一种偏心旋转环状结构内力分析及自由振动建模方法

摘要

本发明提供一种偏心旋转环状结构内力分析及自由振动建模方法，包括以下步骤：根据偏心旋转的运动及受力特点，求取了结构离心力。利用微段研究了单载荷作用时的内力分布，通过叠加原理推广至复杂受载情形，以获得整体内力分布情况；基于内力分析，表达偏心旋转环状结构的动能与势能；利用Hamilton原理在惯性系下建立了动力学模型；使用Galerkin method将其离散，结合经典振动理论求解特征值，预测其固有特性及动力稳定性；采用变步长Runge‑kutta法进行数值验证。该一般性方法回避了无延展假设，解决了偏心旋转部件建模复杂、求解困难的问题，提高了旋转部件相关研究的解析与仿真精度，可以推广至其他旋转对称动力机械参激或受迫振动情形。

说明书

技术领域

本发明涉及工程应用中旋转对称部件的静力学与动力学特性研究领域，特别是涉及一种偏心旋转环状结构的内力分析及自由振动建模方法。

背景技术

工程实践中广泛应用各类旋转部件，以实现传动、驱动、承载和能量转换等功能，常见的有齿轮传动、滚动轴承和旋转电机等。该类部件大量应用了环状结构，尽管工作条件和功能原理各不相同，但通常采用旋转对称设计，因而具有结构稳定、受载均衡和视觉美观的特点。工作时，环状结构常常受到接触或非接触、运动或静止、均布或离散的载荷作用。考虑到应用场合对运动形式的特殊要求与难以避免的制造及安装误差，在工程实际中，该类结构可能呈现偏心旋转状态。

相比于定轴旋转，偏心旋转的运动关系较为复杂，相互关联的自转与公转使其静力学与动力学分析存在一定难度。为了简化建模与分析过程，现有研究通常假定该类结构做理想的定轴旋转，忽略了客观存在的偏心运动。

文献(Wu X H,Parker R G.Vibration of rings on a general elasticfoundation[J].Journal of Sound and Vibration,2006,295(1-2):194-213.)采用微元法建立了旋转环状结构的面内振动模型，探讨了固有频率分裂及振型耦合规律。

文献(Huang S C,Soedel W.Effects of Coriolis acceleration on the freeand forced in-plane vibrations of rotating rings on elastic foundation[J].Journal of Sound and Vibration,1987,115(2):253-274.)关注旋转圆环的自由振动和参激振动特性，深入研究了静环动载与动环静载问题，还分析了受迫响应与科氏加速度之间的联系。

然而，随着定轴旋转环状结构相关研究的不断深入，一些学者开始注意到偏心运动可能对其动力学行为产生的特殊影响。

文献(Liu T,Zhang W,Mao J.Nonlinear breathing vibrations of eccentricrotating composite laminated circular cylindrical shell subjected totemperature,rotating speed and external excitations[J].Mechanical Systems andSignal Processing,2019,127(15):463-498.)采用多尺度法研究了偏心旋转复合材料层合圆柱壳的非线性振动，揭示了偏心率等几何参数对动力学行为的影响规律。

文献(Wu Z,Yao G,Zhang Y.Vibration analysis of a thin eccentricrotating circular cylindrical shell[J].Proceedings of the Institution ofMechanical Engineers,Part C:Journal of Mechanical Engineering Science,2018,233(5):1588-1600.)考虑了离心力与科里奥利力，同时计入偏心旋转产生的不均匀初始应力，深入研究了偏心旋转圆柱薄壳的颤振失稳现象。

在工作过程中，偏心旋转使构件产生沿周向变化的离心力，诱发系统的振动和噪声。在旋转载荷作用下，振动与噪声问题对设备的精度、可靠性、工作效率及寿命产生显著影响，甚至破坏旋转部件。在充分考虑偏心运动影响的前提下，开展该类结构的动力学行为研究，并提出有效的抑振措施，为动态参数设计提供理论指导，具有重要的工程实际意义。

发明内容

本发明的目的是为了完善现有研究方法及相关技术的不足，提供一种偏心旋转环状结构受力分析及自由振动建模方法。本发明解决了偏心旋转部件建模复杂、求解困难的问题，为提高旋转部件相关研究的解析与仿真精度提供了有效帮助，详见下文描述：

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

一种偏心旋转环状结构内力分析及自由振动建模方法，基于叠加原理，包括以下步骤：

(1)开展偏心旋转环状结构的运动学分析，表达其自转与公转离心力；

(2)通过微段受力分析，求取偏心旋转环状结构在单一的径向载荷或单一的切向载荷作用时的内力分布；

(3)叠加求取偏心旋转环状结构离心力与支反力引起的内力分布；

(4)根据Hamilton原理建立偏心旋转环状结构的自由振动动力学模型；

(5)使用Galerkin method将自由振动动力学模型离散化；结合经典振动理论求解特征值，以预测偏心旋转环状结构的固有特性及动力稳定性；

(6)采用变步长Runge-kutta法进行数值验证。

进一步的，偏心旋转环状结构的自转与公转速度满足：

其中，Ω为自转角速度，Ω

进一步的，偏心旋转环状结构的离心力在微段上的表达为：

F

F

F

其中，F

进一步的，偏心旋转环状结构在单一径向载荷作用时的内力分布具体为：

其中，F

进一步的，偏心旋转环状结构在单一切向载荷作用时的内力分布具体为：

其中，F

进一步的，步骤(3)中涉及的离心力与支反力引起的内力分布为：

F

其中，F

进一步的，步骤(4)中建立自由振动模型时引入的动能与势能为：

其中，v

进一步的，偏心旋转环状结构的自由振动动力学模型具体为：

式中

A

式中，M

与现有技术相比，本发明的技术方案所带来的有益效果是：

1、现有技术对旋转部件进行动力学建模时，常常假定该类结构做理想的定轴旋转，以简化建模与分析过程。随着定轴旋转环状结构相关研究的不断深入，近年来，一些学者开始注意到偏心运动可能对其动力学行为产生特殊影响。然而，目前国内外有关偏心旋转环状结构的研究还很少，既有文献也打多关注于特定参数与简化模型下的动力学行为，有失一般性。开展偏心旋转环状结构在一般情形下的动力学研究，建立完整的数学模型，并系统地分析各类参数与固有频率及振动稳定性之间的映射关系，对于旋转部件的关键参数选取和动力选型具有重要的实际意义，尤其是行星齿轮、永磁电机、轴承保持架和陀螺仪等旋转机械。

2、环状结构的受载问题是结构静力学中的一类特殊问题。在超静定情形下，仅依靠静力学方程难以确定全部内力，需要引入结果对称性以辅助求解。本发明基于偏心旋转的运动及受力特点，充分考虑结构变形与位移的对称性，分析了环状结构的自转与公转离心力。利用叠加原理，将单一受载时的内力分布推广至复杂受载的情形，得到了静力学解析结果。该方法极大地降低了偏心旋转环状结构的建模难度，且得到的内力分布表达式准确而直观。

3、基于静力学分析结果，获取了偏心旋转环状结构的能量表达。利用Hamilton原理在惯性坐标系下建立了环状结构的自由振动模型，并通过离散手段得到了常微分动力学方程。结合经典振动理论求解系统特征值，可以快速、精确地预测该类系统的动力稳定性。相比于传统的有限元建模方法，该模型不受边界条件限制，具有更高的动态建模效率，得到的结果也更具一般性。

4、本发明使用的建模方法，回避了环状结构较为常见的无延展假设，得到的自由振动模型为完整动力学模型，能够更准确地反映动力学特性与结构参数之间的联系。该方法可以推广至参激振动与受迫振动的情形，乃至其他旋转对称动力机械的工程背景下，具有较强的工程实际应用和推广价值。

附图说明

图1a和图1b为本发明提供的偏心旋转环状结构计算模型及坐标系；

图2为根据本发明提供的方法获得的偏心旋转环状结构的受力分析；

图3a和图3b分别为根据本发明提供的方法获得的径向受力计算模型以及微元法受力分析；

图4a和图4b分别为根据本发明提供的方法获得的切向受力计算模型以及微元法受力分析；

图5a和图5b分别为根据本发明提供的方法获得的径向力与切向力作用下环状结构的切向内力分布；

图6为根据本发明提供的方法获得的偏心距对切向内力的影响；

图7a至图7d为根据本发明提供的方法获得的特征值随转速变化规律；

图8a和图8b分别为根据本发明提供的方法获得的不稳定域随转速和偏心率变化规律；

图9a至图9d为根据本发明提供的方法获得的不同d-R配比下的不稳定域随转速变化规律；

图10a和图10b为根据本发明提供的方法获得的数值验证参数取点；

图11a至图11d为根据本发明提供的方法获得的考虑切向内力的时域动态响应；

图12a至图12d为根据本发明提供的方法获得的不考虑切向内力的时域动态响应。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施例对本发明作进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

本发明提供了一种高效、普适的偏心旋转环状结构受力分析及其自由振动建模方法。

S1根据偏心旋转的运动及受力特点，求取了结构离心力。利用微段研究了单载荷作用时的内力分布，通过叠加原理推广至复杂受载情形，以获取整体的内力分布情况；

S2基于内力分析，表达偏心旋转环状结构的动能与势能；

S3利用Hamilton原理在惯性系下建立了偏心旋转环状结构的动力学模型；

S4使用Galerkin method将偏心旋转环状结构的动力学模型离散，结合经典振动理论求解特征值，预测其固有特性及动力稳定性；

S5采用变步长Runge-kutta法进行数值验证。

图1a和图1b为偏心旋转环状结构计算模型及坐标系。该结构以角速度Ω绕其几何形心o自转，同时以角速度Ω

(S1)根据简单的运动学关系，可知自转与公转转速满足

由于偏心旋转，p处将产生自转离心力F

故偏心旋转环状结构圆周上任意一点的离心力可表示为

F

F

此外，轨道对环状结构的支反力为

F

本实施例采用叠加方法计算环状结构的切向内力。如图3a所示，环状结构在极坐标θ＝0处受一个指向圆心的径向集中力F

在集中力F

在图3b中，将该虚拟力沿切向和法向投影，同时对微段中心取矩，可得

考虑到微小量dθ，有sin(dθ/2)≈dθ/2，cos(dθ/2)≈1，sin(θ+dθ/2)≈sinθ，cos(θ+dθ/2)≈cosθ，将式(8)化简。仅考虑剪力F

切向内力及弯矩与径向、切向变形之间满足

式中μ为泊松比。根据环状结构的受力特征，可得如下边界条件

采用算子法求解式(9)，可得径向力集中力作用产生的环状结构内力分布

采用类似方法，可分析仅受切向集中力作用时的情形。如图4a所示，环状结构在极坐标θ＝0处受切向集中力F

考虑式(10)与边界条件

可得内力分布

对于延展圆环而言，偏心旋转引发的切向应力应变变化，会显著影响系统的动力学特性。由前文基于微段的受力分析，已知径向集中力F

根据式(16)与(17)，可直接得到在径向集中力与切向集中力作用下的切向内力分布，如图5a和图5b所示。显然，当径向集中力作用时，环状结构以压缩应变状态为主，且其压缩与拉伸应变状态均关于极轴偶对称；而当切向集中力作用时，其压缩与拉伸应变状态关于集中力的作用点呈现奇对称特征。由式(4)、(5)和(6)知，偏心运动下环状结构圆周均布的离心力可视为从切向与径向作用于各微段的离散力，则偏心运动下的切向内力分布为

F

式中F

F

引入无量纲切向内力F

根据式(22)绘制偏心距与切向内力的关系，如图6所示。显然，图中偏心旋转环状结构处于拉伸应变状态，其切向应变峰值出现在极轴方向。相比之下，对于定轴旋转的情形，该结构仍处于拉伸应变状态，但切向内力呈现标准的圆形分布。

(S2)在图1a和图1b所示惯性系下，偏心旋转环状结构中性线上任意一点p处的位置矢量可表示为

点p在惯性坐标系下的绝对速度v

v

其中，v

因此偏心旋转环状结构的动能可表示为

由图6知，偏心旋转使环状结构发生膨胀效应。该结构在运动状态下的势能包括离心力引起的应变能和弹性振动引起的应变能。在平面应变状态下，点p处的切向应变可表示为

ε

式中

则势能可表示为

式中A和I分别为环状结构截面的面积(A＝bh)和主惯性矩(I＝bh

(S3)根据Hamilton原理，有

利用奥式方程求解变分极值问题，并对结果进行无量纲化，可得动力学方程

式中

A

式中，M

(S4)采用Galerkin method进行响应设解并将式(29)离散。为此，选取一个满足环状结构边界条件的形状函数e

式中i为虚数单位，“～”表示复共轭运算，U(t)和V(t)为离散操作中构造的最小残余力未知函数，且均为时间的复函数，故可定义

式中，x

然后与e

式中

B

式中，M

为了预测振动规律，可根据式(33)计算特征值。为此，首先假设

则

其中，I为4×4单位矩阵。假设λ为系统特征值，且x(t)＝e

根据式(36)和表1所述参数，可预测系统的稳定性。

表1旋转环状结构基本参数

图7a至图7d描述了是否考虑切向内力的不同情形下特征值随公转转速变化的规律，其中图7a和图7b中的实线与虚线分别为前行波与后行波模态。可以看到，系统在两种情形下均存在不稳定问题，且仅与低阶振动相关。结合经典振动理论，由图7c可知，在考虑切向内力的情形下，特征值实部具有更小的波峰(0.043)，系统的稳定性更强。对比图7d，在该情形下，偏心率的提高将致使致不稳定区间逐渐扩大，并使该区间的特征值实部波峰逐步增高，但其规模始终远小于不考虑切向内力的情形(0.814)。可以确定的是，在两种情形下，减小偏心距均有利于提高系统的稳定性。

图8a和图8b描述了公转转速和偏心率对不稳定域的影响。由图7a可知，在考虑切向内力的情形下，前行波模态的一阶特征值虚部为零，故图8a的不稳定参数域类型为发散不稳定。关注到不考虑切向内力的情形，根据图7b可知，前行波模态的一阶特征值虚部不为零，故图8b的不稳定参数域类型为颤振不稳定。对比图8a和图8b可发现，前者情形的不稳定域面积显著小于后者，而其不稳定类型也产生了明显变化。结合前文静力学研究结果，可以认为切向内力产生的应力刚化效应显著抑制了偏心旋转的不稳定。

为进一步研究偏心运动下的不稳定域随结构参数的变化规律，图9a描述了在考虑切向内力的情形下，偏心距、中性圆半径及公转转速对环状结构稳定性的影响。为便于观察，将不稳定参数域分为两部分，如图9b中的①和②所示。其中，参数域①的偏心距小于等于中性圆半径(k≤2)，即偏心位于结构内部；而参数域②表示其余部分(k＞2)，即偏心位于结构外部。在参数域①中，不稳定域的分布特点与图8a一致，系统仅在低转速下出现狭窄的不稳定域。随偏心距的减小、公转转速的增加，结构稳定性得到提高，以图9c最为明显。而在参数域②中，随偏心率的增加，高转速范围内出现陡增的不稳定域，以图9d最为明显。结合式(22)可知，此时支反力对切向内力分布的影响更显著。

(S5)为了验证上述不稳定域及其类型判断的正确性，针对是否考虑切向内力这两种情形，分别在不同的区域选取计算参考点，如图10所示。

选取点的具体参数组合，如表2所述。采用变步长Runge-Kutta法分别求解时域动态响应，如图11a至图12d所示。

表2数值验证参数组合

图11a至图11d描述了考虑切向内力的情形，图12a至图12d描述了相反情形。可以看出，图11a和11b呈现发散不稳定特征，图12a和12b呈现颤振不稳定特征，而其余各图均呈现周期稳态特征。显然，数值计算与理论预测结果相符。

综上所述，本发明基于偏心旋转的运动及受力特点，建立了偏心旋转环状结构的动力学模型。回避了常用的无延展假设，得到的自由振动模型为完整动力学模型，能够更准确地反映动力学特性与结构参数之间的联系。该发明解决了偏心旋转部件建模复杂、求解困难的问题，为提高旋转部件相关研究的解析与仿真精度提供了有效帮助。该方法可以推广至参激振动与受迫振动的情形，乃至其他旋转对称动力机械的工程背景下，具有较强的工程实际应用和推广价值。

本领域技术人员可以理解附图只是一个优选实施例的示意图，上述本发明实施例序号仅仅为了描述，不代表实施例的优劣。

本发明并不限于上文描述的实施方式。以上对具体实施方式的描述旨在描述和说明本发明的技术方案，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，并不是限制性的。在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，本领域的普通技术人员在本发明的启示下还可做出很多形式的具体变换，这些均属于本发明的保护范围之内。