上的其它一些代数问题，如四元数正规矩阵的对角化问题，新型的Gerschgorin定理问题、新型的Ostrowski定理和新型的Brauer定理等，它们是对复数域上相关定理在四元数体上的推广与拓展。

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1 绪 论

1.1 四元数体上代数问题的提出及研究意义

1.2 国内外对于四元数体上代数的研究现状

1.3 本论文研究的目的和研究内容

1.4 本章小结

2 四元数体上矩阵特征值的分布与估计方法

2.1 引言

2.2 四元数体上矩阵特征值的分布定理

2.3 四元数矩阵特征值的一些估计定理

2.4 本章小结

3 四元数矩阵特征值定位、球邻域分隔

3.1 基本概念

3.2 几个基本结论

3.3 体上矩阵特征值分隔定理与最小包含定理

3.4 体上中心封闭矩阵特征值分隔定理与最小包含定理

3.5 本章小结

4 四元数体上矩阵特征值不等式及Brauer与Cassini分布

4.1 引言与符号约定

4.2 一些定义和引理

4.3 四元数体上自共轭矩阵和与差的特征值不等式

4.4 四元数矩阵特征值的Brauer与Cassini型分布定理

4.5 本章小结

5 四元数体上矩阵奇异值分解与迹范数关系问题研究

5.1 引言与符号

5.2 四元数体上矩阵左弱Kronecker积的一些奇异值分解定理

5.3 四元数矩阵范数、迹与奇异值不等式

5.4 本章小结

6 四元数体上四类广义正定矩阵研究

6.1 引言

6.2 复数域上矩阵正定性问题研究定义6.2.1 设

6.3 四元数体上广义正定矩阵研究

6.4 本章小结

7 四元数体上其他代数问题的研究

7.1 四元数矩阵稳定性概念及其判定

7.2 四元数体上一些代数特征值分布问题的扩展

7.3 四元数体上盖尔斯果林定理在数值代数中的应用

7.4 本章小结

8 结论综述

致谢

参考文献