集成电路快速计算中贝塞尔积分自适应分段方法及系统

摘要

本申请提出一种集成电路快速计算中贝塞尔积分自适应分段方法及系统，方法包括：确定并矢格林函数中所用的贝塞尔函数的阶数；根据所述贝塞尔函数的阶数，采用迭代法计算贝塞尔函数的零点；并确定所述零点的范围或个数；自适应对第

说明书

技术领域

本申请属于集成电路电磁仿真技术领域，具体涉及一种集成电路快速计算中贝塞尔积分自适应分段方法及系统。

背景技术

集成电路工作时其多层版图上由于高速信号的传输，会形成高频交变电磁场，同时，为了提高电子设备的性能，缩小体积，降低成本，将晶体管与其他元器件以及线路都集成在一小块半导体基片上。为了实现更多的功能，超大规模集成电路有数十层到上百层结构，每层结构极其复杂，集成上百万甚至上千万晶体管，且具有多尺度结构，从厘米级到目前最新的纳米级。为了保证集成电路能正常工作并实现事先设计的功能，需要首先保证集成电路的电源完整性和信号完整性，因此需要采用电磁场分析的手段对数十层、上百层的多尺度结构的集成电路的电源完整性和信号完整性进行精准的分析，这是超大规模集成电路电磁场分析的一大难题。

分析三维超大规模集成电路的电磁响应的传统方法是三维电磁场数值计算方法，例如三维有限元方法。需要计算整个计算区域的电磁场分布，进而计算出集成电路每层的电磁场分布、电流分布、指定端口的电流电压等电磁响应。然而，集成电路过孔、走线等特征尺寸为纳米级，整个集成电路的尺寸为厘米级，而根据截断误差确定的计算区域则为分米级、米级，对这样的多尺度空间进行统一的网格剖分再分析其空间电磁辐射，会产生数亿的网格和未知量，导致计算的硬件（内存）成本和CPU时间成本都过大的问题。为此，可采用有限元法和矩量法相结合的方法计算三维大规模集成电路电磁响应。在三维大规模集成电路区域，采用有限元法；在集成电路之外的大范围区域，采用矩量法；有限元法和矩量法在集成电路与外部空间的界面相耦合。由于矩量法只针对界面进行积分，因此就会减少大量的网格单元和未知量，但由于集成电路的尺度范围为纳米级到厘米级，直接对集成电路整体用有限元法求解本身会产生巨大的稀疏矩阵，且由于有限元法和矩量法进行耦合，使得形成的耦合矩阵在界面处为稠密矩阵，大大增加了整个稀疏矩阵的非零元数量和稀疏矩阵求解复杂度，使得计算时间仍然很长。

基于格林函数（或贝塞尔积分）可以计算点电流源在空间任意位置产生的场，再基于源产生的场的线性叠加性质，利用高斯积分方法可以计算面电流源在相同位置产生的场，进而计算集成电路多层复杂形状的金属板上的电流在空间不同位置产生的场。然而，采用格林函数法计算点电流源在空间任意位置产生的场时，核心和难点在于计算由格林函数引入的贝塞尔积分，因为贝塞尔函数具有高振荡、慢衰减等特性，使得针对贝塞尔积分的高精度计算一直成为研究的热点问题。

发明内容

针对以上技术问题，本申请提出一种集成电路快速计算中贝塞尔积分自适应分段方法及系统，使得针对贝塞尔积分的高精度计算成为可能。该方法首先以贝塞尔函数的零点将整个贝塞尔积分分为多个子区间的积分，然后，在每个子区间再次进行自适应分段，以分段前后的相对误差为基本判据，确定最合适的自适应分段数量，尽可能减少不必要的冗余计算，并确保每两个零点之间的子区间的积分是准确的。

第一方面，本申请提出一种集成电路快速计算中贝塞尔积分自适应分段方法，包括如下步骤：

步骤S1：计算集成电路任意层的覆铜区域上任意连续电流离散的点电流源在其他层产生的场的并矢格林函数，获取所述并矢格林函数包含的所有贝塞尔积分，并确定并矢格林函数中所用的贝塞尔函数的阶数；所述贝塞尔积分为包含贝塞尔函数的被积函数的无穷积分；

步骤S2：根据其中一个贝塞尔函数的阶数，采用迭代法计算贝塞尔函数的零点；并根据积分核函数与贝塞尔函数乘积形成的被积函数的收敛速度，确定所述零点的范围或个数，所述积分核函数是由集成电路各层材料的电磁参数、各层厚度、集成电路的工作频率、以及源点到场点之间的距离确定的，所述源点到场点之间的距离为集成电路覆铜区域上连续电流离散的点电流源形成的源点到作用于其他层的场点之间的距离；

步骤S3：针对所述积分核函数与贝塞尔函数乘积形成的被积函数进行自适应积分，设置积分子区间为

步骤S4：根据所述积分核函数与贝塞尔函数乘积形成的被积函数以及所述零点，自适应对贝塞尔积分的第

步骤S5：判断所述贝塞尔积分的第

步骤S6：按步骤S2~S5同样的方法计算所述并矢格林函数中的其他贝塞尔积分，基于所述贝塞尔积分计算集成电路任意层的覆铜区域上任意的连续电流离散的点电流源在其他层产生的场的并矢格林函数，进而计算集成电路任意层的覆铜区域上任意的连续电流在其他层产生的场。

所述电磁参数包括电导率、磁导率、介电常数。

所述自适应对第

步骤S4.1：设置分割的次数j，未分割之前j等于零；

步骤S4.2：设置j=j+1，计算分割次数为j时的分割点

步骤S4.3：利用所述分割点

步骤S4.4：针对每个下一级子区间积分

步骤S4.5：比较分割的次数为j时第

步骤S4.6：如果满足

所述计算分割次数为j时的分割点

其中，

所述利用所述分割点

其中，g(λ)为根据当前计算的集成电路的源点与场点及集成电路各层材料的电磁参数、各层厚度、集成电路的工作频率、集成电路的源点到场点的距离确定的积分核函数，λ为积分变量；

所述采用高斯积分法计算每个下一级子区间积分值，公式如下：

其中，r为格林函数作用的空间距离，为当前计算的集成电路的源点与场点的距离，K是高斯积分点总数；D为每个下一级子区间

第二方面，本申请提出一种集成电路快速计算中贝塞尔积分自适应分段系统，包括：阶数确定模块、零点确定模块、积分子区间设置模块；子区间分割模块、子区间判断模块、场计算模块；

所述阶数确定模块、零点确定模块、积分子区间设置模块；子区间分割模块、子区间判断模块、场计算模块依次顺序相连接，所述子区间判断模块与所述子区间分割模块相连接；

所述阶数确定模块用于计算集成电路任意层的覆铜区域上任意连续电流离散的点电流源在其他层产生的场的并矢格林函数，获取所述并矢格林函数包含的所有贝塞尔积分，并确定并矢格林函数中所用的贝塞尔函数的阶数；所述贝塞尔积分为包含贝塞尔函数的被积函数的无穷积分；

所述零点确定模块用于根据其中一个贝塞尔函数的阶数，采用迭代法计算贝塞尔函数的零点；并根据积分核函数与贝塞尔函数乘积形成的被积函数的收敛速度，确定所述零点的范围或个数，所述积分核函数是由集成电路各层材料的电磁参数、各层厚度、集成电路的工作频率、以及源点到场点之间的距离确定的，所述源点到场点之间的距离为集成电路覆铜区域上连续电流离散的点电流源形成的源点到作用于其他层的场点之间的距离；

所述积分子区间设置模块用于针对所述积分核函数与贝塞尔函数乘积形成的被积函数进行自适应积分，设置积分子区间为

所述子区间分割模块用于根据所述积分核函数与贝塞尔函数乘积形成的被积函数以及所述零点，自适应对贝塞尔积分的第

所述子区间判断模块用判断所述贝塞尔积分的第

所述场计算模块用于采用同样的方法计算所述并矢格林函数中的其他贝塞尔积分，基于所述贝塞尔积分计算集成电路任意层的覆铜区域上任意的连续电流离散的点电流源在其他层产生的场的并矢格林函数，进而计算集成电路任意层的覆铜区域上任意的连续电流在其他层产生的场。

所述子区间分割模块包括：设置单元、分割点计算单元、下一级子积分单元、积分累加单元、阈值比较单元；

所述设置单元、分割点计算单元、下一级子积分单元、积分累加单元、阈值比较单元依次顺序相连接，所述阈值比较单元与所述分割点计算单元相连接；

所述设置单元用于设置分割的次数j，未分割之前j等于零；

所述分割点计算单元用于设置j=j+1，计算分割次数为j时的分割点

所述下一级子积分单元用于利用所述分割点

所述积分累加单元用于针对每个下一级子区间积分

所述阈值比较单元用于比较分割次数为j时第

所述分割点计算单元，计算分割次数为j时的分割点

其中，

所述下一级子积分单元用于利用所述分割点

其中，g(λ)为根据当前计算的集成电路的源点与场点及集成电路各层材料的电磁参数、各层厚度、集成电路的工作频率、集成电路的源点到场点的距离确定的积分核函数，λ为积分变量；

所述积分累加单元用于针对每个下一级子区间积分

其中，r为格林函数作用的空间距离，为当前计算的集成电路的源点与场点的距离，K是高斯积分点总数；D为每个下一级子区间

有益技术效果：

本申请提出一种集成电路快速计算中贝塞尔积分自适应分段方法及系统，尽可能减少贝塞尔积分自适应分段方法中不必要的冗余计算，并确保每两个零点之间的子区间的积分是准确的，在此基础上计算对所有两个零点之间的子区间的积分进行累加，直到满足预定义精度。

附图说明

图1为本申请实施例一种集成电路快速计算中贝塞尔积分自适应分段方法流程图；

图2为本申请实施例确定贝塞尔函数的零点分布流程图；

图3为本申请实施例计算第

图4为本申请实施例分割点原理示意图；

图5为本申请实施例一种集成电路快速计算中贝塞尔积分自适应分段系统原理框图。

具体实施方式：

下面结合附图对本申请作进一步描述。以下实施例仅用于更加清楚地说明本发明的技术方案，而不能以此来限制本申请的保护范围。

基于格林函数（或贝塞尔积分）可以计算点电流源在空间任意位置产生的场，再基于源产生的场的线性叠加性质，利用高斯积分方法可以计算面电流源在相同位置产生的场，进而计算集成电路多层复杂形状的金属板上的电流在空间不同位置产生的场。然而，采用格林函数法计算点电流源在空间任意位置产生的场时，核心和难点在于计算由格林函数引入的贝塞尔积分，因为贝塞尔函数具有高振荡、慢衰减等特性，使得针对贝塞尔积分的高精度计算一直成为研究的热点问题。现阶段的研究中，常用如下方法进行分段，提出贝塞尔函数自适应分段积分方法，其中，将当前累加得到的积分和与前一次累加得到的积分和进行比较，若两者之间的误差小于预设的误差精度，则将当前的积分和作为积分结果，否则在每两个相邻的所述当前分段点中间位置增设新分段点，将新分段点加入当前分段点中。当误差大于设置的误差精度，则按如下公式在零点之间进行分段，得到成倍的点分布，再进行重复的计算，直到精度满足要求为止。

其中，前一次的细分次数j=0，新的细分次数为j+1=1，new1、new2等为新分段点在未进行重新编号之前的序号。这种方法能获得较高的计算精度，但问题在于存在很多冗余的计算，若每次达不到精度要求，所有分段均需要增加新分段点，在有些零点之间分段积分的精度已经达到要求时，仍统一进行分割，这样的分割和重新计算已经不必要，因此本申请主要针对这种冗余计算的问题进行研究，尽可能减少这种不必要的冗余计算。为此，本申请提出一种集成电路快速计算中贝塞尔积分自适应分段方法及系统，使得针对贝塞尔积分的高精度计算成为可能。该方法首先以贝塞尔函数的零点将整个贝塞尔积分分为多个子区间的积分，然后，在每个子区间再次进行自适应分段，以分段前后的相对误差为基本判据，确定最合适的自适应分段数量，尽可能减少不必要的冗余计算，并确保每两个零点之间的子区间的积分是准确的。本申请并不是当前累加得到的积分和与前一次累加得到的积分和进行比较，然后确定是否进行分割，而是每次针对每两个零点之间的子区间的积分值是否满足精度要求，然后确定是否需要进行进一步分割，确保每两个零点之间的子区间的积分是准确的，在此基础上计算对所有两个零点之间的子区间的积分进行累加，直到满足预定义精度。

第一方面，本申请提出一种集成电路快速计算中贝塞尔积分自适应分段方法，如图1所示，包括如下步骤：

步骤S1：计算集成电路任意层的覆铜区域上任意连续电流离散的点电流源在其他层产生的场的并矢格林函数，获取所述并矢格林函数包含的所有贝塞尔积分，并确定并矢格林函数中所用的贝塞尔函数的阶数；所述贝塞尔积分为包含贝塞尔函数的被积函数的无穷积分

对于贝塞尔函数积分，其一般具有以下形式：

其中，G(r)为待积分的格林函数，r为格林函数作用的空间距离，为当前计算的集成电路的源点与场点的距离；g(λ)为根据当前计算的集成电路的源点与场点及集成电路各层材料的电磁参数、各层厚度、集成电路的工作频率、集成电路覆铜区域上点电流源点到作用的其他层的场点的距离确定的积分核函数，

具体的，设整个集成电路共有

其中，并矢格林函数的九个元素分别为

所述并矢格林函数的九个元素，其包含了六个贝塞尔积分

其中，

T

T

T

上述e表示自然对数的底数；上述

以上表达式中，如果计算出R

由于这个积分核函数由集成电路各层材料的电磁参数、各层厚度、集成电路的工作频率、集成电路覆铜区域上点电流源到作用的其他层的场点的距离确定，其被积函数针对不同的集成电路的源点和场点对应的收敛的快慢不同，因此在计算不同的集成电路源点对场点的作用对应的贝塞尔零点时，所取的贝塞尔函数的零点范围或个数不同。

由贝塞尔函数的无穷积分R

步骤S2：根据其中一个贝塞尔函数的阶数，采用迭代法计算贝塞尔函数的零点；并根据积分核函数与贝塞尔函数乘积形成的被积函数的收敛速度，确定所述零点的范围或个数，所述积分核函数是由集成电路各层材料的电磁参数、各层厚度、集成电路的工作频率、以及源点到场点之间的距离确定的，所述源点到场点之间的距离为集成电路覆铜区域上连续电流离散的点电流源形成的源点到作用于其他层的场点之间的距离；

所述计算贝塞尔函数的零点，即确定贝塞尔函数的零点a是贝塞尔函数值为0的解，即

步骤S1.1，设置p=1；

步骤S1.2，设定第p个零点的初始猜测值

步骤S1.3，通过以下迭代公式计算

迭代终止条件：

步骤S1.4，如果计算的零点达到指定的区间范围，则完成零点计算；否则，使p=p+1,并转入步骤S1.2。

根据贝塞尔函数的零点，能够确定基于贝塞尔函数的零点获得的形成积分区间的分段点为

步骤S3：针对所述积分核函数与贝塞尔函数乘积形成的被积函数进行自适应积分，设置积分子区间为

步骤S4：根据所述积分核函数与贝塞尔函数乘积形成的被积函数以及所述零点，自适应对贝塞尔积分的第

本申请是对于不满足第一阈值的第

另外，本申请针对不满足第一阈值的第

步骤S5.1：判断所述贝塞尔积分的第

步骤S5.2：如果所述贝塞尔积分的第

步骤S5.3：否则（即如果所述贝塞尔积分的第

本步骤是第

自适应对第

步骤S4.1：设置分割的次数j，未分割之前j等于零；

步骤S4.2：设置j=j+1，计算分割的次数为j时的分割点

其中，

步骤S4.3：利用所述分割点

其中，g(λ)为根据当前计算的集成电路的源点与场点及集成电路各层材料的电磁参数、各层厚度、集成电路的工作频率、集成电路的源点到场点的距离确定的积分核函数，λ为积分变量；

步骤S4.4：针对每个下一级子区间积分

其中，r为格林函数作用的空间距离，为当前计算的集成电路的源点与场点的距离，K是高斯积分点总数；D为每个下一级子区间

步骤S4.5：比较分割的次数为j时第

步骤S4.6：如果满足

以图4为例，详细描述本申请的实施步骤，如图4所述，

确定贝塞尔函数的零点分布，假设取5个零点，即

设置积分子区间为

自适应对第

对子区间

此时，将所述累加积分结果累加到整个区间的贝塞尔积分，除了第

同理，子区间

此时，将所述累加积分结果累加到整个区间的贝塞尔积分，此时

步骤S6：按步骤S2~S5同样的方法计算所述并矢格林函数中的其他贝塞尔积分，（例如第一次计算的是贝塞尔积分R

第二方面，本申请提出一种集成电路快速计算中贝塞尔积分自适应分段方法，如图5所示，包括：阶数确定模块、零点确定模块、积分子区间设置模块；子区间分割模块、子区间判断模块、场计算模块；

所述阶数确定模块、零点确定模块、积分子区间设置模块；子区间分割模块、子区间判断模块、场计算模块依次顺序相连接，所述子区间判断模块与所述子区间分割模块相连接；

所述阶数确定模块用于计算集成电路任意层的覆铜区域上任意连续电流离散的点电流源在其他层产生的场的并矢格林函数，获取所述并矢格林函数包含的所有贝塞尔积分，并确定并矢格林函数中所用的贝塞尔函数的阶数；所述贝塞尔积分为包含贝塞尔函数的被积函数的无穷积分；

所述零点确定模块用于根据其中一个贝塞尔函数的阶数，采用迭代法计算贝塞尔函数的零点；并根据积分核函数与贝塞尔函数乘积形成的被积函数的收敛速度，确定所述零点的范围或个数，所述积分核函数是由集成电路各层材料的电磁参数、各层厚度、集成电路的工作频率、以及源点到场点之间的距离确定的，所述源点到场点之间的距离为集成电路覆铜区域上连续电流离散的点电流源形成的源点到作用于其他层的场点之间的距离；

所述积分子区间设置模块用于针对所述积分核函数与贝塞尔函数乘积形成的被积函数进行自适应积分，设置积分子区间为

所述子区间分割模块用于根据所述积分核函数与贝塞尔函数乘积形成的被积函数以及所述零点，自适应对贝塞尔积分的第

所述子区间判断模块用判断所述贝塞尔积分的第

所述场计算模块用于采用同样的方法计算所述并矢格林函数中的其他贝塞尔积分，基于所述贝塞尔积分计算集成电路任意层的覆铜区域上任意的连续电流离散的点电流源在其他层产生的场的并矢格林函数，进而计算集成电路任意层的覆铜区域上任意的连续电流在其他层产生的场。

所述子区间分割模块包括：设置单元、分割点计算单元、下一级子积分单元、积分累加单元、阈值比较单元；

所述设置单元、分割点计算单元、下一级子积分单元、积分累加单元、阈值比较单元依次顺序相连接，所述阈值比较单元与所述分割点计算单元相连接；

所述设置单元用于设置分割的次数j，未分割之前j等于零；

所述分割点计算单元用于设置j=j+1，计算分割次数为j时的分割点

所述下一级子积分单元用于利用所述分割点

所述积分累加单元用于针对每个下一级子区间积分

所述阈值比较单元用于比较分割次数为j时第

所述分割点计算单元，计算分割次数为j时的分割点

其中，

所述下一级子积分单元用于利用所述分割点

其中，g(λ)为根据当前计算的集成电路的源点与场点及集成电路各层材料的电磁参数、各层厚度、集成电路的工作频率、集成电路的源点到场点的距离确定的积分核函数，λ为积分变量；

所述积分累加单元用于针对每个下一级子区间积分

其中，r为格林函数作用的空间距离，为当前计算的集成电路的源点与场点的距离，K是高斯积分点总数；D为每个下一级子区间

本发明申请人结合说明书附图对本发明的实施示例做了详细的说明与描述，但是本领域技术人员应该理解，以上实施示例仅为本发明的优选实施方案，详尽的说明只是为了帮助读者更好地理解本发明精神，而并非对本发明保护范围的限制，相反，任何基于本发明的发明精神所作的任何改进或修饰都应当落在本发明的保护范围之内。