与电流变理论相关的方程解的性质研究

摘要

变指数发展的p(x)-Laplace方程来自于磁流变等应用领域.本文主要研究一类在边界退化的变指数p(x)-Laplace方程解的相关性质，由于此方程在边界会出现退化，所以对边界条件的要求与一般发展的p(x)-Laplace方程会有所不同.有些情况我们不需要边界条件就可以得到解的存在唯一性.本文首先讨论了这类方程解的存在唯一性.又研究方程在适当空间的全局吸引子的存在性，主要是通过证明L2(Ω)空间的紧性，来得到Lp(x)（Ω)空间的全局吸引子.
　　本文的第一章，我们主要介绍偏微分方程的一些背景和研究现状，还给出了要用到空间的基本定义和性质，然后介绍了本文的主要内容.
　　本文的第二章，主要研究下列抛物方程解的存在唯一性{ut=div(a(x)|▽u|p(x)-2▽u)+f(x，u)(x，t)∈QTu(x,t)=0(x，t)∈(6)Ω×(0，T)u(x，0)=u0 x∈Ω其中QT=Ω×(0，T]，Ω∈RN.变指数p(x)是可测函数，且p-＞1，a(x)≥0，且a(x)=0在(a)Ω上.本节证明了在u0∈L∞(Ω)，p-＞1，a(x)|▽u0|p(x）∈L1（Ω)的条件下，有结论
　　(1)如果∫Ωa(x)-1/p--1dx≤C则上面方程在满足初值条件和边界条件下弱解存在唯一.
　　(2)如果∫Ωε\Ω2εa(x)/εp(x)dx→0（ε→0），则上面方程在只满足初值条件下弱解存在唯一.
　　本文的第三章，主要考虑下面方程解的大时间渐近行为{ut-div(a(x)|▽u|p(x)-2▽u)+f(x，u)=g(x)(x，t)∈Ω×R+u(x，0)=u0 x∈Ωu(x，t)=0(x，t)∈(6)Ω×R+将证明在合适的空间存在全局吸引子.其中g(x)∈L2（Ω)，u0∈L∞（Ω)，p∈C（(Ω)），2≤p(x)＜Λ＜∞，x∈(Ω).p(x)是对数H(o)lder连续的.首先我们证明了此方程的解在L2(Ω)中生成的半群拥有全局吸引子，然后通过证明L2(Ω)空间的紧性，来得到此方程的解在Lp(x)（Ω)中生成的半群拥有全局吸引子.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 应用背景及其研究现状

1．2 预备知识

1．3 本文的主要结论

第2章 变指数非线性抛物方程解的存在唯一性

2．1 问题提出

2．2 弱解的存在性

2．3 弱角翠的唯一性

第3章 变指数非线性抛物方程的大时间行为

3．1 问题提出

3．2 L2(Ω)中的全局吸引子

3．3 Lq(x)(Ω)中的全局吸引子

致谢

参考文献

在学期间已完成和已发表的学术论文