一类二阶Hamilton系统及半线性椭圆方程解的存在性与多重性

摘要

本文利用临界点理论中的极小作用原理及局部环绕定理，应用约化方法得到了以上二阶非自治哈密尔顿系统解的存在性与多重性，主要结果如下. 定理1设F：[0，T]×RN→R满足条件(A)，且满足下面的条件： (a)-▽F(t，·)是μ(t)-单调的；其中μ∈L1(0，T；R+)，即有：(-▽F(t，x)-(-▽F(t，y))，x-y)≥μ(t)(|x-y|2)对任意x，y∈RN以及a.e.t∈[0，T]都成立； (b)存在f，g∈L1(0，T；R+)，其中∫T0f(t)dt＜24m+12/T(m+1)2，使得|▽F(t，x)|≤f(t)|x|+g(t)对任意x∈RN以及a.e.t∈[0，T]都成立.则二阶系统(HS1)在H1T中至少存在一个解.定理2设F：[0，T]×RN→R满足条件(A)，定理1中的条件(a)，(b)，以及：(c)存在常数δ＞0和某一整数l＞m使得F(t，x)-F(t，0)≤1/2m2ω2|x|2-1/2l2ω2|x|2对任意|x|≤δ以及a.e.t∈[0，T]成立；则系统(HS1)在H1T中至少存在一非零解.定理3设F：[0，T]×RN→R满足条件(A)，定理1中的条件(a)，(b)，以及：(c)'存在常数δ＞0和某一整数l＞m使得1/2m2ω2|x|2-1/2(l+1)2ω2|x|2≤F(t,x)-F(t，0)≤1/2m2ω2|x|2-1/2l2ω2|x|2 对任意|x|≤δ以及a.e.t∈[0，T]成立；则系统(HS1)在H1T中至少存在两个非零解.定理4设F：[0，T]×RN→R满足条件(A)，且存在函数γ∈L1(0，T；R)，其中0＜∫T0γ(t)dt＜12/T，使得(▽F(t，x)-▽F(t，y)，x-y)≥-γ(t)|x-y|2 对任意x，y∈RN以及a.e.t∈[0，T]成立.若当|x|→+∞时∫T0F(t，x)dt→-∞，则系统(HS2)在H1T中至少存在一个解.定理5设F：[0，T]×RN→R满足条件(A)，且存在函数h，γ∈L1(0，T;R)，其中∫T0γ(t)dt＜12/T，∫T0h(t)dt＞0，使得-γ(t)|x-y|2≤(▽F(t，x)-▽F(t，y)，x-y)≤-h(t)|x-y|2对任意x，y∈RN以及a.e.t∈[0，T]成立.则系统(HS2)在H1T中至少存在一个解. 此外，我们还考虑了Dirichlet椭圆边值问题(EP){-△u=f(x，u)+h(x),a.e.x∈Ω，u=0on()Ω；弱解的存在性与多重性.这里Ω()RN(N＞1)是有界区域，f：(-Ω)×R→R是一个Carathéodory函数.即，f(x，t)对任意t∈R关于x是可测的；对于a.e.x∈Ω，f(x，t)关于t是连续的.此外，h(x)∈L2(Ω). 设λk(k=1，2，…)是特征值问题{-△u=λu,a.e.x∈Ω，u=0on()Ω；的第k个不同特征值，且E(λk)(k=1，2，…)是相应的特征值λk所对应的特征空间. 定理6设存在常数C＞0以及实函γ∈L1(Ω)，对任意t∈R，a.e.x∈Ω，使得f满足条件|f(x，t)|≤C|t|2*-1+γ(x)，(1)这里当N≥3时，2*≡2N/(N-2)；当N=1或者N=2时，2*为[1，+∞)中任何一个数； 此外对几乎处处的x∈Ω，有limsup|t|→+∞2F(x,t)/t2≤a(x)≤λ1，(2)其中后一不等式的严格不等式在某个正测集E()Ω上成立，这里F(x，t)=∫T0f(x，s)ds.设h∈L2(Ω)满足∫Ωh(x)ψ(x)dx=0(3) 其中，ψ是特征值λ1所对应的就范特征函数，对任意x∈Ω，ψ(x)＞0.则问题(EP)在H10(Ω)上至少有一个解存在. 定理7设存在一个常数C0＞0以及常数p：当N≥3时2＜p＜2N/(N-2)；当N=1，2时，p∈(2，+∞).对任意t∈R以及a.e.x∈Ω，f满足|f(x，t)|≤C0(|t|p-1+1).(4) 若条件(2)成立，且存在一个整数m≥1以及δ＞0使得λm|t|2≤2F(x，t)≤λm+1|t|2(5) 对任意|t|≤δ，a.e.x∈Ω成立.则问题(EP)在H10(Ω)中至少有两个非零解. 定理8设f满足条件(1)；存在常数a＞λk，对任意s，t∈R，s≠t使得f满足条件f(x,s)-f(x,t)/s-t≥a；(6) 以及对几乎处处的x∈Ω，有limsup|t|→+∞2F(x,t)/t2≤a(x)≤λk+1,(7)其中后一不等式的严格不等式在某个正测集E()Ω上成立.若h=0，则问题(EP)在H10(Ω)中至少有一个解. 定理9设f满足条件(4).若条件(6)(7)成立，且存在一个整数m≥k+1以及δ＞0使得λm|t|2≤2F(x，t)≤λm+1|t|2(8) 对任意|t|≤δ，a.e.x∈Ω成立.若h=0，则问题(EP)在H10(Ω)中至少有两个非零解. 定理10设f满足条件(4)；存在常数a＜λk+1，对任意s，t∈R，s≠t使得f满足f(x,s)-f(x,t)/s-t≤a： 以及对几乎处处的x∈Ω，有liminf|t|→+∞2F(x,t)/t2≥b(x)≥λk,其中后一不等式的严格不等式在某个正测集E()Ω上成立. 若存在一个整数m≤k以及δ＞0使得λm-1|t|2≤2F(x，t)≤λm|t|2对任意|t|≤δ，a.e.x∈Ω成立且h=0，则问题(EP)在H10(Ω)中至少有两个非零解.

目录

文摘

英文文摘

独创性声明及学位论文版权使用授权书

一、引言与文献综述

二、预备知识

三、主要结果及证明

四、分析和思考

参考文献

后记