基于最大Lyapunov指数的分数阶Rössler系统的混沌现象研究

摘要

分数阶混沌动力系统具有比整数阶系统更为复杂、丰富的动力学特性，近年来，基于分数阶微分和积分的动力学系统得到了较为广泛的研究，其中涉及分数阶电路、分数阶数字信号处理、分数阶动力学控制系统以及分数阶混沌和超混沌现象、分数阶混沌控制与同步、保密通信等多个领域，并取得了不少研究成果。本文重点研究了分数阶系统的最大Lyapunov指数计算，并在此基础上讨论了分数阶R?ssler系统的倍周期分岔通向混沌的过程。本文研究的主要内容和取得的成果如下：
　　1、分数阶混沌动力学系统的研究
　　首先介绍了分数阶微积分的求解方法，比较了时、频域解法的优缺点，应用系统方程，结合迭代的思想，构造了分数阶的时域求解方法，借助Matlab软件平台，以分数阶R?ssler系统为模型进行了数值仿真。
　　2、分数阶系统的最大Lyapunov指数计算
　　Lyapunov指数是表现混沌的最重要的特征量之一，正的Lyapunov指数就预示着混沌的出现。然而由于分数阶系统自身的特点使得一些在整数阶运用较好的计算方法不能在分数阶系统中直接使用，从而在分数阶系统中计算Lyapunov指数就集中在对分数阶系统的时间序列进行直接的分析。本文介绍了时间序列的相空间重构和小数据量方法，利用计算机仿真得出了一定参数条件下分数阶R?ssler系统出现混沌吸引子的相轨迹图，然后选用C-C算法计算出延迟时间和嵌入维数，进而利用相空间重构方法和小数据量算法计算了在上述参数下分数阶R?ssler吸引子的最大Lyapunov指数，计算结果为正值，验证了混沌的存在。在此基础上，研究了嵌入维数、延迟时间和平均周期对小数据量法的结果的影响，结果表明小数据量方法具有较好的鲁棒性。
　　3、分数阶R?ssler系统的混沌特性
　　对系统的混沌特性研究一直是研究混沌的一个最基础的方面，而相轨迹图、分岔图和Lyapunov指数图是观测系统运动行为的有效手段。在分数阶的系统中，分数阶数作为系统参数可以直接影响着系统的动力学行为。本文讨论了系统自身的参数对系统运动轨迹的影响，详细地研究了分数阶数变化时系统运动的轨迹，以Matlab为平台，用庞加莱截面的方法得出了参数在一定区域范围变化的系统运动的分岔图，清晰的展现了系统的演化过程——由倍周期分岔通向混沌。应用小数据量法计算了与分岔图相对应的最大Lyapunov指数图，其结果与分岔图和相轨迹图所表现的动力学现象是一致的。

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1 引 言

1.1 混沌研究进展

1.2 混沌及其特性

1.3 分数阶动力系统的混沌研究现状

1.4 本文的研究内容

2 分数阶微积分

2.1 分数阶的发展

2.2 分数阶的定义

2.3 分数阶微积分的求解方法

3 最大Lyapunov指数

3.1 Lyapunov指数的定义

3.2 相空间重构，嵌入维数和延迟的选取

3.3 Lyapunov指数的计算

3.4 分数阶R?ssler系统的Lyapunov指数计算

3.5 小数据量方法鲁棒性分析

3.6 本章小结

4 分数阶R?ssler系统的动力学现象分析

4.1 通向混沌之路

4.2 分数阶R?ssler系统的分岔

4.3 本章小结

5 总结与展望

致谢

参考文献

附录