一种混凝土分数阶徐变模型

摘要

一种混凝土分数阶徐变模型，在考虑水泥水化反应的情况下。本发明提供的一种混凝土分数阶徐变模型混凝土分数阶徐变模型的表达式为式中：C(te，τe)为加荷龄期为τe、持荷时间为te‑τe的徐变度，f1、g1、p1、r1、β为系数，且0<β≤1。本发明提供的一种混凝土分数阶徐变模型，充分反应了混凝土徐变与加载龄期、持荷时间、水泥水化反应相关的特性，而且所建立的新模型还克服了常用的八参数徐变模型参数较多的缺点，对此模型的拟合效果分析可知，分数阶模型满足混凝土徐变规律，具有较高的拟合精度。

说明书

技术领域

本发明涉及预测混凝土徐变领域，尤其是一种混凝土分数阶徐变模型。

背景技术

混凝土是一种徐变体材料，即在常应力作用下，随着时间的延长，应变将不断增加。混凝土徐变不仅与持荷时间有关，而且与加载龄期等有关，加载越早，徐变越大。不仅如此，温度对混凝土徐变性能也有较大的影响，而且温度对混凝土徐变影响关系复杂，并非简单的温度越高徐变越大的单调关系。

混凝土徐变对混凝土的受力和变形性能有显著影响，如何选择一个能精确预测徐变的预测模型一直是研究的热点。徐变预测模型表达式是反映徐变系数或徐变变形随时间变化规律的数学函数式，徐变预测的有效性和准确性很大程度上取决于徐变预测模型的选取。就模型的数学函数构造而言,国内外混凝土徐变的预测模型可大致分为三大类：(1)乘积模型，即将徐变表示为若干分项的乘积，对混凝土徐变不进行细分，从整体进行描述，如ACI209R系列模型等；(2)和式模型，即将徐变表示为若干分项之和，如CEB-FIP系列模型、B-P系列模型等；(3)混合模型，即将乘积模型和和式模型混合，如GL-2000模型等。

上述这些模型各有缺陷，如CEB-FIP(1978)模型精度较低，徐变计算值与徐变实际值吻合程度不高；ACI209模型试验数据的符合情况较差，通常低估了收缩和徐变效应；八参数模型虽能很好符合徐变规律，但需要确定的参数较多。下面分别给出各模型的表达式和主要缺陷，详见表1、表2。

表1现有混凝土徐变模型

对于上述这些模型局限性及适用性，下表2详细列出了现有徐变模型的主要缺陷和适用范围。

表2现有模型适用范围及主要缺陷

针对上述常用的徐变模型存在的缺陷，下面采用分数阶微积分理论建立一种新的混凝土徐变模型。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种混凝土分数阶徐变模型，将分数阶微积分流变模型、混凝土徐变特性和水化度理论相结合，建立了一种考虑水化度的混凝土分数阶徐变模型。与传统徐变模型相比，本发明所建立的新模型充分反应了混凝土徐变与加载龄期、持荷时间、水泥水化反应相关的特性，而且所建立的新模型还克服了常用的八参数徐变模型参数较多的缺点，对此模型的拟合效果分析可知，分数阶模型满足混凝土徐变规律，具有较高的拟合精度。

为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：

一种混凝土分数阶徐变模型，

当应力不变的情况下，根据Riemann-Liouville型分数阶微积分算子理论，建立基于分数阶微积分的徐变模型表达式为

式中：C(t,τ)为加荷龄期为τ、持荷时间为t-τ的徐变度，f₁、g₁、p₁、r₁、β为系数，且0<β≤1。

采用分数阶微积分的混凝土徐变模型对混凝土徐变度进行拟合，式(1)中未知参数有5个，分别为f₁、g₁、p₁、r₁、β；

将各待定参数记为X,即X＝[x₁,x₂,x₃,x₄,x₅]^T,并且有约束条件：0<x₅≤1，x_i≥0(i＝1～4)，则有

用实验徐变值和计算徐变值的残差平方和，作为参数反演优化问题的目标函数，以寻求混凝土的分数阶微积分徐变表达式的5参数，即

式中：C(t,τ)为徐变度计算值，C′(t,τ)为徐变度实验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数，

从而求得各待定参数。

在考虑水泥水化反应的情况下，结合式(1)得到考虑水泥水化反应的混凝土分数阶徐变模型的表达式为

式中：C(t_e,τ_e)为加荷龄期为τ_e、持荷时间为t_e-τ_e的徐变度，f₁、g₁、p₁、r₁、β为系数，且0<β≤1

在考虑水泥水化反应的情况下，结合式(1)得到考虑水泥水化反应的混凝土分数阶徐变模型的的步骤如下：

步骤1：采用水化热法来描述水化度，即定义水化度为某时刻已释放的热量和最终完全释放的热量的比值,水泥水化会随着温度的升高而加快，

基于Arrhenius方程提出的溶液反应速率常数β_T与温度的关系式为

U_h为水化活动能；R为气体常数，为80315J/K；T为混凝土实际温度；T₀为参考温度；

步骤2：基于等效龄期的概念，提出Arrhenius函数形式的等效龄期，表达式为

式中U_h为水化活动能；R为气体常数，为80315J/K；T为混凝土实际温度；T₀为参考温度，通常取293K，即20℃；

其中，关于活化能的计算模型如下：

步骤3：通过对已有的不同温度下混凝土绝热温升资料进行回归分析，认为与混凝土实际温度T满足如下关系

利用上述等效龄期的原理，将t,τ分别代以t_e,τ_e，结合式(1)，可以得到考虑水泥水化反应的混凝土分数阶徐变模型的表达式为

式中：C(t_e,τ_e)为加荷龄期为τ_e、持荷时间为t_e-τ_e的徐变度，f₁、g₁、p₁、r₁、β为系数，且0<β≤1。

采用分数阶微积分的混凝土徐变模型对混凝土徐变度进行拟合，式(1)中未知参数有5个，分别为f₁、g₁、p₁、r₁、β；

将各待定参数记为X,即X＝[x₁,x₂,x₃,x₄,x₅]^T,并且有约束条件：0<x₅≤1，x_i≥0(i＝1～4)，则有

用实验徐变值和计算徐变值的残差平方和，作为参数反演优化问题的目标函数，以寻求混凝土的分数阶微积分徐变表达式的5参数，即

式中：C(t,τ)为徐变度计算值，C′(t,τ)为徐变度实验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数；

同理，运用上述等效龄期的理论，将t,τ分别代以t_e,τ_e，结合式(3)可以得到，考虑水泥水化反应的情况下混凝土徐变模型参数反演的目标函数，即

x_i为分数阶模型的5个参数，

从而求得各待定参数。

求得各待定参数的方法为：

步骤1：确定变量个数为5个，复合形顶点数目k取6个，精度取值为1e-6；

步骤2：产生初始复合形，在约束范围中产生k个随机点，构成初始复合形；

步骤3：对式(1)和(9)进行收敛性分析，根据无穷级数的收敛性，结合具体算例确定n的取值；

步骤4：按复合形法的MATLAB程序进行迭代计算，利用复合形各顶点函数值大小的关系，判断目标函数值的下降方向，不断丢掉最坏点，使复合形不断向最优点收缩，直到满足收敛精度为止，

从而得到各待定参数。

本发明提供的一种混凝土分数阶徐变模型，将分数阶微积分流变模型、混凝土徐变特性和水化度理论相结合，建立了一种考虑水化度的混凝土分数阶徐变模型。与传统徐变模型相比，本发明所建立的新模型充分反应了混凝土徐变与加载龄期、持荷时间、水泥水化反应相关的特性，而且所建立的新模型还克服了常用的八参数徐变模型参数较多的缺点，对此模型的拟合效果分析可知，分数阶模型满足混凝土徐变规律，具有较高的拟合精度。

具体实施方式

实施例一(不考虑水泥水化反应的分数阶混凝土徐变模型)

一种混凝土分数阶徐变模型，

当应力不变的情况下，根据Riemann-Liouville型分数阶微积分算子理论，建立基于分数阶微积分的徐变模型表达式为

式中：C(t,τ)为加荷龄期为τ、持荷时间为t-τ的徐变度，f₁、g₁、p₁、r₁、β为系数，且0<β≤1。

采用分数阶微积分的混凝土徐变模型对混凝土徐变度进行拟合，式(1)中未知参数有5个，分别为f₁、g₁、p₁、r₁、β；

将各待定参数记为X,即X＝[x₁,x₂,x₃,x₄,x₅]^T,并且有约束条件：0<x₅≤1，x_i≥0(i＝1～4)，则有

用实验徐变值和计算徐变值的残差平方和，作为参数反演优化问题的目标函数，以寻求混凝土的分数阶微积分徐变表达式的5参数，即

式中：C(t,τ)为徐变度计算值，C′(t,τ)为徐变度实验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数，

从而求得各待定参数。

为了验证上述方法的实用性和准确性，采用龚嘴重力坝坝基部分混凝土进行分析。对于龚嘴重力坝混凝土徐变度，下面给出其具体数值，见下表3。

表3龚嘴重力坝混凝土徐变度实验值

依据上述第3节所介绍的复合形法原理和计算步骤，采用MATLAB语言编写计算程序，结合龚嘴重力坝的混凝土徐变实验值，对所采用的分数阶徐变表达式进行参数反演。在计算时，本发明申请对龚嘴重力坝混凝土加载时间前180d、持荷时间前720d进行拟合。通过对分数阶模型表达式进行收敛性分析，当n取值大于40时，此模型表达式基本处于收敛，为此本专利在编写MATLAB程序时，取n＝40，经过敏感性分析发现，f₁、r₁、β较其他两参数敏感，对初始复合型进行调试，得到对应的残差平和F(X)为4.87。参反演结果如下表4所示，分数阶拟合公式如式(11)，分数阶模型徐变度计算值结果见表5。

表4分数阶模型参数反演结果

表5龚嘴重力坝混凝土徐变度分数阶模型计算值

对八参数模型进行反演，得到徐变度表达式如下式(12)所示，同时，八参数模型徐变度的计算值如下表6所示。

C(t,τ)＝(7+64.4τ^-0.45)[1-e^-0.3(t-τ)]+(16+27.2τ^-0.45)[1-e^-0.005(t-τ)]

(12)

表6龚嘴重力坝混凝土徐变度分数阶八参数模型计算值

通过对比混凝土徐变度实验值、分数阶模型计算值、八参数模型可知：分数阶模型、八参数模型均能较好的拟合出混凝土徐变规律，分数阶模型拟合精度总体上来说与八参数模型拟合精度相差不大，但分数阶模型所需确定的参数小于八参数模型所需确定的参数。

下面对实施例一确定的分数阶模型进行精度分析，设以f/f₀的值作为精度评判标准，将分数阶模型计算值及徐变度实验值带入f和f₀表达式中，可得f/f₀＝8.8％<10％，其值小于工程上所规定的上限值，说明上式(11)拟合的精确性高，能为工程设计服务。

实施例二(考虑水泥水化反应的分数阶混凝土徐变模型)

在考虑水泥水化反应的情况下，结合式(1)得到考虑水泥水化反应的混凝土分数阶徐变模型的表达式为

式中：C(t_e,τ_e)为加荷龄期为τ_e、持荷时间为t_e-τ_e的徐变度，f₁、g₁、p₁、r₁、β为系数，且0<β≤1

在考虑水泥水化反应的情况下，结合式(1)得到考虑水泥水化反应的混凝土分数阶徐变模型的的步骤如下：

步骤1：采用水化热法来描述水化度，即定义水化度为某时刻已释放的热量和最终完全释放的热量的比值,水泥水化会随着温度的升高而加快，

基于Arrhenius方程提出的溶液反应速率常数β_T与温度的关系式为

U_h为水化活动能；R为气体常数，为80315J/K；T为混凝土实际温度；T₀为参考温度；

步骤2：基于等效龄期的概念，提出Arrhenius函数形式的等效龄期，表达式为

τ_e＝∫β_Tdt(6)

式中U_h为水化活动能；R为气体常数，为80315J/K；T为混凝土实际温度；T₀为参考温度，通常取293K，即20℃；

其中，关于活化能的计算模型如下：

步骤3：通过对已有的不同温度下混凝土绝热温升资料进行回归分析，认为与混凝土实际温度T满足如下关系

利用上述等效龄期的原理，将t,τ分别代以t_e,τ_e，结合式(1)，可以得到考虑水泥水化反应的混凝土分数阶徐变模型的表达式为

式中：C(t_e,τ_e)为加荷龄期为τ_e、持荷时间为t_e-τ_e的徐变度，f₁、g₁、p₁、r₁、β为系数，且0<β≤1。

采用分数阶微积分的混凝土徐变模型对混凝土徐变度进行拟合，式(1)中未知参数有5个，分别为f₁、g₁、p₁、r₁、β；

将各待定参数记为X,即X＝[x₁,x₂,x₃,x₄,x₅]^T,并且有约束条件：0<x₅≤1，x_i≥0(i＝1～4)，则有

用实验徐变值和计算徐变值的残差平方和，作为参数反演优化问题的目标函数，以寻求混凝土的分数阶微积分徐变表达式的5参数，即

式中：C(t,τ)为徐变度计算值，C′(t,τ)为徐变度实验值，F(X)是目标函数，x_i为待确定参数；

同理，运用上述等效龄期的理论，将t,τ分别代以t_e,τ_e，结合式(3)可以得到考虑水泥水化反应的情况下混凝土徐变模型参数反演的目标函数，即

x_i为分数阶模型的5个参数，

从而求得各待定参数。

求得各待定参数的方法为：

步骤1：确定变量个数为5个，复合形顶点数目k取6个，精度取值为1e-6；

步骤2：产生初始复合形，在约束范围中产生k个随机点，构成初始复合形；

步骤3：对式(1)和(9)进行收敛性分析，根据无穷级数的收敛性，结合具体算例确定n的取值；

步骤4：按复合形法的MATLAB程序进行迭代计算，利用复合形各顶点函数值大小的关系，判断目标函数值的下降方向，不断丢掉最坏点，使复合形不断向最优点收缩，直到满足收敛精度为止，

从而得到各待定参数。

验证上述方法的实用性和准确性的试验内容如下：

1、压缩徐变实验

本实验用以研究混凝土压缩徐变规律，对比开展了多龄期自然养护下和标准养护下水工混凝土单轴压缩徐变试验，以下采用考虑水化度的分数阶徐变模型对试验数据进行分析。

(1)混凝土徐变试验参数及仪器设备

混凝土单轴压缩徐变试件为150mm×150mm×550mm的混凝土棱柱体试件，应力比为0.3(受压荷载为破坏荷载的30％)；加载装置采用的是上海华精工贸有限公司生产的XBJ-500型徐变仪；荷载传感器型号为BLR-2型；由于LVDT及外贴应变片受外界环境因素影响较大，采用內埋S-100型差阻式应变计，应变计采用SO-5数字式电桥测量。

(2)混凝土原材料及配合比

本次混凝土徐变试验选用的原材料的主要物理力学性能如表7所示，C30二级配混凝土的配合比如表8所示。其中，水灰比0.5，砂率35％，粉煤灰掺量35％。

表7原材料的基本物理性质

表8压缩徐变试验混凝土配合比Kg/m³

(3)混凝土单轴压缩试验方案

设计了2组徐变对比试验，如表9所示，一组试验试件在冬季自然养护(即室外养护)，另一组试验试件在标准养护室内进行养护(即标准养护)，分别在养护3d、7d、14d、21d、28d龄期后，在徐变实验室进行压缩徐变试验，加载时长为2个月。表3中3个徐变试件，其中2个作为加载徐变试件，另外1个作为补偿试件；3个标准立方体试件测定混凝土抗压强度。其中，室外养护期间的温度范围为6～12℃，平均温度为9.2℃，相对湿度为80％左右；标准养护温度为20±2℃，相对湿度95％以上；养护到加载龄期时，施加荷载开始徐变试验，徐变实验室的温度在11℃～12℃之间，相对湿度基本稳定在90％以上。

表9混凝土单轴压缩徐变实验方案表

2、参数反演计算

由表4可见，由于徐变试验时间长，受试验设备和场地限制，在标准养护条件下，加载龄期为21d时，仅持荷1个月即结束试验；而加载龄期为28d的混凝土试件试验结果不合理，故不采用相关数据。

由于考虑水化度的分数阶徐变模型是一个无穷级数表达式，通过对分数阶模型表达式进行收敛性分析，当n取值大于50时，此模型表达式基本处于收敛，为此本专利在编写MATLAB程序时，取n＝50。经过敏感性分析发现，f₁、r₁、β较其他两参数敏感。对初始复合型进行调试，计算获得的标准养护下考虑温度影响的分数阶模型残差平和F(X)为1.81，计算获得的标准养护下考虑水化度的分数阶徐变模型参数见表10，标准养护下考虑水化度的分数阶徐变模型的徐变度计算值见表12；计算获得的室外养护下考虑水化度的分数阶徐变模型参数见表11，其对应的残差平方和F(X)为6.46，室外养护下考虑水化度的分数阶徐变模型的徐变度计算值见表13。

表10标准养护工况下分数阶模型参数拟合结果

根据表10参数反演结果，可以得到标准养护条件下的考虑温度影响的分数阶徐变模型表达式为

表11室外自然养护工况下分数阶模型参数拟合结果

根据表11参数反演结果，可以得到室外自然养护养护下的考虑温度影响的分数阶徐变模型表达式为

表12标准养护各龄期下典型时刻的分数阶徐变度计算值

表13室外自然养护各龄期下典型时刻分数阶的徐变度计算值

同理，对标准养护条件下八参数模型进行参数反演，得到考虑温度对徐变影响的八参数表达式如下式15所示，同时，考虑温度影响的八参数模型徐变度的计算值如下表14所示。

C(t_e,τ_e)＝(22.65+15τ_e^-300)[1-e^{-0.0405(t-τ)}]+(3.19+92.54τ_e^-1.42)[1-e^-0.6(t-τ)](15)

对室外自然养护条件下八参数模型进行参数反演，得到考虑温度对徐变影响的八参数表达式如下式16所示，同时，考虑温度影响的八参数模型徐变度的计算值如下表15所示。

C(t_e,τ_e)＝(15.38+74.18τ_e^-1.06)[1-e^-0.06(t-τ)]+(11.18+186.77τ_e^-1.9)[1-e^-1.83(t-τ)]>

表14标准养护各龄期下典型时刻的等效加载龄期与八参数徐变度计算值

表15室外自然养护各龄期下典型时刻的等效加载龄期与八参数徐变度计算值

分别对比分析标准养护条件下和室外自然养护条件下的徐变度实验值、分数阶模型计算值、八参数模型计算值可知：标准养护条件下，加荷龄期为3d、7d、14d时，分数阶徐变模型和8参数徐变模型拟合效果都很好，与实验值较吻合；但是加荷龄期为21d时，分数阶徐变模型比8参数徐变模型拟合效果好。