Hardy型调和函数空间上的Toeplitz算子

摘要

Toeplitz 算子理论与物理、概率论、信息论和控制论等领域中的许多问题都有着密切的联系。Toeplitz算子是除微分算子之外另一类非常重要的非自伴算子，并且是连接算子理论，函数论和Banach代数的重要纽带。本文推进了多复变重调和Hardy空间上Toeplitz算子的研究，并且引入了对偶截断Toeplitz算子，研究了与这种算子相关的代数问题，研究结果发现这两类算子与 Hardy 空间，Bergman空间，Dirichlet空间，调和Bergman空间，调和Dirichlet空间上的Toeplitz算子的性质存在巨大的差异。本文内容分为六章。 第一章，绪论。引入Hardy型调和函数空间和其上的Toeplitz算子，与经典函数空间上的Toeplitz算子进行对比。 第二章，我们给出了双圆盘重调和 Hardy 空间上的两个具有重调和符号的Toeplitz 算子交换和半交换的充要条件，这些结论(已经发表在 Results in Mathematics, 72(3):1473–1497, 2017)与经典Hardy空间、调和Bergman空间和调和Dirichlet 空间情况完全不同，在Hardy空间上解析符号的Toeplitz算子一定交换和半交换，而对于调和Bergman空间和调和Dirichlet 空间，解析符号的Toeplitz算子交换和半交换只有平凡的情况，但是在双圆盘重调和 Hardy 空间上，两个解析符号的Toeplitz算子不一定交换，并且存在非平凡的解析Toeplitz算子是交换的。 第三章，我们引入对偶截断 Toeplitz 算子。假设u是非常数的内函数， H 2是单位圆盘上的Hardy空间， 2 2 2uK ?H uH 称为模型空间。我们研究了定义在模型空间正交补( 22 2 2( ) u zL K uH H? ? )上的对偶截断Toeplitz算子, 2 2uH ?zH 是一个调和函数空间，并且具有一种非对称的结构，这个特点不同于调和 Bergman 空间和调和Dirichlet 空间的结构。在Hardy空间上两个Toeplitz算子乘积为零和为有限秩算子是等价的，在 2 2uH ?zH 情况完全不同，并且取决于u。我们给出了两个对偶截断Toeplitz算子乘积为零和为有限秩算子的充要条件，而且完全刻画了两个一般符号的对偶截断 Toeplitz 算子半交换的条件，这些结论已经发表在 JMAA, 461(1), 929-946,2018。 第四章，我们研究了对偶截断Toeplitz算子的交换性。我们发现研究对偶截断Toeplitz算子的交换性的问题可以约化为研究解析符号的对偶截断Toeplitz算子的情况，解析符号的情况等价于Hardy空间上三个Hankel算子的混合交换的问题，这个问题本身具有一定的难度。最后我们给出了两类解析符号的对偶截断Toeplitz算子交换的条件。 第五章，我们研究了几类与对偶截断Toeplitz算子相关的代数，获得了两个短正合序列，其结论类似于单位圆盘Bergman空间正交补上的对偶 Toeplitz算子的情形。此外，我们完全刻画了以z为符号的对偶截断Toeplitz算子的换位，发现换位中存在着大量的非对偶截断 Toeplitz 算子。其结果与单位圆盘 Hardy 空间上的Toeplitz算子和截断Toeplitz算子完全不同。我们还运用上述的结论研究了对偶截断Toeplitz算子的Fredholm性和谱集的结构。 第六章，我们对全文的结论进行归纳，寻找未解决问题的难点，展望下一步的研究工作。

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