无广义自由度的、线性独立的GFEM/XFEM

摘要

报告将介绍作者新近发展的“无广义自由度的(单位分解)广义有限元方法”.新方法继承了现有广义有限元方法的高精度和高阶收敛特性,同时克服了现有方法的“线性相关性”和“坏条件性”两个稳定性问题.新方法具有如下特点:(1)使用单位分解的节点强化技术,但不引入广义自由度;(2)即使使用“逼近型'插值格式构造局部近似函数,也不影响全局函数过点插值特性;(3)克服了线性相关性导致的刚度阵奇异的问题;(4)新方法具有与普通有限元一样的稳定性…一在geometrical re frnement型的局部强化过程中,如最优收敛型XFEM,总体刚度阵的条件数随网格尺寸h的变化关系与普通有限元一致,为h-2;(5)避免了在动力学问题中广义质量项的问题.我们将讨论如何基于拉格朗日插值多项式、径向基函数RBF,以及(移动)最小二乘来构造局部近似.新方法的一个特性是,这些局部近似函数的构造,无论是基于插值的,还是逼近的格式,均不影响整体函数的过点插值性质,且不引入额外的自由度.基于改进的广义有限元插值格式,我们进一步发展了“改进型的扩展有限元方法(Improved XFEM)”,克服了现有XFEM在geometrical refinement时,刚度阵条件数随网格尺度h-7变化的坏条件数问题,改进后的扩展有限元具有与普通有限元相同的条件性态——条件数随h-2变化.此外,我们对现有扩展有限元进行的改进还包括:(1)裂尖节点强化不引入广义自由度,改进后的扩展有限元更容易在现有有限元代码的基础上实现,同时避免了动态裂纹分析时“广义质量项”定义的困难; (2)在强化节点处也自然满足插值特性; (3)在任意多裂纹问题中,引入数值流形方法中覆盖切割的技巧,使得新方法可以统一处理多裂纹的扩展与次生破裂离散体的大位移运动.具体数值算例将在报告中介绍.