基于四元数加权核范数最小的彩色图像去噪方法

摘要

本发明公开了一种基于四元数加权核范数最小的彩色图像去噪方法，利用彩色图像的非局部相似性，对彩色图像建立基于四元数核范数最小的模型，并根据四元数的用于重构三维彩色图像的固有特性，利用迭代重加权算法对四元数加权核范数最小模型进行求解，从而在矢量重构过程中很好地保持构成彩色图像的三个彩色通道之间的内部联系，从而获得更好的去噪效果。

说明书

技术领域

本发明涉及图像处理技术领域，尤其是一种基于四元数加权核范数最小的彩色图像去噪方法。

背景技术

由于图像在拍摄、压缩、存储、传输过程中均不可避免地会受到拍摄设备、传输介质以及外界各种光、电信号的干扰影响，从而在图像上叠加有图像噪声，因此图像去噪是图像处理技术的重要组成部分，带有噪声的图像的形成过程可以表示为：Y＝X+N，其中X为清晰图像，N为外界噪声，Y为实际观测到的带有噪声的彩色图像。近年来，各种统计估计器、空域自适应滤波器以及基于变换域的处理方法都被用于图像去噪处理，而基于字典学习的稀疏表示方法、最优方向法和在线字典学习法等也被广泛应用于图像去噪处理。为了获得更好的去噪效果，低秩矩阵逼近方法也被用于重构清晰图像，其中低秩矩阵分解和核范数最小是低秩矩阵逼近问题中最重要的两个方向，在核范数最小的基础上，对核范数进行加权能使图像去噪达到更好的效果。然而，传统的彩色图像去噪方法通常是把彩色图像看成由三幅独立的灰度图像组合而成，一般都分别对三幅灰度图像进行处理，而忽略了各通道之间的相互联系，难以达到令人满意的去噪效果。

发明内容

为解决上述问题，本发明的目的在于提供一种基于四元数加权核范数最小的彩色图像去噪方法，该彩色图像去噪方法利用彩色图像的非局部相似性，建立彩色图像的四元数核范数最小的模型，并根据四元数用于重构三维彩色图像的固有特性，对构成彩色图像三个通道进行关联处理，从而获得更好的去噪效果。

本发明解决其问题所采用的技术方案是：

基于四元数加权核范数最小的彩色图像去噪方法，包括以下步骤：

A、对带有噪声的彩色图像进行图像采集，得到一幅像素大小为M×N的图像I，其中，M和N均为大于零的整数；

B、估计图像I中的噪声方差根据噪声方差得到噪声标准差σ_n；

C、判断噪声标准差σ_n的大小，并根据噪声标准差σ_n的大小设置不同的处理参数，若噪声标准差σ_n<50，转到步骤D；若噪声标准差σ_n≥50，先用高斯低通滤波器对图像I进行滤波处理，然后转到步骤D；

D、根据图像I的像素(r,g,b)所对应的四元数把图像I转化为四元数矩阵的表示形式，并根据该四元数矩阵的表示形式对图像I建立四元数加权核范数最小模型；

E、利用步骤C中的处理参数对图像I进行图像分块，并根据分块所得到的参考块而获得每个参考块的相似块；

F、对每个参考块的相似块建立四元数图像块加权核范数最小模型；

G、利用迭代重加权算法求解每一个四元数图像块加权核范数最小模型的估计值；

H、组合所有的四元数图像块加权核范数最小模型的估计值，求得图像I的完整估计值；

I、判断步骤G中的迭代是否全部完成，若完成，转到步骤J；若没有完成，先进行残差补偿处理，再转到步骤G；

J、图像I的完整估计值输出为不带有噪声的清晰图像，完成对彩色图像的去噪处理。

进一步，步骤C中根据噪声标准差σ_n的大小设置不同的处理参数，处理参数包括迭代次数K，四元数图像块大小w，搜索窗口大小W和相似块数n，若噪声标准差σ_n<50，则K＝6，w＝5，W＝30，n＝45；若噪声标准差σ_n≥50，则K＝3，w＝7，W＝40，n＝100。

进一步，步骤D中图像I转化为四元数矩阵的表示形式，首先把图像I的每一个像素(r,g,b)表示为一个四元数其中i、j和k是三个虚数单位，满足i²＝j²＝k²＝ijk＝-1且ij＝k，jk＝i，ki＝j；接着把图像I的所有像素(r,g,b)以矩阵的形式组合于一起，得到图像I的四元数矩阵为

进一步，步骤D中对图像I建立四元数加权核范数最小模型，其可以表示为：

其中，是图像I的四元数矩阵表示形式，是清晰图像的四元数矩阵表示形式，||·||_F表示Frobenius范数，是四元数矩阵的加权核范数，是的第i个奇异值，w为权重向量。

进一步，步骤E中对转化为四元数加权核范数最小模型的图像I进行图像分块，并根据分块所得到的参考块而获得每个参考块的相似块，包括以下步骤：

E1、分别以图像I的四元数矩阵表示形式中的像素点i∈[1,MN]作为中心，根据该中心选取大小为w×w的图像块并进行排列，得到参考块

E2、以像素点i∈[1,MN]为中心建立大小为W×W的搜索窗口，以该搜索窗口中的任一点j∈[1,W²]选取一个大小为w×w的图像块并进行排列，得到相似块

E3、根据相似块和参考块利用下述公式计算四元数图像块之间的欧氏距离：

其中，|| ||₂表示为二范数，表示为四元数向量的共轭转置；

E4、对于每一个参考块把得到的欧氏距离按照由小到大进行排序，并选择前n个相似的相似块排列得到每一个参考块的相似块矩阵，表示为还可表示为其中，是清晰图像块的四元数矩阵表示，是噪声块的矩阵表示。

进一步，步骤F中对每个参考块的相似块建立四元数图像块加权核范数最小模型，根据每一个参考块的相似块矩阵，建立如下的四元数图像块加权核范数最小模型：

其中，是清晰图像块的四元数矩阵的加权核范数，是的第i个奇异值。

进一步，步骤G中利用迭代重加权算法求解每一个四元数图像块加权核范数最小模型的估计值，首先利用噪声方差归一化Frobenius范数并使之做数据保真项，得到下述的代价函数：

其中，即为四元数图像块加权核范数最小模型所需求得的估计值；接着，利用迭代重加权算法分别求得和权重向量w的值，并代入上式之中从而解得每一个四元数图像块加权核范数最小模型的估计值。

进一步，步骤H中求得图像I的完整估计值，通过计算经过K次迭代后具有重叠部分的四元数图像块加权核范数最小模型的估计值的平均值，即得到第K次迭代后的图像I的完整估计值

进一步，步骤I中进行的残差补偿处理，根据下述公式实现：

其中，δ是比例因子，其值为0.01；为第K次迭代后的图像I的四元数矩阵表示形式；为第K-1次迭代后的图像I的完整估计值。

进一步，步骤C中的高斯低通滤波器，其大小为3×3，标准差为0.5。

本发明的有益效果是：基于四元数加权核范数最小的彩色图像去噪方法，利用四元数表示彩色图像的优点，把实数域内的非局部相似性和加权核范数扩展到四元数空间，将彩色图像用四元数矩阵表示，并构建四元数加权核范数最小模型，在求解四元数加权核范数最小模型的过程中，根据四元数用于重构三维彩色图像的固有特性，找出彩色图像中每一个四元数图像块的非局部相似块，从而在矢量重构过程中很好地保持构成彩色图像的三个彩色通道之间的内部联系，从而获得更好的去噪效果；当彩色图像带有较大的噪声时，首先运用高斯低通滤波器进行噪声预处理，接着再建立四元数加权核范数最小模型并求解其最优解，能够减少运算时的迭代次数，提高算法的效率，改进去噪的效果。

附图说明

下面结合附图和实例对本发明作进一步说明。

图1是本发明彩色图像去噪方法的流程图；

图2-1是利用本发明的彩色图像去噪方法进行实验时所采用的芭芭拉人物图像；

图2-2是利用本发明的彩色图像去噪方法进行实验时所采用的斑蝶图像；

图3-1是芭芭拉人物图像含有噪声时的图像；

图3-2是利用K-SVD算法对图3-1中的图像进行去噪所得到的图像；

图3-3是利用WNNM算法对图3-1中的图像进行去噪所得到的图像；

图3-4是利用本发明的彩色图像去噪方法对图3-1中的图像进行去噪所得到的图像；

图4-1是斑蝶图像含有噪声时的图像；

图4-2是利用K-SVD算法对图4-1中的图像进行去噪所得到的图像；

图4-3是利用WNNM算法对图4-1中的图像进行去噪所得到的图像；

图4-4是利用高斯低通滤波器结合WNNM算法对图4-1中的图像进行去噪所得到的图像；

图4-5是利用本发明的彩色图像去噪方法对图4-1中的图像进行去噪所得到的图像。

具体实施方式

参照图1，本发明的基于四元数加权核范数最小的彩色图像去噪方法，包括以下步骤：

A、对带有噪声的彩色图像进行图像采集，得到一幅像素大小为M×N的图像I，其中，M和N均为大于零的整数；

B、估计图像I中的噪声方差根据噪声方差得到噪声标准差σ_n；C、判断噪声标准差σ_n的大小，并根据噪声标准差σ_n的大小设置不同的处理参数，若噪声标准差σ_n<50，转到步骤D；若噪声标准差σ_n≥50，先用高斯低通滤波器对图像I进行滤波处理，然后转到步骤D；

D、根据图像I的像素(r,g,b)所对应的四元数把图像I转化为四元数矩阵的表示形式，并根据该四元数矩阵的表示形式对图像I建立四元数加权核范数最小模型；

E、利用步骤C中的处理参数对图像I进行图像分块，并根据分块所得到的参考块而获得每个参考块的相似块；

F、对每个参考块的相似块建立四元数图像块加权核范数最小模型；

G、利用迭代重加权算法求解每一个四元数图像块加权核范数最小模型的估计值；

H、组合所有的四元数图像块加权核范数最小模型的估计值，求得图像I的完整估计值；

I、判断步骤G中的迭代是否全部完成，若完成，转到步骤J；若没有完成，先进行残差补偿处理，再转到步骤G；

J、图像I的完整估计值输出为不带有噪声的清晰图像，完成对彩色图像的去噪处理。

参照图1，首先对彩色图像进行图像采集，得到一幅像素大小为M×N的图像I，根据图像I和四元数之间的内在关系，把图像I中的每一个像素都转化为四元数矩阵表示，从而可以把整个图像I都转化为四元数矩阵表示，并进而构建成图像I的四元数加权核范数最小模型，由于图像I中的每一个像素都包含有r、g和b三种灰度，因此整个图像I转化为四元数矩阵表示时，构成图像I的三幅灰度图像也联系于一起同时转化为四元数矩阵表示。把构成图像I的三幅灰度图像联系于一起构建成四元数加权核范数最小模型，随着对四元数加权核范数最小模型进行求解，从而得到图像I的完整估计值，进而获得不带有噪声的清晰图像，因此，使用本发明的彩色图像去噪方法比使用传统的单独对每一个灰度图像进行去噪处理的方法，能获得更好的去噪效果，并且能够减少运算的迭代次数，提高算法的效率。

其中，步骤C中根据噪声标准差σ_n的大小设置不同的处理参数，处理参数包括迭代次数K，四元数图像块大小w，搜索窗口大小W和相似块数n，若噪声标准差σ_n<50，则K＝6，w＝5，W＝30，n＝45；若噪声标准差σ_n≥50，则K＝3，w＝7，W＝40，n＝100，并且先用高斯低通滤波器对图像I进行滤波，而高斯低通滤波器的大小为3×3，标准差为0.5。当噪声标准差σ_n<50，说明图像I中带有的外界噪声相对较小，因此能够利用增加迭代次数来直接对图像I进行去噪处理；当噪声标准差σ_n≥50，说明图像I中带有的外界噪声相对较大，直接对图像I进行去噪处理需要更多的迭代次数以及需要计算更多的相似块，因此会大大增加去噪处理的计算量。当图像I中带有相对较大的外界噪声时，首先利用高斯低通滤波器对图像I进行滤波处理，使得图像I的大部分外界噪声被滤除后，剩下的外界噪声可以使用较少的迭代次数进行去噪处理，从而降低了去噪处理的难度要求。

其中，步骤D中图像I转化为四元数矩阵的表示形式，首先把图像I的每一个像素(r,g,b)表示为一个四元数其中i、j和k是三个虚数单位，满足i²＝j²＝k²＝ijk＝-1且ij＝k，jk＝i，ki＝j；接着把图像I的所有像素(r,g,b)以矩阵的形式组合于一起，得到图像I的四元数矩阵为由于图像I的每一个像素(r,g,b)都能够表示为一个四元数以此类推，整个图像I也能够用四元数矩阵来表示。

其中，步骤D中对图像I建立四元数加权核范数最小模型，其可以表示为：

其中，是图像I的四元数矩阵表示形式，是清晰图像的四元数矩阵表示形式，||·||_F表示Frobenius范数(弗罗贝尼乌斯范数)，是四元数矩阵的加权核范数，是的第i个奇异值，w为权重向量。由于图像I能够用四元数矩阵来表示，而其退化模型则可以表示为：其中，是需要求得的清晰图像所对应的四元数矩阵；是加性高斯白噪声所对应的四元数矩阵，因此，可定义的均值为0，方差为因此，可根据图像I的退化模型建立得到四元数加权核范数最小模型为

其中，步骤E中对转化为四元数加权核范数最小模型的图像I进行图像分块，并根据分块所得到的参考块而获得每个参考块的相似块，包括以下步骤：

E1、分别以图像I的四元数矩阵表示形式中的像素点i∈[1,MN]作为中心，根据该中心选取大小为w×w的图像块并进行排列，得到参考块

E2、以像素点i∈[1,MN]为中心建立大小为W×W的搜索窗口，以该搜索窗口中的任一点j∈[1,W²]选取一个大小为w×w的图像块并进行排列，得到相似块

E3、根据相似块和参考块利用下述公式计算四元数图像块之间的欧氏距离：

其中，|| ||₂表示为二范数，表示为四元数向量的共轭转置；

E4、对于每一个参考块把得到的欧氏距离按照由小到大进行排序，并选择前n个相似的相似块排列得到每一个参考块的相似块矩阵，表示为还可表示为其中，是清晰图像块的四元数矩阵表示，是噪声块的矩阵表示；

把图像I进行图像分块，能够把对整个图像I的处理运算量降低为对各个四元数图像块的运算量，由于各个四元数图像块中所包含的数据信息远小于整个图像I所包含的数据信息，因此每进行一次迭代运算时，都能够达到改善算法效率的目的。

其中，步骤F中对每个参考块的相似块建立四元数图像块加权核范数最小模型，根据每一个参考块的相似块矩阵，建立如下的四元数图像块加权核范数最小模型：

其中，是清晰图像块的四元数矩阵的加权核范数，是的第i个奇异值。由于由自然图像的非局部相似块所组成的矩阵都是低秩的，因此由自然拍摄的彩色图像所得到的清晰图像块的四元数矩阵表示也是低秩矩阵，因此，可以采用低秩矩阵逼近的方法由得到

其中，步骤G中利用迭代重加权算法求解每一个四元数图像块加权核范数最小模型的估计值，首先利用噪声方差归一化Frobenius范数并使之做数据保真项，得到下述的代价函数：

其中，即为四元数图像块加权核范数最小模型所需求得的估计值；接着，利用迭代重加权算法分别求得和权重向量w的值，并代入上式从而解得每一个四元数图像块的估计值。

对于权重向量w的求解，由于较大的特征值代表了图像I的主要成分的能量，因此其特征值越大，其收缩则越小，即较大的特征值对应着较小的权重，由此可知，的权重向量w的大小与的奇异值的大小成反比，即：

其中是第K次循环中的第i个特征值，C是一个常数，其值为ε＝10^-16是一个很小的常数，用以避免除数是0的情况。由于特征值是单调递减的，所以权重向量是递增的，求解上述公式，即可得到的权重向量w的值。

对于的求解，对进行四元数矩阵的奇异值分解，可得其中，是的第n个特征值，矩阵是矩阵的转置矩阵。根据Cayley-Dickson表示法，假设有一个与等价的复数矩阵为对Y_c做复数矩阵的奇异值分解，可得Y_c＝UΛ'V^H，由于与Y_c等价，则同样可得到复数矩阵的奇异值分解为其中，矩阵Λ'和矩阵Λ分别为Y_c和的特征值，矩阵是矩阵的共轭转置矩阵，同理，矩阵V^H是矩阵V的共轭转置矩阵。因此，可得出下列结果：

Λ＝row_odd(col_odd(Λ'))，

其中，是的特征向量，是Y_c的共轭转置矩阵，和分别是矩阵U的上半部分和下半部分，是U²的共轭负矩阵；和分别是的矩阵V的上半部分和下半部分，是V²的共轭负矩阵；运算row_odd()和运算col_odd()分别是提取出矩阵的奇数行和奇数列的运算。由于的复数等价矩阵Y_c的特征值在对角线上以共轭对的形式出现，而是Hermitian矩阵，因此其特征值是实数并且在对角线上成对出现，因此，的特征值Λ均为实数。所以，根据上面的公式，能够分别求得Λ、和的值，从而能够求得的值。

对于的求解，同理，对进行四元数矩阵的奇异值分解，可得其中，可由下式计算：

上式中，因此，对的求解可通过而求得，由于和的值，以及的特征值均能够被求得，因此通过上式可求得的值，进而能够根据的值求得权重向量w的值。由于和权重向量w均已被求得，因此每一个四元数图像块加权核范数最小模型的估计值，即能够求得

其中，步骤H中求得图像I的完整估计值，通过计算经过K次迭代后具有重叠部分的四元数图像块加权核范数最小模型的估计值的平均值，即得到第K次迭代后的图像I的完整估计值由于经过图像分块而得到的四元数图像块是重叠的，因此每一个像素(r,g,b)可以得到多个估计值，为了得到最为准确的清晰图像的像素(r,g,b)，需要对每一个像素(r,g,b)所对应的所有估计值求平均，即为清晰图像中的像素(r,g,b)的完整估计值经过K次迭代后，即可得到第K次迭代后的图像I的完整估计值当达到设定的迭代次数K时，得到最后的估计值即为估计得到的清晰图像，从而完成了对彩色图像的去噪处理。

其中，步骤I中进行的残差补偿处理，根据下述公式实现：

其中，δ是比例因子，其值为0.01；为第K次迭代后的图像I的四元数矩阵表示形式；为第K-1次迭代后的图像I的完整估计值。使用迭代重加权算法求解每一个四元数图像块加权核范数最小模型的估计值时，利用了多个相似的四元数图像块之间的联系，因此每一次迭代得到的结果与原始的彩色图像中的像素数据都有所区别，为了减小迭代运算时的误差并提高迭代运算的准确度，每次进行迭代运算时都先进行一次残差补偿处理，使得迭代运算的结果更加逼近要估计的清晰图像，大大提升去噪效果。

本发明可通过下列实验验证：

1.评价指标：

(1)客观评价标准：

1)峰值信噪比(PSNR)：

其中k是每个像素的比特数，是最小均方误差，X和Y分别是理想图像和观测图像，M和N分别是图像的宽和高；

2)结构相似性(SSIM)：

其中X和Y分别是理想图像和观测图像，x_i,y_i分别是X和Y对应的第i个窗口，大小默认为8×8，N是窗口的总个数，且

μ_x和μ_y分别是x和y的均值，和分别是x和y的方差，σ_xy是x和y的协方差，c₁和c₂分别是两个用于稳定除法的变量。

(2)主观评价标准：

一般图像去噪效果的优劣可通过人眼的视觉感受来衡量，感觉清晰，纹理好，则去噪效果好，反之则去噪效果较差。

2.仿真图像：

选择图2-1和图2-2所示的两幅测试图像。

3.对比方法：

对比方法1：

Elad等人在文献“Elad M,Aharon M.Image denoising via sparse andredundant representations over learned dictionaries[J].IEEE Transactions onImage processing,2006,15(12):3736-3745.”中提出的基于字典的稀疏冗余表示下的图像去噪方法在三个彩色通道分别实现，简称K-SVD方法。

对比方法2：

Gu S.等人在文献“Gu S,Zhang L,Zuo W,et al.Weighted nuclear normminimization with application to image denoising[C]//Proceedings of the IEEEConference on Computer Vision and Pattern Recognition.2014:2862-2869.”中提出的基于加权核范数最小化的图像去噪方法在三个彩色通道分别实现，简称WNNM方法。

4.仿真内容：

仿真1：分别在噪声标准差是5、10、15和25的四种低噪声情况下，使用本发明的彩色图像去噪方法和K-SVD方法及WNNM方法对图2-1和图2-2中的两幅图像进行仿真去噪，得到以下的对比结果：

仿真2：分别在噪声标准差是50、75和100的三种低噪声情况下，使用本发明的彩色图像去噪方法和K-SVD方法及WNNM方法对图2-1和图2-2中的两幅图像进行仿真去噪，得到以下的对比结果：

仿真3：图3-1为含有标准差为50的高斯白噪声的芭芭拉人物图像，图3-2、图3-3和图3-4分别是K-SVD方法、WNNM方法和本发明的彩色图像去噪方法的去噪结果。

仿真4：图4-1为含有标准差为100的高斯白噪声的斑蝶图像，图4-2、图4-3、图4-4和图4-5分别是K-SVD方法、WNNM方法、高斯低通滤波器结合WNNM方法和本发明的彩色图像去噪方法的去噪结果。

综上所述，本发明的彩色图像去噪方法优于现有的两种去噪方法。

以上是对本发明的较佳实施进行了具体说明，但本发明并不局限于上述实施方式，熟悉本领域的技术人员在不违背本发明精神的前提下还可作出种种的等同变形或替换，这些等同的变形或替换均包含在本申请权利要求所限定的范围内。