卵形线的曲率积分不等式与多边形的等周亏格的估计

摘要

关于平面闭曲线的一个著名的问题是古典的等周问题：平面上面积固定的区域中,圆盘的周长最小.即平面上固定周长的简单闭曲线中，圆所围成的面积最大，也即 (等周不等式)平面简单闭曲线r所围成的区域的面积A,周长L满足：当且仅当r为圆时等号成立. 通常等周不等式都不涉及曲线的曲率,Gage给出了一个涉及平面凸曲线曲率平方积分的不等式.即：若平面闭凸曲线的相对曲率为k,周长L,所围面积为A,则有当且仅当Γ为圆时等号成立。
　　 关于平面上的Ros不等式是：设平面卵形线r的曲率为k,周长与其所围成的面积分别为L,A则：当且仅当r为圆时等号成立.
　　 本文第一部分主要研究平面上的卵形曲线的曲率积分不等式.
　　 首先,推导出一个函数的积分不等式并据此函数积分不等式得到了平面上Ros不等式的加强形式;
　　 定理3.2.1设f为以2π为周期且具有二阶连续可微的函数,若f02πfdt=0,则等号成立当且仅当存在常数a,b使得f(t)=a cost+bsin t.
　　 定理3.2.2设平面卵形线Γ的曲率为k,周长与其所围成的面积分别为L,A满足不等式：当且仅当Γ为圆时等号成立. 然后,用凸集外平行集的性质与函数的单调性给出了Gage等周不等式与曲率的熵不等式一种简化证明,并由此得到了一个新的有关曲率积分的等周不等式；
　　 定理3.4.3设平面卵形线Γ的周长为L,曲率为k,则有当且仅当Γ为圆时等号成立. 再次,由Jensen不等式与卵形线的支持函数得到了一系列弱的曲率积分不等式；
　　 定理3.5.2设平面卵形线Γ的周长为L,曲率为k,f(x)为定义在(0,+∞)上的严格凸函数,则有当且仅当Γ为圆时等号成立. 最后,本文还对卵形线的曲率序列积分做了进一步的讨论.
　　 定理3.6.1设平面上卵形线r的周长为L,曲率为则以上每一个等号成立的充要条件是Γ为圆.
　　 定理3.6.2设平面卵形线Γ的周长为L,曲率为则以上每一个等号成立的充要条件是Γ为圆. 定理3.6.3设平面卵形线Γ的周长为L,曲率为则对于任意满足1≤l≤m≤n的整数l,m,n都有以上每一个等号成立的充要条件是r为圆. 事实上,比经典的等周问题更基础的一个问题是关于多边形的等周问题.对于平面多边形,也有相应的离散型的等周不等式：(多边形的等周不等式)设Γn为欧氏平面R2中面积为An,周长为Ln的n边形,则有不等式：等号成立的充分必要条件是r。为正n边形. 一般地,△(Γ)=L2-4πA称r所围区域的等周亏格.等周亏格用来度量周长为L,面积为A的区域与半径为L/2π圆的差别程度.类似地,我们可以定义多边形Γn的等周亏格为△(Γn)=L2-4cnA,用来度量Γn与正n边形的差别程度.
　　 本文的第二部分主要讨论平面多边形的等周亏格上下界的估计.首先,根据X.M.Zhang的方法得到了两个平面多边形的Bonnesen型不等式：
　　 定理4.2.5设Γn为欧氏平面R2中面积为An,周长为Ln,内接于半径为R的圆的n边形,是半径为R的圆的内接正多边形的面积,则有不等式：其中,等号成立的充分必要条件是Γn为正n边形. 再次,由平面多边形几何量之间的关系得到了一组平面多边形的Bottema型不等式：
　　 定理4.3.4设r。是面积为An,周长为L。的凸n边形rire分别为Γn的最大内接圆半径与最小外接圆半径,则有如下不等式成立.以上各式等号成立的充分必要条件Γn为正n边形.