耗散哈密顿振幅调制波不稳定方程和随机半线性退化抛物方程的随机吸引子

摘要

本文主要研究周期边界上带乘法、加法噪音的耗散哈密顿振幅调制波不稳定方程和有界区域D(C)Rn上带加法噪音的随机半线性退化抛物方程的解的渐进行为，分别证明由相应方程的解生成的随机动力系统在E0=H1×L2和Lq((V)q≥2)中随机吸引子的存在性。
　　全文共分五章:
　　第一章，介绍随机动力系统、随机吸引子的背景，对应方程的研究现状、本文主要的研究内容，并给出相应的基础理论知识。
　　第二章，研究带加法噪音的耗散哈密顿振幅调制波不稳定方程:{dut+αutdt-βuxtdt-γuxxdt+iuxdt+f(|u|2）udt=m∑j=1 hjdWj，u（x，τ）=u0(x)， ut(x，τ)=u1(x)，u(x-L，t)=u(x+L，t)，其中，u是未知的复值函数，i是虚数单位，区间I=(-L，L)，α、β和γ是满足β＜γ的正常数，函数hj∈H2(I)，j=1，2，…，m，不依赖于时间t，随机函数Wj，j=1，2，…，m，是概率空间（Ω，F，P）上的独立双边实值Wiener过程，f(s)、sf(s)是分别属于C1和C2的实值函数，满足lim s→+∞ infF(s)/s1+δ≥γ0＞0， s≥τ，δ≥1，lims→+∞ infsf(s)-(ε)F(s)/s1+δ≥γ0＞0,s≥τ,δ≥1,其中0＜ε＜1，γ0是依赖δ和ε的常数，F(s)=fsτ(t)dt。
　　通过引入两个函数和一个过程，以及解半群的分解，可得本章最重要的结论:E0中随机吸引子的存在性。
　　定理2.6.3.设hj∈D(A)=H1∩ H2，则由带加法噪音的耗散哈密顿振幅调制波不稳定方程生成的随机动力系统ψ（t，ω）存在紧的随机吸引子A(ω)，吸引E0=H1×L2中的所有有界集。
　　第三章，考虑带乘法噪音的耗散哈密顿振幅调制波不稳定方程:{dut+αutdt-βuxtdt-γuxxdt+iuxdt+f(|u|2)udt=u o dW(t),u（x，τ）=u0(x)， ut(x，τ)=u1(x)，u(x-L，t)=u（x+L，t).
　　本章的主要结论是:
　　定理3.5.3.由带乘法噪音的耗散哈密顿振幅调制波不稳定方程生成的随机动力系统ψ(t，ω)存在紧的随机吸引子A(ω)，吸引E0=H1×L2中的所有有界集。
　　第四章，讨论带加法噪音的随机半线性退化抛物方程:{ du+[-div(σ(x)▽u)+λu+f（u）]dt=mΣj=1 hjdωj， x∈D， t≥0，u(x，0)=u0， x∈D，u(x，t)|(a)D=0， t≥0，其中，D(C) Rn(n≥2)是具有光滑边界(e)D的有界开集，λ＞0，{ωj}mj=1是概率空间（Ω，F，P）上的独立双边实值Wiener过程，耗散系数σ(x)、非线性项f(·)和函数{hj}mj=1分别满足以下假设:
　　（Hσ）函数σ:D→R非负可测，满足σ∈L1loc(D)，并且(V)z∈(D)，(E)α∈(0,2),lim infx→z|x-z|-ασ(x)＞0;
　　(F)函数f∈C1（R，R）满足多项式增长条件，即(E)c0、 c1和大的常数c2，使得(V) x∈R，f'(x)≥-c0;(V)k∈N，x，y∈R，f(x+y)x2k+1≥c1x2p+2k-c2(y2p+2k+1);(E)M＞0，若x≥M，则f(x)≥c2x2p-1，若x≤-M，则f(x)≤c2x2p-1;
　　(H)函数hj∈Lq(D)∩ Dom(A)∩ Dq(A)，j=1，2，…，m，其中Au=-div(σ(x)▽u)、Dom(A)={u∈D10(D,σ）:Au∈L2(D)}、Dq(A)={u∈D10(D，σ):∫D|Au|qdx＜+∞}.
　　注:正的奇数阶领衔的多项式满足条件(F)。
　　通过q的归纳假设，以及当解充分大以后的一致先验估计，可得本章最终的结论:Lq中随机吸引子的存在性。
　　定理4.6.1.若D(C)Rn有界，（Hσ）-(F)-(H)满足，则由随机半线性退化抛物方程(4.1.1)的解生成的随机动力系统ψ(t，ω)在Lq((V) q≥2)中存在随机吸引子Aq(ω)，它是紧的不变的速降集，并以Lq_范数吸引L2中的所有速降随机子集。此外，(V)q≥2，Aq(ω):=A(ω)，A(ω)是L2中通常的吸引子。
　　第五章，有待进一步解决的问题。

目录

声明

摘要

第1章 总述

1．1 动力系统概述

1．2 文献综述

1．3 预备知识

第2章 带加法噪音的耗散哈密顿振幅调制波不稳定方程的随机吸引子

2．1 方程背景

2．2 函数空间和算子

2．3 求解方程生成相应的随机动力系统

2．4 E0中的随机吸收集

2．5 E1中的随机吸收集

2．6 E0中的随机吸引子

第3章 带乘法噪音的耗散哈密顿振幅调制波不稳定方程的随机吸引子

3．1 方程模型

3．2 求解方程生成相应的随机动力系统

3．3 E0中的随机吸收集

3．4 E1中的随机吸收集

3．5 E0中的随机吸引子

第4章 带加法噪音的随机半线性退化抛物方程在Lq的随机吸引子

4．1 方程模型

4．2 函数空间和算子

4．3 求解方程生成相应的随机动力系统

4．4 Lq中的随机吸收集

4．5 Lq-渐近估计

4．6 Lq中的随机吸引子

第5章 有待进一步解决的问题

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间的工作