一种立铣刀磨削过程二维图形仿真方法

摘要

本发明公开了一种立铣刀磨削过程二维图形仿真方法，属于二维仿真技术领域解决现有技术中的刀具磨削软件难以在磨削得到的刀具三维模型中找到法截面、端截面，从而难以对刀具进行测量。本发明首先读取砂轮的刀位轨迹数据并指定立铣刀具的剖切面位置；分析砂轮与剖切面之间的相对位置关系，判断刀位点对应的砂轮与剖切面是否相交，如果相交，依次求解每一个刀位点对应的砂轮与指定剖切面的相交轮廓曲线，得到所有砂轮的剖切面轮廓；将得到的所有砂轮剖切面轮廓叠加，得到刀槽的二维截形；最终对刀槽的二维截形进行测量，判断仿真的刀槽的二维截形是否满足加工精度，如果不满足，则对磨削工艺进行修正。本发明用于仿真刀槽的二维截形。

说明书

技术领域

一种立铣刀磨削过程二维图形仿真方法，用于仿真刀槽的二维截形，属于二维仿真技术领域。

背景技术

磨削加工仿真的主要目的是对磨削工艺的可行性及其磨削加工精度进行检验。但立铣刀的特征表面多由螺旋曲面、圆弧面等复杂曲线组成，难以对基于3D加工仿真得到的三维刀具模型进行测量，且三维仿真受实体布尔运算算法精度和图形显示效率的制约，3D仿真得到的刀具模型并不精确，对其的精度检测并无实际意义。

目前，国内外大多刀具磨削软件的功能主要侧重于刀具的加工仿真，及与数控机床的联机进行刀具的直接生产，主要利用三维模拟功能对加工过程中的碰撞、干涉进行监视，以调整砂轮姿态。然而，三维磨削仿真中通过砂轮包络形成的刀具模型实质上是三维面片模型，难以在仿真得到的三维模型上找到法截面、端截面等设计基准，从而难以对仿真得到的三维模型进行精确测量。

通用的切削加工仿真软件如VERICUT、MASTERCAM等提供了三维加工仿真功能，其也提供了三维测量功能，能对加工所得的三维模型进行距离、角度的测量，但其缺点也较显著，缺点如下：

一、三维仿真得到的曲线拟合模型受图形拟合精度的影响，其本身尺寸精度较底，测量数据有较大误差，测量的意义不大；

二、针对立铣刀这类螺旋刀具，在仿真模型中难以得到其法剖面、端剖面，因此无法测量其法向前角、法后角、端面前角和端面后角等参数，从而难以对立铣刀具进行精确测量的问题。

发明内容

本发明针对上述不足之处提供了一种立铣刀磨削过程二维图形仿真方法，解决现有技术中三维仿真得到的曲线拟合模型受图形拟合精度，因本身尺寸精度较底，测量数据有较大误差；螺旋类立铣刀具，在仿真模型中难以得到法剖面、端剖面，因此无法测量立铣刀具法向前角、法后角、端面前角和端面后角等参数，从而难以对立铣刀具进行精确测量的问题。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案如下：

一种立铣刀磨削过程二维图形仿真方法，其特征在于，如下步骤：

(1)首先读取砂轮的刀位轨迹数据，获取砂轮参数，并指定立铣刀具的剖切面位置， 得到立铣刀具的剖切面；

(2)分析砂轮与剖切面之间的相对位置关系，判断刀位点对应的砂轮与剖切面是否相交，如果相交，转到步骤(3)，反之，转到步骤(1)；

(3)依次求解每一个刀位点对应的砂轮与剖切面的相交轮廓曲线，得到所有砂轮的剖切面轮廓，即得到砂轮截面曲线；

(4)将得到的所有砂轮剖切面轮廓叠加，得到立铣刀具刀槽的二维截形；

(5)最终对立铣刀具刀槽的二维截形进行测量，判断仿真的刀槽的二维截形是否满足加工精度，如果不满足，则对磨削工艺进行修正。

进一步，所述步骤(1)中，具体步骤如下：

(11)首先砂轮的每个加工刀位的轨迹数据是由磨削工艺算法计算得到，即得到刀位点；

(12)采用通用的砂轮模型，通过磨削工艺算法计算得到工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中砂轮大端圆中心O_gmax的坐标值和砂轮轴矢量F_g的值，具体表示如下：

P_Ogmax＝{x_Ogmax，y_Ogmax，z_Ogmax}，

F_g＝[f_gx>gy>gz]^T，

其中，x_Ogmax、y_Ogmax、z_Ogmax和f_gx、f_gy、f_gz分别代表O_gmax的坐标值和F_g的矢量值在工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中的X、Y、Z方向的三个分量的值，T表示矩阵的转置；

(13)在工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中，获得剖切面M_c所在位置点P_c的坐标值为：

P_c＝{x_c，y_c，z_c}，

其中，x_c、y_c、z_c代表P_c的坐标值在工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中的X、Y、Z方向的三个分量的值；

(14)根据位置点P_c，给定剖切面M_c坐标系的三个矢量方向，分别为：

F_Xc、F_Yc、F_Zc分别表示剖切面坐标系的三个轴在工件坐标系下的矢量方向，其中，f_Xcx、f_Xcy、f_Xcz表示剖面坐标系的X轴在工件坐标系下矢量在X、Y、Z三个方向的矢量分量，f_Ycx、f_Ycy、f_Ycz表示剖面坐标系的Y轴在工件坐标系下矢量在X、Y、Z三个方向的矢量分量，f_Zcx、f_Zcy、f_Zcz表示剖面坐标系的Z轴在工件坐标系下矢量在X、Y、Z三个方向>

(15)根据步骤(14)，得到剖切面法矢量F_c即为F_Zc，具体表示为：

F_c＝[f_cx>cy>cz]^T，

其中，f_cx、f_cy、f_cz代表F_c的法矢量在工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中的X、Y、Z三个方向的矢量分量；

(16)根据步骤(13)至步骤(15)可得，剖切面M_c的方程：

f_cx(x-x_c)+f_cy(y-y_c)+f_cz(z-z_c)＝0，

其中，x、y、z表示平面上的点的坐标值在X、Y、Z坐标方向上的分量，f_cx、f_cy、f_cz为剖切面M_c法矢量的三个分量。

进一步，所述步骤(2)的具体步骤如下：

(1)计算剖切面M_c与砂轮大端和小端边线的交点P_c0、P_c1坐标值，其中，点P_c0、P_c1坐标值表达式分别为：

其中，和表示剖切面M_c所经过的点在砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g下坐标值的X分量和Z分量，和表示剖切面M_c法矢量在砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g下矢量值的X分量和Z分量；

(2)通过P_c0、P_c1两点的X坐标值与判定条件进行比较，判定剖切面是否与砂轮相交及相交姿态，其中判定条件为：

|x_pc0|>R_gmax且|x_pc1|>R_gmin且x_pc0x_pc1>0，剖切面与砂轮不相交；

|x_pc0|>R_gmax且|x_pc1|>R_gmin且x_pc0x_pc1<0，剖切面与砂轮相交；

|x_pc0|≤R_gmax且|x_pc1|≤R_gmin，剖切面与砂轮相交；

|x_pc0|<R_gmax且|x_pc1|>R_gmin，剖切面与砂轮相交；

|x_pc0|>R_gmax且|x_pc1|<R_gmin，剖切面与砂轮相交；

其中，R_gmax和R_gmin分别为砂轮大端和小端的半径。

进一步，所述步骤(3)的具体步骤如下：

(31)找到砂轮上与剖切面M_c垂直并过砂轮轴线的中心剖切面；

(32)定义砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g，使得剖切面M_c与坐标平面X_gO_gZ_g垂直；

(33)根据砂轮坐标系、工件坐标系、砂轮坐标系到工件坐标的旋转变换矩阵和平移变换式，得到砂轮坐标系与工件坐标系之间点坐标和矢量方向的变换关系；

(34)根据工件坐标系、剖切面坐标系、剖切面坐标系到工件坐标系的变换矩阵和工件坐标系到剖切面坐标系的变换矩阵，得到剖切面坐标系与工件坐标系之间点坐标和矢量方向的变换关系；

(35)根据砂轮坐标系、剖切面坐标系、砂轮坐标系到剖切面坐标系的变换矩阵，得到砂轮坐标系与剖切面坐标系之间的变换关系；

(36)根据步骤(33)至步骤(35)的坐标变换、得到在砂轮坐标系下剖切面所经过的点坐标和法矢量方向，得到求解每一个刀位点对应的砂轮与剖切面的相交轮廓曲线，以及所有砂轮的剖切面轮廓。

进一步，所述步骤(31)中，具体如下：

指定的剖切面与砂轮轴矢量不垂直，砂轮的中心剖切面M_p过砂轮轴线且与剖切面M_c相垂直，则法矢量F_p可F_p＝F_g×F_c，具体如下：

f_px、f_py、f_pz分别为砂轮的中心剖切面M_p的法矢量的三个分量，式中的f_gx、f_gy、f_gz为砂轮轴矢量的三个分量，f_cx、f_cy、f_cz为剖切面M_c法矢量的三个分量；

得到砂轮的中心剖切面M_p的方程为：

f_px(x-x_Ogmax)+f_py(y-y_Ogmax)+f_pz(z-z_Ogmax)＝0。

进一步，所述步骤(32)中，定义砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g的具体步骤如下：

(321)将坐标原点定在砂轮大端圆圆心点O_gmax；

(322)Z_g轴方向为砂轮轴矢量方向，即F_Zg＝F_g；

(323)Y_g轴方向为平面M_p的法矢量方向，即F_Yg＝F_p；

(324)X_g轴位于砂轮的中心剖切面M_p内，即F_Xg＝F_Yg×F_Zg；

进一步，所述步骤(33)中，具体步骤如下：

(331)设P_g＝[P_gxP_gyP_gz]^T、P_w＝[P_wxP_wyP_wz]^T分别为砂轮坐标系和工件坐标系下的点坐标；

(332)设N_g＝[N_gxN_gyN_gz]^T、N_w＝[N_wxN_wyN_wz]^T分别为砂轮坐标系和工件坐标系下的矢量值；

(333)根据步骤(331)至步骤(332)，得到砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g中的点坐标和矢量方向到工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中的点坐标和矢量方向的变换关系：

P_w＝T_g-w+M_g-wP_g，

N_w＝M_g-wN_g，

T_g-w＝[x_Ogmax>Ogmax>Ogmax]^T，

式中，M_g-w为砂轮坐标系到工件坐标系的旋转变换矩阵，T_g-w为砂轮坐标系到工件坐标系平移变换式；

(334)根据步骤(331)至步骤(332)，得到工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中的点坐标和矢量方向到砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g中的点坐标和矢量方向的变换关系：

P_g＝M_w-g(P_w+T_w-g)；

N_g＝M_w-gN_w；

T_w-g＝[-x_Ogmax>Ogmax>Ogmax]^T。

式中，M_w-g为工件坐标系到砂轮坐标系的旋转变换矩阵，T_w-g为工件坐标系到砂轮坐标系平移变换式。

进一步，所述步骤(34)中，具体步骤如下：

(341)剖切面坐标系到工件坐标系的变换矩阵为：

(342)工件坐标系到剖切面坐标系的变换矩阵为：

式中，

(343)设P_c＝[P_cxP_cyP_cz]^T为剖切面坐标系下的点坐标；N_c＝[N_cxN_cyN_cz]^T为剖切面坐标系下的矢量值，则工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中的点坐标和矢量方向到剖切面坐标系O_c-X_cY_cZ_c中的点坐标和矢量方向的变换关系为：

P_c＝M_w-c(P_w+T_w-c)，

N_c＝M_c-wN_w，

T_w-c＝[-P_cx-P_cy-P_cz]^T。

进一步，所述步骤(35)中，具体如下：

砂轮坐标系到剖切面坐标系的变换矩阵为：

式中，

则砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g中的点坐标和矢量方向到剖切面坐标系O_c-X_cY_cZ_c中的点坐标和矢量方向的变换关系为:

P_c＝M_g-c(P_g+T_g-c)，

N_c＝M_g-cN_g，

则T_g-c＝[x_Ogmax-P_cxy_Ogmax-P_cyz_Ogmax-P_cz]^T。

进一步，所述步骤(36)中，具体步骤如下：

(361)根据坐标变换即可得到在砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g下剖切面M_c所经过的点坐标为：

(362)根据坐标变换即可得到在砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g下剖切面M_c的法矢量方向为：

(363)根据步骤(361)至步骤(362)在砂轮的中心剖切面M_p在砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g中的方程为：

(364)在砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g下，在任意位置z处砂轮回转半径为：

R_z＝R_gmax-ztanκ_g，

则砂轮轮廓曲面方程为：x²+y²＝(R_gmax-ztanκ_g)²；

(365)砂轮为回转体，剖切面与砂轮相交所得的截形曲线相对坐标平面X_gO_gZ_g呈对称分布，在得到剖切面与砂轮的相交范围H_c0≤z≤H_c1之后，H_c0和H_c1分别为砂轮坐标系中相交范围内的点z坐标的最小、最大值，在相交范围内的任意位置z＝H_c处，得到截形曲线上对称两点P_c0、P_c1的坐标值，由此得到对称分布的两条截形曲线方程为：

综上所述，由于采用了上述技术方案，本发明的有益效果是：

一、本发明中二维仿真能将复杂的三维形体以二维图形的方式呈现，更便于对加工精度的测量，以便于在加工结果不满足精度要求时，快速修正加工工艺；

二、通过建立特殊位置的砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g，将空间中的曲面与平面的三维位置关系转化为砂轮坐标系下的砂轮二维轮廓线与剖切面M_c之间的位置关系，以降低求交计算难>

三、建立特殊的砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g，使得剖切面M_c与坐标平面X_gO_gZ_g垂直；

四、利用刀具磨削过程中砂轮与刀体之间的运动关系，在刀具剖切面位置处的砂轮二维截面进行轮廓计算，通过砂轮包络运动中多个砂轮截面轮廓在刀具剖切面位置处的动态叠加，得到刀具任意二维剖切面的磨削形状，实现了刀具前角、后角、槽深等结构参数磨削精度的验证，解决了刀具设计缺陷在设计期间难以得到加工验证问题。

附图说明

图1为本发明中工件坐标系中砂轮与剖切面的结构示意图；

图2为本发明中刀槽的二维截形的流程示意图；

图3为本发明中砂轮结构示意图；

图4为本发明中砂轮与剖切面的位置关系结构示意图；

图5为本发明中在砂轮坐标系下的砂轮曲面轮廓结构示意图；

图6为本发明中砂轮截形曲线计算的结构示意图；

图7为本发明中立铣刀二维加工仿真结构示意图；

图8为本发明中砂轮与剖切面相交判断的5种相交形式，a为不相交、b为相交状态1、c为相交状态2、d为相交状态3、e为相交状态4；

图中标记：1-剖切面、2-砂轮、3-中心剖切面、4-砂轮截面曲线、5-立铣刀具截面曲线。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

磨削加工仿真的主要目的是对磨削工艺的可行性及其磨削加工精度进行检验。但立铣刀的特征表面多由螺旋曲面、圆弧面等复杂曲线组成，难以对基于3D加工仿真得到的三维刀具模型进行测量，且三维仿真受实体布尔运算算法精度和图形显示效率的制约，3D仿真得到的刀具模型并不精确，对3D仿真得到的刀具模型的精度检测并无实际意义。而二维仿真能将复杂的三维形体以二维图形的方式呈现，更便于对加工精度的测量，以便于在加工结果不满足精度要求时，快速修正加工工艺。

本发明通过将砂轮沿其轴线方向呈片状离散成多个平面并与给定的剖切面求交得到离散的砂轮包络体剖切面曲线，将三维求交问题简化；并将离散的砂轮包络体剖切面轮廓曲线(即砂轮截面曲线)叠加得到完整的立铣刀具剖切轮廓曲线。

二维截形仿真的实现原理：

如图1所示，基于砂轮刀轨的二维截形仿真即是假设工件(立铣刀具)不动，研究刀具(砂轮)在工件固定坐标系O_w-X_wY_wZ_w中作加工运动时砂轮与立铣刀具剖切面M_c之间的位置关系，进行两者之间的求交计算得到多个砂轮在剖切面处的截形叠加，形成剖切面处的刀槽二维廓形。

二维截形仿真的具体实现流程可归结为：首先读取砂轮的刀位轨迹数据，获取砂轮参数，并指定立铣刀具的剖切面M_c位置；分析砂轮与剖切面之间的相对位置关系，并依次求解每一个刀位点对应的砂轮与指定剖切面M_c的相交轮廓曲线；将所得砂轮的剖切面轮廓(即砂轮截面曲线)叠加即得到完整的立铣刀具刀槽截形(刀槽的二维截形)，最终对仿真得到的刀槽的二维截形进行测量以判断加工精度是否满足要求。具体实现流程如图2所示。

刀槽的二维截形的关键点是进行砂轮与剖切面M_c两者之间的求交得到砂轮截面曲线。而在砂轮坐标系中，砂轮与剖切面两者分别为图1所示的三维曲面与空间平面，若直接进行两者之间的求交计算，难以确定两者之间的相对位置关系，计算过程复杂。本发明利用砂轮的回转体特性，通过建立特殊位置的砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g，将空间中的曲面与平面的三维位置关系转化为砂轮坐标系下的砂轮二维轮廓线与剖切面M_c之间的位置关系，以降低求交计算难度。

判定剖切面是否与砂轮相交及相交姿态：

首先计算指剖切面M_c与砂轮大端和小端边线的交点P_c0、P_c1坐标值，其中点P_c0、P_c1坐标值表达式分别为：

通过P_c0、P_c1两点的X坐标值与判定条件进行比较，判定剖切面是否与砂轮相交及相交姿态，其中判定条件为如图8和下述表1所示：

相交状态判定表：

表1

工件坐标系中砂轮与剖切面位置的定义：

如图1所示为工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中的砂轮和剖切面M_c。砂轮的每个加工刀位的轨迹是由磨削工艺算法计算得到的，并可得到砂轮大端圆中心O_gmax的坐标值和砂轮轴矢量F_g的值，分别表示为：

P_Ogmax＝{x_Ogmax，y_Ogmax，z_Ogmax}；

F_g＝[f_gx>gy>gz]^T；

此外，常用砂轮形状有盘形、碟形、碗形等，本发明统一采用砂轮通用几何模型进行描述，主要参数包括大端半径R_gmax、厚度H_g、锥角κ_g。

在二维截形仿真中，剖切面M_c是由人为指定的需要查看的立铣刀具截面曲线。在立铣刀具的设计中，立铣刀具主要设计参数均基于端截面、法截面等典型截面定义，故加工得到的端截面、法截面上的刀槽截形是关注的重点，而为使仿真方法具有通用性，本发明使剖切面可位于空间中任意位置，并统一定义为剖切面M_c。

设在工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中剖切面M_c所在位置点P_c的坐标值为：

P_c＝{x_c，y_c，z_c}；

给定剖切面坐标系的三个矢量方向分别为：

剖切面法矢量F_c即为F_Zc，表示为：

F_c＝[f_cx>cy>cz]^T；

则剖切面M_c的方程可写为：

f_cx(x-x_c)+f_cy(y-y_c)+f_cz(z-z_c)＝0；

砂轮坐标系的定义及其与工件坐标系之间的位置关系：

确定了工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w下的砂轮位置及剖切面位置，而更为重要的是要确定砂轮>gmax的坐标值及轴矢量F_g仅仅是确定了砂轮的位置及姿态，尚不能直接建立砂轮轮廓曲面方程。故需要建立一个特殊的砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g以便于确定其与工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w之间的相对位置关系。

①砂轮坐标系的定义

根据解析几何原理，由于砂轮为回转体，当剖切面与砂轮轴矢量不垂直时，在空间中总可以找到砂轮的一个中心剖切面M_p，中心剖切面过砂轮中心轴线且与剖切面M_c垂直。砂轮与剖切面的位置关系可表示为如图4所示。

由于砂轮中心面M_p过砂轮轴线且与剖切面M_c垂直，则中心剖切面法矢量F_p可由F_p＝F_g×F_c求得：

砂轮中心剖切面M_p的方程为：

f_px(x-x_Ogmax)+f_py(y-y_Ogmax)+f_pz(z-z_Ogmax)＝0；

确定砂轮中心剖切面M_p后，则按如下规则建立砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g：其坐标原点位于砂轮大端圆圆心点O_gmax处，Z_g轴方向为砂轮轴矢量方向，Y_g轴方向为平面M_p的法矢量方向，X_g轴则根据右手定则确定，实际上X_g轴位于砂轮中心面M_p内。

则在工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中，砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g的坐标轴Z_g矢量方向F_Zg＝F_g，即为：

砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g的坐标轴Y_g矢量方向F_Yg＝F_p，即为：

砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g的坐标轴X_g矢量方向则根据F_Xg＝F_Yg×F_Zg求得：

建立特殊的砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g的优点在于，使得剖切面M_c与坐标平面X_gO_gZ_g垂直。

②砂轮坐标系与工件坐标系之间的变换关系

因为式f_cx(x-x_c)+f_cy(y-y_c)+f_cz(z-z_c)＝0是基于工件坐标系所定义的剖切面方程，若要得到砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g下的剖切面方程，则需先确定砂轮坐标系与工件坐标系之间的关系。

设P_g＝[P_gxP_gyP_gz]^T、P_w＝[P_wxP_wyP_wz]^T分别为砂轮坐标系和工件坐标系下的点坐标；N_g＝[N_gxN_gyN_gz]^T、N_w＝[N_wxN_wyN_wz]^T分别为砂轮坐标系和工件坐标系下的矢量值，则砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g中的点坐标和矢量方向到工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中的点坐标和矢量方向的变换关系为：

P_w＝T_g-w+M_g-wP_g；

N_w＝M_g-wN_g；

式中，M_g-w为砂轮坐标系到工件坐标系的旋转变换矩阵，T_g-w砂轮坐标系到工件坐标系平移变换式，其表达式分别为：

T_g-w＝[x_Ogmax>Ogmax>Ogmax]^T；

首先设

上述中已经得到了砂轮坐标系的三个轴的方向矢量值在工件坐标系下的值，即F_Xg、F_Yg、F_Zg，而在砂轮坐标系下，其三个轴的方向矢量值分别为：

根据转换公式有：

于是可求得矩阵M_g-w中的各元素值；

设T_w-g＝[t_wgx>wgy>wgz]^T，上述中已经给出了砂轮坐标原点在工件坐标系中的位置值，即

P_Ogmax＝{x_Ogmax，y_Ogmax，z_Ogmax}；

而在砂轮坐标系中，其原点坐标值为

根据变换关系：

即可求解得到T_g-w中各元素值。

而工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w的点坐标和矢量方向到砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g中的点坐标和矢量方向的变换关系分别表示为：

P_g＝M_w-g(P_w+T_w-g)；

N_g＝M_w-gN_w；

式中，

T_w-g＝[-x_Ogmax>Ogmax>Ogmax]^T；

根据M_g-w求逆得到M_w-g；根据T_g-w求逆得到T_w-g。

③剖切面坐标系与工件坐标系之间的变换关系

剖切面坐标系到工件坐标系的变换矩阵为：

工件坐标系到剖切面坐标系的变换矩阵为：

首先设

上述已经给出了剖切面坐标系的三个轴的方向矢量在工件坐标系中的值，即：

而剖切面坐标系中，其三个轴的方向矢量分别为：

根据转换方程：

即求解得到M_c-w和各元素值，由M_c-w求逆得到M_w-c。

式中，

设P_c＝[P_cxP_cyP_cz]^T为剖切面坐标系下的点坐标；N_c＝[N_cxN_cyN_cz]^T为剖切面坐标系下的矢量值，则工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中的点坐标和矢量方向到剖切面坐标系O_c-X_cY_cZ_c中的点坐标和矢量方向的变换关系为：

P_c＝M_w-c(P_w+T_w-c)；

N_c＝M_c-wN_w；

式中，T_w-c＝[-P_cx-P_cy-P_cz]^T。

④砂轮坐标系与剖切面坐标系之间的变换关系

砂轮坐标系到剖切面坐标系的变换矩阵为：

则砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g中的点坐标和矢量方向到剖切面坐标系O_c-X_cY_cZ_c中的点坐标和矢量方向的变换关系为：

P_c＝M_g-c(P_g+T_g-c)；

N_c＝M_g-cN_g；

式中，T_g-c＝[x_Ogmax-P_cxy_Ogmax-P_cyz_Ogmax-P_cz]^T。

(4)砂轮与剖切面求交计算

根据坐标变换即可得到在砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g下剖切面M_c所经过的点坐标为：

在砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g下剖切面M_c的法矢量方向为：

则剖切面M_p在砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g中的方程为：

如图5所示，在砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g下在任意位置z处砂轮回转半径为：

R_z＝R_gmax-ztanκ_g；

则砂轮轮廓曲面方程为：

x²+y²＝(R_gmax-ztanκ_g)²；

由于砂轮为回转体，剖切面与砂轮相交所得的截形曲线相对坐标平面X_gO_gZ_g呈对称分布，在得到剖切面与砂轮的相交范围(H_c0≤z≤H_c1)之后，在相交范围内的任意位置z＝H_c处，根据砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g中的点坐标和矢量方向到剖切面坐标系O_c-X_cY_cZ_c中的点坐标和矢量方向的变换关系和砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g下剖切面M_c所经过的点坐标即可得到截形曲线上对称两点P_c0、P_c1的坐标值。

而对称分布的两条截形曲线方程为：

得到砂轮坐标系下的砂轮截形曲线之后，通过砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g中的点坐标和矢量方向到工件坐标系O_w-X_wY_wZ_w中的点坐标和矢量方向的变换关系、砂轮坐标系O_g-X_gY_gZ_g中的点坐标和矢量方向到剖切面坐标系O_c-X_cY_cZ_c中的点坐标和矢量方向的变换关系即可得到工件坐标系或剖切面坐标系下的砂轮截形曲线，最终所有经过剖切面的多个砂轮截形叠加即可得到立铣刀具截面曲线。

本发明提出基于砂轮截形动态投影的加工仿真方法，利用刀具磨削过程中砂轮与刀体之间的运动关系，在立铣刀具剖切面位置处的砂轮二维截面进行轮廓计算，通过砂轮包络运动中多个砂轮截面轮廓在立铣刀具剖切面位置处的动态叠加，得到刀具任意二维剖切面的磨削形状，实现了刀具前角、后角、槽深等结构参数磨削精度的验证，解决了刀具设计缺陷在设计期间难以得到加工验证问题。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。