度量空间中拟共形映射与拟对称映射的研究

摘要

为了叙述与证明皮卡定理的一个推广,1928年, Gr?tzsch率先引进了平面上拟共形映射的理念.1935年, Lavrentiev与Ahlfors又分别从偏微分方程与函数论的角度研究了拟共形映射,至此拟共形映射这个术语便开始出现.1938年, Lavrentiev开始了高维拟共形映射的研究.后来, Teichmüller和Ahlfors深入的研究了拟共形映射,而Gehring与V?is?l?开始系统的研究欧氏空间上的拟共形映射理论.在1956年,著名数学家Beurling和Ahlfors首次提出拟对称映射的概念,拟对称映射是高维欧氏空间上的拟共形映射到一般度量空间的推广.令人惊奇的是,拟共形映射在合适的情形下与拟对称映射是等价的.在欧氏空间和 Banach空间中,关于拟共形映射与拟对称映射的性质的研究已有许多,并已经得到了广泛的应用.随着拟共形映射理论的发展,对它的研究自然的考虑到了更一般的度量空间上.
　　本文主要研究三个方面.第一方面,研究了度量空间中拟双曲映射的局部和整体性质,得到了一系列结论,从而部分肯定的回答了由V?is?l?在1999年提出的公开问题.第二方面,在度量空间中研究拟对称映射的性质,推广了 V?is?l?(1990)的结论.最后,本文研究了度量空间中φ-一致域的几何性质,刻画了φ-一致域在拟对称映射下的不变性问题.全文由七章构成,具体安排如下.
　　第一章主要介绍本文中所研究问题的历史背景、发展状况和对数学各学科的影响,并陈述本文的主要研究内容.
　　第二章介绍研究问题的主要工具——拟双曲度量.本章详细地给出了拟双曲度量的定义、性质以及拟凸度量空间上的拟双曲度量与欧氏度量之间的关系.由本章的研究结论可知,利用拟双曲度量来研究拟共形映射和拟对称映射的许多基本性质,常常使许多问题得到简化.
　　第三章主要介绍了几个重要的引理,这些引理在本文主要结论的证明中起到关键的作用.首先主要研究了拟双曲度量与距离商度量之间的关系,以及度量空间中δD'(f(x))与δG'(f(x))的关系,其中D'(≤)G'.其次,主要引进了λ-John-ball域和not-cut-point域的概念,证明了度量空间中自由拟共形映射是一个局部拟对称映射.
　　第四章主要关注度量空间中拟双曲映射的局部性质与整体性质之间的关系. V?is?l?在1999年提出如下的公开问题:假设:fG→G'是一个同胚映射,且存在M>1,对于任意的点x=G,都存在一个领域D(x)(≤)G使得限制在它上的同胚映射f〡D（x）：D（x）→ f（D（x））是M-QH映射,那么f在G上是否还是M'-QH映射?其中M'=M'(M).在本章中研究了这个问题,并得到了部分肯定的回答.
　　第五章利用拟双曲度量研究了度量空间中拟共形映射与拟对称映射的性质,而且证明了适合的度量空间中粗的拟双曲映射是拟双曲度量空间中的拟对称映射,同时也是拟双曲球上的拟对称映射.
　　第六章研究度量空间中φ-一致域的一些基本性质以及不变性.特别地,讨论了度量空间中φ-一致域的几何性质,刻画了φ-一致域在拟对称映射下的不变性问题.
　　第七章总结了本学位论文研究的主要结果,并提出本文尚未克服的困难和希望进一步考虑的问题.

目录

封面

中文摘要

英文摘要

目录

1 绪 论

1.1 拟共形映射的定义及研究背景

1.2 拟对称映射的定义及研究背景

1.3 一致域的定义及研究背景

1.4 本文的研究内容和结构安排

2 拟双曲度量的基本知识

2.1拟双曲度量的定义

2.2 Banach空间中拟双曲度量的性质

2.3 度量空间中拟双曲度量的性质

3重要的引理

3.1 引言

3.2 拟双曲度量与拟对称映射

3.3 自由拟共形映射与局部拟对称映射

4 拟双曲映射的局部性质

4.1 引言

4.2 拟双曲映射与fully拟双曲映射

4.3 定理4.1.6的证明

5 拟对称映射的性质

5.1 引言及主要结论

5.2 预备知识

5.3 拟双曲度量空间中的拟对称映射

5.4 主要结论的证明

6 一致域

6.1 引言

6.2 主要结论

6.3 一致域的基本性质

6.4 主要结论的证明

7 总结与展望

致谢

参考文献

附录

A. 作者在攻读博士学位期间发表和即将发表的论文

B. 作者在攻读博士学位期间参加学术会议情况

C. 作者在攻读博士学位期间参加科研项目情况