具有特殊共轭类长的有限群及子群的广义置换性

摘要

本学位论文主要研究了特殊共轭类长和广义置换子群对有限群结构的影响。全文共分四章。
　　 第一章主要介绍本论文的研究背景和取得的主要成果。
　　 第二章介绍本文中一些常用的概念、符号和一些已知的基本结果。
　　 第三章研究特殊共轭类长对有限群结构的影响。著名群论专家，Fields奖，Wolf奖和Abel奖获得者J.G.Thompson教授曾猜想：如果G是一个中心平凡的群，M是一个非交换单群，而且cs(G)=cs(M)，这里cs(G)表示一个群G的所有共轭类长的集合，那么G()M.这一猜想对于素图不连通的单群，PSLn(q)和A11已经得到了证明。在Thompson猜想中，人们要考虑一个群的全部共轭类长；在本文中，我们希望弱化这一条件，仅考虑某些特殊的共轭类长，如极大共轭类长或者极小共轭类长。通过考察一个群的阶和极大(或极小)共轭类长，我们给出了散在单群的一个新刻画。由于对于素图不连通的单群，陈贵云教授证明了在Thompson猜想的条件下，|G|=|M|，因此对于散在单群来说，在这个意义下，我们这里的讨论是真正弱化了Thompson猜想的条件。
　　 第四章讨论子群的广义置换性。本章共有三节。在第一节中，我们引入了一类新的广义置换子群：弱S-嵌入子群。我们研究了弱S-嵌入子群的性质及其对群结构的影响；特别地，我们考察了这种子群性质与群的p-幂零性和超可解性之间联系。在第二节中，我们介绍了另外一种新的嵌入子群，即λ-可补充子群。我们主要研究了准素子群的λ-可补充性对群结构的影响，特别是对群的p-超可解性的影响。在最后一节中，我们深入研究了子群的X-s-半置换性，及其对群结构的影响。利用某些子群的X-s-半置换性，我们给出了群的结构的一些新刻画。利用本章的主要结果，我们可以得到一系列的推论。在本章的研究中，我们主要讨论了Sylow子群，广义费廷子群和局部子群的子群性质与整个群结构之间的联系。进一步，我们研究了子群具有某种广义置换性的群与给定群类之间的联系。我们广泛使用了群类论中的研究思想和方法。