一种分析输流管-非线性能量阱系统全局稳定性的方法

摘要

本发明提供了一种分析输流管‑非线性能量阱系统全局稳定性的方法，属于控制系统中的系统稳定性证明与分析技术领域。该方法基于目标能量传递理论建立的输流管‑非线性能量阱系统的高阶偏微分模型，通过Galerkin逼近方法将其离散为二阶非线性常微分形式，并首次进一步转换为包含梯度信息的二次型模型；进而通过能量扰动技术得到系统的全局稳定性判据，最后通过数值方法对理论结果验证。本发明首次解决了非线性能量阱在输流管振动控制方面有效性的理论证明问题，并给出了其全局稳定性是指数稳定的严格分析过程。

说明书

技术领域

本发明属于控制系统中的系统稳定性证明与分析技术领域，涉及到高阶偏微分方程模型的常微分化以及能量扰动技术，特别涉及一种基于李雅普诺夫稳定性理论的指数稳定分析方法。

背景技术

输流管在工业领域有着重要的应用价值和广泛的使用范围，比如热交换、燃油输送、液压等领域皆以管道输送流速变化范围很大的流体，流体流速的变化会诱导管道产生过量振动，进而使机械发生诸如噪声、材料疲劳以及漏液等故障，致使设备达不到要求的性能指标。对于输流管的振动控制方面，由于安装空间限制小，不需要能量输入，经济性好以及高可靠性等优势，被动振动控制器受到了越来越多的关注，其中一种基于非线性能量阱的被动振动控制器取得了广泛的关注及研究，并取得了一定的控制效果。作为一个强非线性附件，非线性能量阱的引入必然会对系统的稳定性产生影响，但缺乏输流管-非线性能量阱系统稳定性方面的研究。而本发明基于对输流管-非线性能量阱系统模型的理解，利用其凸特性与梯度特性建立系统的能量泛函和扰动泛函，然后利用能量扰动技术建立了系统的Lyapunov函数，并在Lyapunov稳定性理论框架下分析了系统是全局指数稳定的，最后利用数值方法对理论证明结果进行了验证。目前为止，没有专利公开基于Lyapunov稳定性理论和能量扰动技术的输流管-非线性能量阱系统的全局稳定性分析方法。

发明内容

为了说明非线性能量阱的引入对系统的影响，需要输流管-非线性能量阱系统的全局稳定性进行研究，本发明提出了一种输流管-非线性能量阱系统的全局稳定性分析方法。

本发明通过对输流管-非线性能量阱模型的理解和分析，将原系统模型转换为含有凸函数梯度信息形式的系统模型，基于此模型精心构建了系统的能量泛函与扰动泛函，然后利用能量扰动技术得到了系统的Lyapunov函数，并在Lyapunov稳定性理论框架下得到了输流管-非线性能量阱系统是全局指数稳定的判据，最后利用数值仿真验证了理论证明的结果。

本发明的技术方案为：

一种分析输流管-非线性能量阱全局稳定性的方法，包括以下步骤：

步骤1：输流管-非线性能量阱系统的建模及预处理

所述输流管的安装方式为两端简支，非线性能量阱与输流管管道相连；并且在不考虑重力、内部阻尼、外部张力以及增压效果的情况下，输流管-非线性能量阱(nonlinearenergy sink,NES)系统的数学模型可写成如下形式：

其中，Y(X,T)表示输流管的截面位移函数；EI表示输流管的弯曲刚度；λ表示输流管的黏弹性系数；M

步骤2：模型离散化

由于原输流管-非线性能量阱系统模型为高阶偏微分方程(partialdifferential equation简写PDE)形式，不便于后续的全局稳定性分析，故需要通过Galerkin近似方法将其转换为常微分方程(ordinary differential equation简写ODE)形式。通过利用标准Galerkin型，可以将输流管-NES系统转换为一个更加容易处理的有限维的动力学系统；具体过程如下：

输流管-非线性能量阱系统位移的标准Galerkin型为：

其中，φ

利用式(2)所表示的标准Galerkin型将式(1)所示的高阶PDE系统模型转化为式(3)所示的二阶非线性ODE形式：

其中

式(4)中，

步骤3：模型的二次型化

基于式(3)所示的输流管-非线性能量阱系统模型的特性，建立输流管-非线性能量阱系统的势能函数Φ(Z)如下：

其中，表示向量KZ与Z的欧式内积；根据式(6)易得Φ(Z)是一个凸函数，式(3)所示的系统模型可以写成如下形式：

其中，

步骤4：全局稳定性分析

基于式(7)，定义式(3)所示系统模型的能量泛函E(t)和扰动泛函W(t)如下：

基于定义的能量泛函和扰动泛函，定义如下Lyapunov函数：

其中，G表示扰动泛函对Lyapunov函数的影响系数，且

进而，利用泛函分析得到Lyapunov函数V

其中，a

考虑到

其中，

结合式(14)、(5)和(4)，得到式(3)所示的输流管-非线性能量阱系统的全局稳定性为指数稳定。

本发明的有益效果：

1)基于Galerkin方法，本发明首次建立输流管-NES系统的包含凸函数梯度信息的二次型模型，其中该凸函数是在系统特性的基础上首次被提出和证明的；

2)基于二次型模型，分析证明该输流管-NES系统是指数稳定的，并给出了其严格的分析过程；

3)本发明从稳定性的角度更为全面地说明了NES对于管道振动控制的有效性，而不再仅仅局限于一般的通过管道截面上响应的对比。

附图说明

图1是输流管-非线性能量阱系统结构简图。

图2是不同流速下输流管-非线性能量阱系统的能量函数、Lyapunov函数及相应的指数函数；(a)至(c)依次对应的输流管内无量纲液体流速v为1.0、2.0、3.0。其中输流管-非线性能量阱系统参数为α＝0.001，β＝0.8，ε＝0.1，σ＝0.1，k＝8000，d＝0.5，X＝0.3。

图3是不同流速下，在无控制和非线性能量阱作为控制器时输流管上若干截面(即x分别为0.2、0.5、0.8)的响应对比结果，(a)至(c)依次对应的输流管内无量纲液体流速υ为1.0、2.0、3.0。其中，图3中虚线表示无控制时输流管的响应；实线为NES作为控制器时输流管的位移响应，振动控制器参数设置为α＝0.001，β＝0.8，ε＝0.1，σ＝0.1，k＝8000，X＝0.3。

具体实施方式

以下结合附图和全局稳定性的证明推导过程，详细说明本发明的具体实施方式。

本实施例的具体过程是针对图1所示输流管-非线性能量阱系统的稳定性分析及仿真验证过程中进行的，详细设计步骤如下：

步骤1：建立输流管-非线性能量阱的数学模型，其物理结构如图1所示，两端简支的输流管长度为L，输流管的抗弯刚度为EI，质量为m

其中，Y(X，T)是输流管的纵向位移，相应地，

在方程组(1)的第一个方程中，其第一项表示弯曲恢复力；第二项表示输流管的黏弹性；第三项表示由液体流动产生的离心力；第四项表示Coriolis效应；第五项表示当液体充满管道时，管道和液体的惯性力；剩下的两项表示输流管和振动控制器之间的耦合。

需要指出的是，与充满液体的输流管系统的质量相比，非线性能量阱是一个轻质量的系统，如下所示：

其中，ε为远小于1的参数。

为了使输流管-非线性能量阱系统的全局稳定性分析及后面的数值验证具有较好的一般性，式(1)所示的系统需要转换成无量纲形式，无量纲化过程如下：

式(3)中，L表示输流管的长度，x表示输流管的长度自变量X的无量纲形式，y是输流管纵向位移Y(X，T)的无量纲形式，

将式(3)代入方程组(1)，得到方程组(1)的无量纲形式：

步骤2：通过利用标准Galerkin型项，将式(4)所表示的输流管-振动控制器系统的高阶PDE模型近似的转换为一个更加容易处理的有限维的动力学系统。因此，系统的位移可以被扩展成如下形式：

其中，φ

φ

即

将方程(5)代入方程组(4)中，得到如下形式方程组：

为了简化和方便后续推导过程，定义如下向量：

φ

则方程组(7)可以写成如下向量形式：

联合方程组(9)中的相似项，可以得到如下形式

方程组(10)中的第一个方程乘以φ

其中δ

I是单位阵，基于式(6)可以推导出Kronecker积δ

因此可得

其中μ∈(1，2，…，r)，因此可以得到是一个反对称矩阵。相似地，可以得到Kronecker积c

方程组(11)可以进一步地合并为向量积的形式

至此，将式(4)表示的输流管-NES的四阶偏微分转化为如下二阶非线性常微分形式

其中

步骤3：模型的二次型化

定义输流管-非线性能量阱系统的势能函数Φ(Z)如下：

其中表示向量KZ和Z的欧式内积。

根据式(16)容易推导出Φ(Z)的梯度

那么Φ(Z)的海森矩阵

其中k＞0是非线性能量阱的无量纲刚度。由式(15)可知K是一个半正定矩阵；由式(6)可知φ

接下来，基于凸函数Φ(Z)及其梯度特性，式(14)可进一步转化为包含凸函数梯度信息的形式，即

步骤4：全局稳定性分析

基于式(19)，定义输流管-NES系统的能量泛函E(t)及扰动泛函W(t)如下：

由式(15)可知，M是一个正定矩阵，K是一个半正定矩阵。需要注意的是，矩阵C并不是完全对称的，它是由矩阵C

接下来需要对扰动泛函W(t)进行必要的处理。根据式(21)，得到如下关系

其中λ

应用Young不等式

其中θ＝λ

m

基于凸函数Φ(Z)与能量泛函E(t)的定义，容易得到Φ(Z)≥0，这意味着

对于式(20)所示的系统的能量函数，可以推导出如下形式：

那么对于(21)所示的系统的扰动函数，也可以得到其导数如下：

将式(19)代入式(26)，得

考虑到Φ(Z)是一个凸函数，对于Z∈R

因此，结合式(27)和式(28)，得到如下不等式

将不等式(29)加到式(20)，得如下关系

其中C

即

对于任意θ＞0，存在Young不等式

那么式(21)满足如下不等式关系

其中

其中，

从凸函数Φ(Z)的定义，易得Φ(Z)的最后一项大于等于0，即

那么容易得到

其中

上式两边同乘以一个正实数P后依然成立

则存在正实数P可以使如下不等式成立

那么，结合不等式(35)、(39)和(40)可以得到

W(t)≤PE(t) (41)

不等式(32)的第一项可以进一步地被分解为如下形式

其中s∈[0，1]。将不等式(41)代入不等式(42)可得

其可以进一步地被因式分解为如下形式

如果s足够小，那么不等式(44)的第一项的系数大于0，即

定义Lyapunov函数：

其中a

注意到

结合不等式(46)和(48)，可以获得Lyapunov稳定性理论框架下的指数稳定判据

从上式可以得到系统(14)的能量E(t)满足如下关系

其中

上述不等式(50)即为式(14)所示系统的振动能量E(t)在Lyapunov稳定性理论下的指数稳定判定条件。

Galerkin方法表明，对于方程(5)，可以通过增加逼近项和合适的特征函数可以获得足够精确的解。那么，式(14)表示的系统的振动能量E(t)等于式(4)表示的原系统的振动能量，所以振动能量同样满足指数稳定判定条件(50)，即可以认为式(4)表示的原系统为指数稳定。

步骤5：仿真验证

在这一步里，以图1所示输流管-非线性能量阱系统为例来验证步骤4的理论结果。并通过对比有无非线性能量阱时输流管的位移响应情况，来对非线性能量阱的振动控制效果进行说明。基于式(4)，将图1所标示的输流管-非线性能量阱系统的参数设置如下为α＝0.001，β＝0.8，ε＝0.1，σ＝0.1，d＝0.5，

k＝8000，并且输流管两端简支表明其边界条件如下：

然后通过仿真不同无量纲流速υ情况下，输流管-非线性能量阱系统的能量量函数E(t)，Lyapunov函数V

然而，由于式(4)所表示的系统是一个高阶偏微分动力学系统，其瞬态动力学的解析解是非常难以求解的，只能通过数值方法来近似求解。为了获得高精度的近似解，式(4)所表示的系统的Galerkin过程中必须以至少两阶近似项来对输流管的位移函数y(x，t)截断。为了获得更好的数值收敛性，以及降低仿真过程的难度和减少仿真过程所用时间，选取并确定n＝2。为了激活振荡，系统的初始条件设置为

其中X为常数。

图2中(a)为无量纲流速v＝0.1，仿真激励X＝0.3的情况下，输流管-非线性能量阱系统的能量函数E(t)及Lyapunov函数V

为了进一步说明非线性能量阱的振动控制效果以及引入后对输流管的影响，对不同条件下输流管的位移响应进行了仿真和分析，结果如图3所示。图3中(a)～(c)分别是不同的无量纲流速下(依次对应于υ＝1.0，2.0，3.0)，仿真激励X＝0.3时，输流管上三个截面x＝0.2，0.5，0.8(对应于图中长度轴)处的位移响应情况，即y(0.2，t)，y(0.5，t)，y(0.8，t)。其中虚线表示的无控制时输流管各截面的位移响应，实线表示非线性能量阱作为振动控制器时输流管的位移响应情况。对比图3中实线与虚线的变化情况，可以很容易的看出非线性能量阱能够很好地抑制输流管的振动，使其位移响应很快地降低到很小的范围内。

以上所述实施例仅表达本发明的实施方式，但并不能因此而理解为对本发明专利的范围的限制，应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些均属于本发明的保护范围。