几类生态模型的分支研究

摘要

本论文首先研究了下面的包含一种生物量(灌木，树)和一种资源(水)的模型的全局分支（此处公式省略）通过定性的方法，得到了系统的(前向/后向)跨临界分支，鞍-结点分支，(亚临界/超临界)Hopf分支，同宿轨分支，以及Bogdanov-Takens分支的存在性。通过数值计算，我们发现系统存在两个平衡点或者一个平衡点和一个极限环的双稳定现象，甚至存在两个平衡点和一个极限环的三稳定现象。此模型或许是同时具有平衡点后向跨临界分支，平衡点和极限环的鞍-结点分支，Hopf分支，极限环泡/心脏状分支，同宿轨分支和Bogdanov-Takens分支等动力学行为的最小的模型。模型中振荡植被模式的出现可以作为植被灾难性转变的一个预警信号。此模型也可以看作一个传染病模型。根据此研究方法和结果，也可以将此类传染病模型的参数空间根据平衡态稳定性的不同进行详细的情况分类，并且归类出此类传染病模型中的诸如“泡”，“心脏”，“莲蓬”及“辣椒”等不同形状的分支示意图。此研究结果为自然界中植被稳定态的优化提供了基本框架，也为水-植物系统的双稳定态的存在性提供了理论基础。
　　接下来研究了下面的捕食者具有趋饵效应的捕食者-食饵模型的全局分支（此处公式省略）通过著名的Crandall-Rabinowitz分支定理和Shi-Wang的全局分支的理论，得到了从常数平衡解分支出非常数平衡解的存在性。同时，说明了在某些情况下非常数平衡解的稳定性。此研究结果表明，如果捕食者-食饵相互关系中食饵不具有群体防御的能力，则系统将会出现一个同质的稳定状态。但如果食饵具有了群体防御的能力，则系统将可能会出现异质的稳定状态。从生物学角度讲，捕食者的搜寻行为导致异质环境到同质环境的转变，而撤退行为则导致同质环境到异质环境的转变，从而也就会出现更丰富的动力学行为。
　　然后研究了下面的考虑下渗反馈效应的水-植物模型的Turing分支（此处公式省略）通过Turing分支的研究方法，得到了系统Turing斑图模式解的存在性。通过有限差分的方法，给出了Turing斑图模式解的一维数值模拟。此研究结果意味着扩散可能导致斑图模式的形成，而降雨量和水植物之间的下渗反馈效应则影响植被进化的最终状态。如果考虑到植物根对水分的抽吸能力，研究结果说明由抽吸能力比较强的植物构成的植被区域比由抽吸能力比较弱的植被构成的植被区域更容易形成斑图模式。
　　最后研究了下面的水-植物模型的Turing分支通过Turing分支（此处公式省略）的研究方法，得到了Turing失稳的参数空间。根据有限差分的方法，给出了Turing斑图模式解的二维数值模拟，进而得到了植物的竞争效应和根抽取引起的正反馈效应对系统Turing分支的影响，从而解释了自然界中植物斑图模式存在的多样性。此研究结果表明随着竞争强度的增加，系统产生斑图模式的可能性减小。但随着根的正反馈效应增强，系统产生斑图模式的可能性变大。因此，在根的正反馈效应和植物竞争负反馈效应的共同影响下，根的正反馈效应会促进植物斑图模式的形成，但植物之间的竞争则有相反的影响。

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第 1 章 引 言

1.1 研究问题及背景

1.2 一些符号和定义

1.3 论文结构安排

第 2 章 水-植物模型的全局性态研究

2.1 模型背景

2.2 平衡点和稳定性

2.3 Hopf分支和同宿轨分支

2.4 Bogdanov-Takens分支

2.5 本章主要结论

第 3 章 捕食者的趋饵效应对捕食者-食饵模型的影响

3.1 模型背景

3.2 全局分支

3.3 分支的局部稳定性

3.4 本章主要结论

第 4 章 具有下渗反馈效应的水-植物模型的Turing分支

4.1 模型背景

4.2 Turing分支

4.3 交错扩散引起的失稳

4.4 地形坡度的影响

4.5 本章主要结论

第 5 章 竞争效应和根抽吸效应对水-植物模型Turing分支的影响

5.1 模型背景

5.2 对应的动力学系统的性态分析

5.3 Turing分支

5.4 数值模拟

5.5 本章主要结论

第 6 章 主要结论、创新点及研究价值

6.1 主要结论

6.2 创新点

6.3 研究价值

参考文献

致谢

攻读博士学位期间发表的学术论文