热方程和Klein-Gordon-Maxwell系统解的存在性和多重性

摘要

本文利用变分法和一些分析技巧研究了两类具有很强物理背景的问题(热方程和Klein-Gordon-Maxwell系统）解的存在性和多重性.具体内容如下:
　　首先，在第二章考虑如下的热方程:
　　-Δu-1/2(x·▽u)=λu+ b(x)|u|q-2u, x∈RN，(P)其中λ是一个参数b(x)是RN中的一个变号函数，1＜q＜2*，其中2*是临界Sobolev指数.我们主要考虑问题(P1)自相似解的存在性和多重性.更进一步获得分歧结果和不存在结果.众所周知当我们利用变分方法找泛函的临界点的时候，一些几何结构是需要的，例如，山路几何结构，环绕结构等等.对于我们的问题，困难就在于由于变号位势函数的存在这样的几何结构不好寻找.为了克服这种困难，我们需要找新的工具，比如Nehari流形.我们分别考虑了超线性(2＜q＜2*)和次线性(1＜q＜2)的情况，分别获得了一个、两个和三个解的存在性.同时获得了解的渐近情况.
　　随后，在第三章考虑下面的热方程-Δu-1/2(x·▽u)=a(x)|u|p-2u+b(x)|u|q-2u, x∈RN，其中2＜p＜q＜2*.我们主要感兴趣的是a，b中其中一个函数是变号的且方程存在无穷多个自相似解.在某种条件下我们证明了方程对应的能量泛函在Nehari流形中满足Palais-Smale条件再利用Krasnoselskii亏格获得无穷多个解的存在性同时其中一个解是非负的.
　　在第四章考虑-Δu-1/2（x·▽u）=f（x，u），x∈RN，其中f∈C（RN×R.R），N≥3.我们研究方程在超线性和渐近线性情况下基态解的存在情况.
　　在第五章考虑下列Klein-Gordon-Maxwell系统:{-Δu+V(x)u-（2ω+φ）φu=f（x，u），x∈R3，（KgM）Δφ=（ω+φ）u2，x∈R3，其中ω＞0是一个常数，u.φ:R3→R，V:R3→R是一个位势函数.在超线性和次线性的情况下分别研究了Klein-Gordon-Maxwell系统无穷多个解的存在性.推广了贺小明[Multiplicity of Solutions for a Nonlinear Klein-Gordon-Maxwell System.Acta Appl.Math.,130:237-250，2014]的结果，同时可以看到利用类似的方法也能研究非常位势的Schr(o)dinger-Possion系统并推广了已有的结论.
　　最后一章顺带考虑一类共振椭圆系统在次线性情况下无穷多个解的存在性.结果推广了以前的结论并且证明过程也很简洁.