具有Hardy奇异项的半线性椭圆方程的解的存在性研究

摘要

本文我们利用变分法和一些分析技巧研究了三类具有Hardy奇异项（分别为具有广义次临界增长、具有双共振、具有Hardy-Sobolev临界指数）的半线性椭圆方程的解的存在性.具体内容如下:
　　首先，我们在第二章考虑如下的Dirichlet边值问题:{-△u-μu/|x|2=λf(x, u), x∈Ω，(0.1)u=0， x∈(e)Ω，其中Ω为RN(N≥3)中具有光滑边界OΩ的有界开集，0∈Ω，μ＜(μ)△=(N-2)2/4，f(x，t)为(Ω)×R上的连续函数.我们考虑具有更一般的增长性条件的非线性项f(x，t)，给出假设条件如下:
　　(F1)lim|t|→∞ f(x,t)/t|t|2*-2=0对几乎处处x∈Ω一致，其中2*=2N为Sobolev临界指数.
　　我们得到了
　　定理1在(F1)和下面的(F2)-(F4)成立，
　　(F2)存在α≥1，c＞0，使得对于任意t∈R，x∈Ω，(V)s∈[0，1]都有αG(x，t)+c≥G(x，st)成立，其中G(x，t):=tf(x，t)-2F(x，t).
　　(F3)lim t→0 f(x,t)/t=0对几乎处处x∈Ω一致.
　　(F4)lim|t|→+∞ F(x，t)/t2=+∞对几乎处处x∈Ω一致.
　　则对于任意的λ＞0，问题(0.1)有一个非平凡解.
　　随后，我们考虑λ=1的情形，即{-△u-μu/|x|2=f(x，u)， x∈Ω，u=0， x∈(e)Ω.(0.2)我们得到了
　　定理2设条件(F1)成立，且满足如下条件:
　　(F5)存在θ∈(0，1/2)，M＞0都是常数，使得F(x,t)≤θtf(x，t)，对|t|≥M;
　　(F6)lim sup t→0 f(x,t)/t≤λ1-ε对几乎处处x∈Ω一致;
　　(F7)lim inf t→∞ f(x,t)/t≥λ1+ε对几乎处处x∈Ω一致;其中ε＞0，λ1是-△-μ/|x|2在Dirichlet边界条件下的第一特征值.
　　则方程(0.2)至少有一个非零解.
　　在第三章我们考虑Dirichlet边值问题(0.2)的共振情形，得到了
　　定理3设如下条件成立:存在M0＞0使得a(x)≤f(x,t)/t≤b(x)当|t|≥M0, x∈Ω，其中a和b是连续函数，且满足下列双共振条件λk(a)≤0，λk+1(b)≥0，其中λk(a)是-△-μ/|x|2-a在Dirichlet边界条件下的第k个特征值.以及成立着(f1)lim‖v‖→∞∫Ω（F(x，v)-a(x)/2v2）dx=+∞， v∈Ker（-△-μ/|x|2-a）;（f2）lim‖v‖→∞∫Ω(F(x,v)-b(b(x)/2v2)dx=-∞， v∈Ker（-△-μ/|x|2-b）.则方程(0.2)有一个解.
　　我们在第四章考虑下列具有Hardy-Sobolev临界指数的半线性椭圆方程:{-△u=[1+εk(|x|)]|u|2*(s)-2/|x|s u， x∈RNu＞0, x∈RN(0.3)u∈D1，2r（RN）={u∈D1，2(RN):u是径向的}，我们假设k满足如下的条件之一:
　　(K)k∈L∞（RN）∩C1（RN），k(x)=k(|x|)=k(r)，r=|x|，且存在α＜N-s∫∞1r-α+N-s-1k(r) dr＜∞.
　　(K')k∈C2(RN)，k(x)=k(|x|)=k(r)，r=|x|，k(r)是T-周期的，且∫T0 k(r) dr=0.主要结果有如下的定理.
　　定理4假设条件(K)成立，且k(0)=0，k(≠)0.那么对于充分小的|ε|，问题(0.3)存在一个正的径向解uε.
　　定理5假设条件(K)成立，且k∈C2(RN)，k(0)k

目录

声明

摘要

第1章 绪论

§1．1 变分法与临界点理论概述

§1．2 本文研究的问题及其结果

§1．3 预备知识

§1．4 论文的结构安排

第2章 一类具有广义次临界增长的Hardy奇异半线性椭圆方程的解

§2．1 介绍及主要结果

§2．2 定理2．1的证明

§2．3 定理2．2的证明

第3章 具有Hardy奇异项的共振半线性椭圆方程的解

§3．1 引言及主要结果

§3．2 特征值问题

§3．3 (C)条件

§3．4 定理3．1的证明

第4章 具在Hardy-Sobolev临界指数的半线性椭圆方程的径向解

§4．1 介绍及主要结果

§4．2 非扰动问题

§4．3 主要结果的证明

第5章 结论

参考文献

致谢

攻读博士学位期间完成的学术论文和主持及参与的科研项目