基于临界点理论的次二次四阶半线性常微分方程周期解的存在性研究

摘要

微分方程已成为研究自然科学和社会科学的一个强有力工具，在科技和经济的发展过程中，越来越多的实际课题都可以建立关于四阶或者更高阶的常微分方程数学模型.
　　 经典的Fisher-Kolmogorov(FK)[1]方程为(e)u/(e)t=(e)2u/(e)x2+u-u3.
　　 1988年，DeeandVanSaarloos在研究双稳态物理系统时建立了ExtendedFisher-Kolmogorov(EFK)[2]方程(e)u/(e)t=-γ(e)4u/(e)t4+(e)2u/(e)t2+u-u3,γ＞0.
　　 1977年，SwiftandHohenberg在研究流体的不稳定性时建立了Swift-Hohenberg(SH)[3]方程(e)u/(e)t=ku-(1+(e)(e)t2)2u-u3,k∈R.
　　 人们感兴趣的是以上方程的驻波解，如果引入适当的变量变换w(t，x)=u(t)eikx，k∈R，上述方程可简化为下述四阶常微分方程u(4)-pu″-u-u3=0.
　　 当p＞0时，方程即为EFK方程;当p＜0时，方程则为相应的SH方程.
　　 本文主要是对下述更一般的四阶半线性常微分方程u(4)+Au″+Bu-Vu（t，u）=0(Ⅰ)2T-周期解的存在性进行研究，其中A，B是常数，V(t，u)∈C1([0，T]×R，R)具有以下性质:(H0)V(t,0)=0,V(t+2T，u)=V(t，u),V(t,-u)=V(t，u),(V)t∈[0，T],u∈R.(H1)2V(t,u)-uVu(t，u)→-∞，｜u｜→∞，t∈[0，T],或2V(t，u)-uVu(t，u)→∞，｜u｜→∞，t∈[0，T].假设(u)=(u)(t）为边值问题{u(4)+Au″+Bu-Vu(t,u)=0,0＜t＜T,(P)u(0)=u（T）=0，u″(0)=u″(T)=0.的解，那么在区间[-T，T]上作奇扩充(u)=(u)(t){u(t),0≤t≤T,-u（-t），-T≤t≤0.
　　 根据条件(H0)，(u)=(u)(t)在R上进行2T周期扩充即可得到方程(Ⅰ)的2T-周期解.
　　 为了研究边值问题(P)的解的存在性，我们将其转化为讨论泛函I（u;T）=∫T01/2（u″2-Au′2+Bu2）dt-∫T0V（t，u）dt的非平凡临界点的存在性，研究空间为X(T)=H2(0，T)∩H10(0，T).此泛函的临界点即为边值问题(P)的经典解.
　　 本文内容安排如下:第一章是引言，介绍了本文的研究背景、研究内容和相关研究综述;第二章是预备知识，介绍了临界点理论的相关定理内容;第三章是针对A＞0，B＞0，A＞0，B＜0，A＜0，B＞0，A＜0，B＜0这四种情况，分别应用临界点理论中的直接变分法，山路定理，BrezisandNirenberg型环绕定理和Silva型环绕定理证明上述泛函的非平凡临界点的存在性，进而得到相应的微分方程的周期解的存在性.

目录

摘要

前言

第一章 绪论

§1．1 四阶常微分方程的研究概况

§1．2 本文的研究内容

第二章 预备知识

§2．1 关于非线性泛函的微分学

§2．2 Sobolev空间基础知识

§2．3 临界点理论中的极小极大原理

§2．4 变分问题的欧拉方程

第三章 本文的主要结果及其证明

§3．1 定理1的证明

§3．2 定理2的证明

§3．3 定理3的证明

§3．4 定理4的证明

参考文献

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