基于非合作博弈的水下移动无线传感器网络功率控制方法

摘要

本发明公开了基于非合作博弈的水下移动无线传感器网络功率控制方法，包括如下步骤：明确需要优化的目标节点：建立面向水下复杂环境的水下移动无线传感器网络模型，包括节点移动受限模型和端到端时延模型；根据构建的水下移动无线传感器网络模型，建立一个非合作博弈模型，建立效用函数；对步骤2中所建立的效用函数进行纳什均衡分析，得出效用函数的纳什均衡是否存在，若存在则执行步骤4，若不存在则执行步骤2；判断纳什均衡是否存在唯一性，若存在，则执行步骤5，若不存在，则执行步骤2；对步骤3中得出的纳什均衡进行求解，得出纳什均衡点。本发明减小了单跳端到端的时延，一定程度上减小了水流引起的平均功率大小波动幅度。

说明书

技术领域

本发明涉及一种无线传感器网络功率控制方法，尤其是涉及一种基于非合作博弈的水下移动无线传感器网络功率控制方法。

背景技术

水下移动无线传感器网络(Underwater Mobile Wireless Sensor Network,UMWSN)是由大量的多功能微型水下传感器节点以声波通信链路自组织形成的无线网络。通常，水下传感器节点可以部署在监测水域的不同深度形成三维网络，协作地实时监测、感知和采集水下环境中被测对象的数据。不同于陆地无线传感器网络(Terrestrial Wireless Sensor Network,TWSN)，水下环境特殊且复杂，水下移动无线传感器网络功率控制方法及相关算法的设计往往存在着极大的挑战性。一般来说，能量约束是UMWSN的主要问题之一，水下传感器节点由普通电池供电易受电池寿命影响，耗能比普通传感器节点更大，且长期工作在水下，一旦节点死亡，回收或能量补充都比较困难。其次，时延大且多变也是UMWSN的另一主要的问题。电磁波在空气中的传播速度是3×10⁸m/s，声波在水中的传播速度大约为1500m/s，两者的速度相差5个数量级，每公里延迟约0.67s，无法满足实时性较高的应用需求，如海底地震波监测、水雷侦查等应用。上述问题进一步制约了UMWSN在水下的大规模实际应用。

虽然国内外在研究TWSN功率控制上取得了一定的成果，但很难适用于复杂的水下三维网络，其忽略了水下特有的复杂环境对网络的影响。

发明内容

为解决上述技术问题，本发明的目的在于一种基于非合作博弈的水下移动无线传感器网络功率控制方法，其针对水下高能耗、高时延等特征，保证能够在较高信干噪比和传输成功率的同时，降低传输功率和端到端时延，从而减小水流引起的均衡平均功率波动幅度。

本发明的目的是通过以下技术方案实现的：

基于非合作博弈的水下移动无线传感器网络功率控制方法，其特征在于：包括如下步骤：

1)明确需要优化的目标节点：建立面向水下复杂环境的水下移动无线传感器网络模型，包括节点移动受限模型和端到端时延模型；

2)根据构建的水下移动无线传感器网络模型，建立一个非合作博弈模型，建立效用函数；

3)对步骤2中所建立的效用函数进行纳什均衡分析，得出效用函数的纳什均衡是否存在，若存在则执行步骤4，若不存在则执行步骤2；

4)判断纳什均衡是否存在唯一性，若存在，则执行步骤5，若不存在，则执行步骤2；

5)对步骤3中得出的纳什均衡进行求解，得出纳什均衡点。

具体的，利用二元牛顿迭代法对纳什均衡进行求解，得出纳什均衡点。

具体的，所述的节点移动受限模型表达式为：

式(2)中：x'、y'和z为目标节点在t时刻在X轴上的坐标、Y轴上的坐标及Z轴上的坐标，λ₁和λ₂为水流速度因子；z为目标节点垂直方向的深度距离；k为单位空间内曲线流交换的个数，c为曲线流在Y方向上的位移速度；其中x'、y'和z的值通过以下式(1)计算获得：

$\left(\begin{array}{c}X\left(t_0\right)=X_0+L_{a}sin\left\{arctan\frac{[v_x{\left(t_0\right)}^2+v_y{\left(t_0\right)}^2]S}{gV}\right\}cos\left[arctan\frac{v_y\left(t_0\right)}{v_x\left(t_0\right)}\right]\\ Y\left(t_0\right)=Y_0+L_{a}sin\left\{arctan\frac{[v_x{\left(t_0\right)}^2+v_y{\left(t_0\right)}^2]S}{gV}\right\}sin\left[\arctan \frac{v_y\left(t_0\right)}{v_x\left(t_0\right)}\right]\\ Z\left(t_0\right)=L_{a}cos\frac{[v_x{\left(t_0\right)}^2+v_y{\left(t_0\right)}^2]S}{gV}\end{array}\right)---\left(1\right)$

式(1)中：X(t₀)、Y(t₀)和Z(t₀)为节点在t₀时刻在X轴上的坐标、Y轴上的坐标及Z轴上的坐标；X₀、Y₀和Z₀节点的初始坐标；L_a为锚链长，其值为L_a＝|Z₀|；v_x为节点在X轴方向速度，v_y为节点在Y轴方向速度；S为节点的受力面积；V为节点受浮力所排出液体的体积；g为重力加速度；

式(2)中B(t)的值通过以下式(3)计算获得：

B(t)＝A+εcos(ωt) (3)

式(3)中：A为流场的平均宽度，ε为流场的振幅，ω为流场行进的频率。

具体的，所述的端到端时延模型为：

${\mathrm{Delay}}_{i-j}=K\times [\frac{L}{R_{ij}}+\frac{D_{ij}\left(t\right)}{C(T,Z,S)}+\Delta \tau ]---\left(9\right)$

式(9)中：K为节点数据包重传的次数，L为节点数据包长度大小，R_ij为传输速率；D_ij(t)为t时刻节点i与节点j之间的距离，τ为多径传播引起的最大时延,C(T,Z,S)为声波的传播速度方程,可以通过以下表达式获得：

$\begin{array}{c}C(T,Z,S)=1448.96+4.591T-0.05304T^2+0.0002374T^3+1.340(S-35)+\\ 0.0163Z+1.675\times {10}^{-7}{Z}^2-0.01025T(S-35)-7.139\times {10}^{-13}{\mathrm{TZ}}^3\end{array}---\left(10\right)$

式(10)中T为时间，S为节点的受力面积，Z为节点的垂直方向的深度距离。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：本发明给出一种更符合实际情况的节点移动受限模型，可以长时间保证网络有效运行。考虑水下能耗高、时延长等特征，构建一个非合作博弈模型，将网络中的节点看作游戏参与者，将目标优化问题转换为求最大收益函数问题。引入信干噪比和传输成功率，进一步优化效用函数，分别证明功率和速率的Nash均衡存在性和唯一性，最后通过二元牛顿迭代法求得功率和速率的近似最优解。本发明既保证了高信干噪比和高传输成功率，又降低了整个网络中节点之间单跳平均功率，从而减小了单跳端到端的时延，一定程度上减小了水流引起的平均功率大小波动幅度，为水下移动无线传感器网络提供一种良好的功率控制。

附图说明

图1是本发明基于非合作博弈的水下移动无线传感器网络功率控制方法的流程图；

图2是本发明所提供的一种节点移动受限模型图；

图3是本发明所记载的声波多径传播示意图；

图4是本发明的功率值和速率值更新流程。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图3，本申请提供的一种基于非合作博弈的水下移动无线传感器网络功率控制方法，其包括了如下步骤：

1)明确需要优化的目标节点：建立节点移动受限模型和端到端时延模型，提供一个合适的仿真环境。

所述的节点移动受限模型如图2所示，本申请在此假设目标节点所在的有限运动范围区域的流场效果相同，即该范围内水流速度矢量大小相同；目标节点受水流冲力、浮力及锚链拉力，三者构成平衡力，偏移角度α与水流冲力和水流浮力的关系可表示为α＝arctan(F/f)，其中F为节点所受到的水流冲力，f为节点所受到的水流浮力，初始时偏移角度α＝0，则在t＝t₀时刻的位置坐标为：

$\left(\begin{array}{c}X\left(t_0\right)=X_0+L_{a}sin\left\{arctan\frac{[v_x{\left(t_0\right)}^2+v_y{\left(t_0\right)}^2]S}{gV}\right\}cos\left[arctan\frac{v_y\left(t_0\right)}{v_x\left(t_0\right)}\right]\\ Y\left(t_0\right)=Y_0+L_{a}sin\left\{arctan\frac{[v_x{\left(t_0\right)}^2+v_y{\left(t_0\right)}^2]S}{gV}\right\}sin\left[\arctan \frac{v_y\left(t_0\right)}{v_x\left(t_0\right)}\right]\\ Z\left(t_0\right)=L_{a}cos\frac{[v_x{\left(t_0\right)}^2+v_y{\left(t_0\right)}^2]S}{gV}\end{array}\right)---\left(1\right)$

式(1)中：X(t₀)、Y(t₀)和Z(t₀)为目标节点在t₀时刻在X轴上的坐标、Y轴上的坐标及Z轴上的坐标；X₀、Y₀和Z₀为目标节点的初始坐标；L_a为锚链长，其值为L_a＝|Z₀|；v_x为目标节点在X轴方向速度，v_y为目标节点在Y轴方向速度；S为目标节点的受力面积；V为目标节点受浮力所排出液体的体积；g为重力加速度。

此外，本申请为得到符合实际的水流运动状况，在此，本申请结合以上式(1)和三维水流移动模型，得出更为优化的节点移动受限MCM模型，其表达式为：

B(t)＝A+εcos(ωt) (3)

式(2)中：x'、y'和z为目标节点在t时刻在X轴上的坐标、Y轴上的坐标及Z轴上的坐标，其值可以通过式(1)得出；λ₁和λ₂为水流速度因子；z为目标节点垂直方向的深度距离(以水面为基准，向水下为负，向上为正)；k为单位空间内曲线流交换的个数，c为曲线流在Y方向上的位移速度；

式(3)中：A为流场的平均宽度，ε为流场的振幅，ω为流场行进的频率。

所述的端到端时延模型如图3所示，在水下存在障碍物的情况下，设置于路面控制中心的接收机和安放在水底被监测节点传感器中的发射机之间的声波信号不能通过直接距离到达，但设置于路面控制中心的接收机可能接收到经过水面反射或水底反射之后的由目标节点发送的多径信号；在此，本申请假设水面与水底是平滑的，结合目标节点的移动性对多径距离的影响，当原始特征射线向下时，声波反射后所经过的距离为：

$D_{ij}^{bs}\left(t\right)=\sqrt{R{\left(t\right)}^2+{[2bh-Z_i\left(t\right)+{(-1)}^{b-s}{Z}_j\left(t\right)]}^2}---\left(4\right)$

$R\left(t\right)=\sqrt{{\left(X_i\right(t)-X_j(t\left)\right)}^2+{\left(Y_i\right(t)-Y_j(t\left)\right)}^2}---\left(5\right)$

${\theta }_{bs}=arctan\left(\frac{R\left(t\right)}{2bh-Z_i\left(t\right)+{(-1)}^{b-s}{Z}_j\left(t\right)}\right)---\left(6\right)$

其中，b、s为水底反射次数和水面反射次数(0≤b-s≤1)；h为水的总深度，θ_bs为入射角，其多径距离也是随着时间的变化而变化；Z_i(t)、Z_j(t)、X_i(t)、X_j(t)、Y_i(t)和Y_j(t)为t时刻目标节点i和目标节点j分别在Z轴上的坐标、X轴上的坐标及Y轴上的坐标。如图3所示，在原始声波特征射线向下时，b＝1，s＝1的情况下，一共反射两次，根据反射原理，可将声波从节点i到节点j所经过的路径距离等效表示为镜像b+s次后的直接距离，即节点i到节点j的直接距离。同理可得，当原始特征射线向上时(0≤s-b≤1)，所经过的距离可表示为：

$D_{ij}^{sb}\left(t\right)=\sqrt{R{\left(t\right)}^2+{[2bh+Z_i\left(t\right)-{(-1)}^{s-b}{Z}_j\left(t\right)]}^2}---\left(7\right)$

${\theta }_{sb}=arctan\left(\frac{R\left(t\right)}{2bh+Z_i\left(t\right)-{(-1)}^{s-b}{Z}_j\left(t\right)}\right)---\left(8\right)$因此，设置于路面控制中心的接收机和安放在水底被监测节点传感器中的发射机之间的端到端时延模型可以通过以下表达式表达：

${\mathrm{Delay}}_{i-j}=K\times [\frac{L}{R_{ij}}+\frac{D_{ij}\left(t\right)}{C(T,Z,S)}+\tau ]---\left(9\right)$

式(9)中：K为节点数据包重传的次数，L为节点数据包长度大小，R_ij为传输速率；D_ij(t)为t时刻节点i与节点j之间的距离，τ为多径传播引起的最大时延(用于判断链路质量的参数之一),C(T,Z,S)为声波的传播速度方程,可以通过以下表达式获得：

$\begin{array}{c}C(T,Z,S)=1448.96+4.591T-0.05304T^2+0.0002374T^3+1.340(S-35)+\\ 0.0163Z+1.675\times {10}^{-7}{Z}^2-0.01025T(S-35)-7.139\times {10}^{-13}{\mathrm{TZ}}^3\end{array}---\left(10\right)$

式(10)中T为时间，S为节点的受力面积，Z为节点的垂直方向的深度距离。

此外，式(9)中τ的取值与声波发生反射的次数有关，是用于判断链路质量参数之一。当接收机在τ时间后未接收到数据，则判断与发射机之间的链路质量较低，从上可知，节点i到节点j的多径传播时延差可分别表示为：

${\tau }_{bs}=\underset{min(Z_i,Z_j)}{\overset{max(Z_i,Z_j)}{\int }}\left[\frac{D_{ij}^{bs}\left(t\right)-D_{ij}^{00}\left(t\right)}{C(T,Z,S)}\right]dZ---\left(11\right)$

${\tau }_{sb}=\underset{\min (Z_i,Z_j)}{\overset{max(Z_i,Z_j)}{\int }}\left[\frac{D_{ij}^{sb}\left(t\right)-D_{ij}^{sb}\left(t\right)}{C(T,Z,S)}\right]dZ---\left(12\right)$

其中，τ_bs为原始特征射线向下时，节点i到节点j的多径传播时延差；τ_sb为原始特征射线向上时，节点i到节点j的多径传播时延差；Z_i和及Z_j为目标节点i和目标节点j的垂直方向的深度距离(以水面为基准)，和为节点i到节点j所经过的多径路径距离，为直接距离，C(T,Z,S)为声速方程。

根据式(5)获得R(t)，若存在R(t)＞＞Z_i,R(t)＞＞Z_j,R(t)＞＞h，h为水的总深度；则由泰克级数展开式的条件可得当原始特征射线向下时的多径传播时延差，如下表达式所示：

$\begin{array}{c}{\tau }_{bs}=\underset{\min (Z_i,Z_j)}{\overset{max(Z_i,Z_j)}{\int }}\left[\frac{D_{ij}^{bs}\left(t\right)-D_{ij}^{00}}{C(T,Z,S)}\right]dZ\\ =\underset{\min (Z_i,Z_j)}{\overset{max(Z_i,Z_j)}{\int }}\frac{1}{C(T,Z,S)}\{\sqrt{R{\left(t\right)}^2+{[2bh-Z_i\left(t\right)+{(-1)}^{b-s}{Z}_j\left(t\right)]}^2}-\sqrt{R{\left(t\right)}^2+[Z_i\left(t\right)-Z_j\left(t\right)}\\ =\underset{\min (Z_i,Z_j)}{\overset{max(Z_i,Z_j)}{\int }}\frac{R\left(t\right)}{C(T,Z,S)}\{\sqrt{1+{\left[\frac{2bh-Z_i\left(t\right)+{(-1)}^{b-s}{Z}_j\left(t\right)}{R\left(t\right)}\right]}^2}-\sqrt{1+{\left[\frac{Z_i\left(t\right)-Z_j\left(t\right)}{R\left(t\right)}\right]}^2}\}dZ\\ \approx \underset{\min (Z_i,Z_j)}{\overset{max(Z_i,Z_j)}{\int }}\frac{R\left(t\right)}{C(T,Z,S)}\{1+\frac{1}{2}{\left[\frac{2bh-Z_i\left(t\right)+{(-1)}^{b-s}{Z}_j\left(t\right)}{R\left(t\right)}\right]}^2-1-\frac{1}{2}{\left[\frac{Z_i\left(t\right)-Z_j\left(t\right)}{R\left(t\right)}\right]}^2\}dZ\\ =\underset{\min (Z_i,Z_j)}{\overset{max(Z_i,Z_j)}{\int }}\frac{{[2bh-Z_i\left(t\right)+{(-1)}^{b-s}{Z}_j\left(t\right)]}^2-{[Z_i\left(t\right)-Z_j\left(t\right)]}^2}{2C(T,Z,S)·R\left(t\right)}dZ\\ =\underset{\min (Z_i,Z_j)}{\overset{max(Z_i,Z_j)}{\int }}\frac{2}{C(T,Z,S)·R\left(t\right)}[b^2{h}^2-{\mathrm{bhZ}}_i\left(t\right)+{(-1)}^{b-s}{\mathrm{bhZ}}_j\left(t\right)+(b-s)Z_i\left(t\right)Z_j\left(t\right)]dZ\end{array}---\left(13\right)$

同理可得原始特征射线向上时的多径传播时延差，如下表达式所示：

${\tau }_{sb}=\underset{\min (Z_i,Z_j)}{\overset{max(Z_i,Z_j)}{\int }}\frac{2}{C(T,Z,S)·R\left(t\right)}[b^2{h}^2+{\mathrm{bhZ}}_i\left(t\right)-{(-1)}^{s-b}{\mathrm{bhZ}}_j\left(t\right)+(s-b)Z_i\left(t\right)Z_j\left(t\right)dZ]---\left(14\right)$

2)根据构建的水下移动无线传感器网络模型，建立一个非合作博弈模型，将水下无线传感器网络中的节点看作游戏参与者，将目标优化问题转换为求最大效用函数问题，引入传输成功率和信干噪比，本申请在此所建立的效用函数为：

式(15)中，p_i、R_i、p_-i、R_-i、p_ij及v_i分别是节点i的传输功率、传输速率，除节点i外其他节点的传输功率、传输速率，节点i到节点j的传输功率以及节点i所处位置的水流速度；是定价因子，为传输速率与传输功率之比的收益函数，R_ij为传输速率(bit/s)，f(γ_ij)为数据传输成功率；为功率支付函数，n为节点个数，为节点i第m个历史功率值，当节点功率过大时，对附近节点的信号干扰增大，从而增大惩罚力度，同时考虑节点所处位置的水流速度的影响，当水流速度较小时，增大惩罚，其可以根据不同的水流模型进行调整，为前W个功率值的平均值，用于减少博弈过程中的波动；为信干噪比支付函数，γ^tar是信干噪比的目标值，当节点的信干噪比偏离信干噪比目标值较大时，需受到更大惩罚，以保证网络的公平性；为传输速率收益函数，R_th可取任意值。

所述的信干噪比γ_ij是无线网络中对传输功率评价的重要指标之一，定义为接收信号大小与干扰信号功率大小和噪声功率大小的和的比值，即

${\gamma }_{ij}=\frac{2B_n}{R_{ij}}·\frac{p_{ij}·{r_{ij}}^{-a}·{10}^{-\left(\alpha \right(f)r_{ij}/1000)\times 0.1}}{\underset{k=1}{\overset{m}{\Sigma }}{\mu }_{ik}{p}_{ik}{r_{ik}}^{-a}{10}^{-\left(\alpha \right(f)r_{ij}/1000)\times 0.1}+{\sigma }^2}=\frac{2B_n}{R_{ij}}·\frac{A^{-1}(r_{ij},f)}{N_i}·p_{ij}---\left(16\right)$

其中，B_n为系统带宽(Hz)，R_ij为传输速率(bit/s)，A^-1(r_ij,f)为声波信号经过传输距离r_ij的衰减程度，N_i为信号干扰。

所述的传输成功率与调制通信方式有关系，采用4-QAM调制通信方式的数据传输成功率为

$f\left({\gamma }_{ij}\right)=(1-{\alpha }_{b_1}Q{\left(\sqrt{{\beta }_{b_1}{\gamma }_{ij}}\right)}^{\frac{2L}{b_1}}-2^{-L}---\left(17\right)$

${\alpha }_{b_1}=2(1-2^{-\frac{b_1}{2}})---\left(18\right)$

${\beta }_{b_1}=\frac{3}{2^{b_1}-1}---\left(19\right)$

b₁＝log₂M>

其中L为数据包大小，γ_ij为信干噪比，为标准高斯随机变量的互补累积分布函数，M表示M进制调制方式，式(20)的作用是根据码元进制求比特传输速率；当L较大时，数据传输成功率可以表示为：

$f\left({\gamma }_{ij}\right)\approx {(1-\frac{e^{-\frac{{\gamma }_{ij}}{2}}}{\sqrt{2{\mathrm{\pi \gamma }}_{ij}}})}^L---\left(21\right)$

3)对步骤2中所建立的效用函数进行纳什均衡分析，得出效用函数的纳什均衡是否存在，若存在则执行步骤4，若不存在则执行步骤2，

4)判断纳什均衡是否存在唯一性，若存在，则执行步骤5，若不存在，则执行步骤2；

本申请在此所提供的一种对该博弈模型的纳什均衡的存在性和唯一性的证明方法，其具体为：

1、传输功率Nash均衡的存在性：首先对效用函数求传输成功率的一阶偏导得

其中

$\frac{\partial {\gamma }_{ij}}{\partial p_{ij}}=\frac{2B_n{A}^{-1}(r_{ij},f)}{R_{ij}{N}_i}=\frac{{\gamma }_{ij}}{p_{ij}}---\left(23\right)$

$\begin{array}{c}\frac{\partial f\left({\gamma }_{ij}\right)}{\partial {\gamma }_{ij}}=L{(1-\frac{e^{-\frac{{\gamma }_{ij}}{2}}}{\sqrt{2{\mathrm{\pi \gamma }}_{ij}}})}^{L-1}(\frac{e^{-\frac{{\gamma }_{ij}}{2}}}{2\sqrt{2{\mathrm{\pi \gamma }}_{ij}}}+\frac{e^{-\frac{{\gamma }_{ij}}{2}}}{2{\gamma }_{ij}\sqrt{2{\mathrm{\pi \gamma }}_{ij}}})\\ =L\frac{e^{-\frac{{\gamma }_{ij}}{2}}}{2\sqrt{2{\mathrm{\pi \gamma }}_{ij}}}{(1-\frac{e^{-\frac{{\gamma }_{ij}}{2}}}{\sqrt{2{\mathrm{\pi \gamma }}_{ij}}})}^{L-1}(1+\frac{1}{{\gamma }_{ij}})\end{array}---\left(24\right)$

对效用函数求传输功率的二阶偏导得

其中

$\begin{array}{c}\frac{{\partial }^{2}f\left({\gamma }_{ij}\right)}{\partial {\gamma }_{ij}^2}=L{(1-\frac{e^{-\frac{{\gamma }_{ij}}{2}}}{\sqrt{2{\mathrm{\pi \gamma }}_{ij}}})}^{L-2}[\frac{(L-1){(1+\frac{1}{{\gamma }_{ij}})}^2{e}^{-{\gamma }_{ij}}}{8{\mathrm{\pi \gamma }}_{ij}}\\ +\frac{e^{-\frac{{\gamma }_{ij}}{2}}}{2\sqrt{2{\mathrm{\pi \gamma }}_{ij}}}(\frac{e^{-\frac{{\gamma }_{ij}}{2}}}{\sqrt{2{\mathrm{\pi \gamma }}_{ij}}}-1)(\frac{1}{2}+\frac{1}{{\gamma }_{ij}}+\frac{1}{{\gamma }_{ij}^2})]\end{array}---\left(26\right)$

设置合理的定价因子对于R_ij∈[R_min,R_max]，p_ij∈[p_min,p_max]，|v_i|∈(v_min,v_max)，存在使得恒成立，有U_ij关于p_ij的连续拟凹函数，存在极值点，即存在传输功率Nash均衡解。

2、传输速率Nash均衡的存在性：对传输速率求一阶偏导得

其中

$\frac{\partial {\gamma }_{ij}}{\partial R_{ij}}=-\frac{B_n{A}^{-1}(r_{ij},f)}{R_{ij}^2{N}_i}=-\frac{{\gamma }_{ij}}{R_{ij}}---\left(28\right)$

对传输速率求二阶偏导得

设置合理的定价因子对于R_ij∈[R_min,R_max]，p_ij∈[p_min,p_max]，|v_i|∈(v_min,v_max)，存在使得恒成立，有U_ij关于R_ij的连续拟凹函数，存在极值点，即存在传输速率Nash均衡解。

3、传输功率Nash均衡的唯一性：对效用函数求功率的二阶微分偏导得

其中

$\frac{\partial {\gamma }_{ij}}{\partial p_{ik}}=-\frac{2B_n}{R_{ij}}\frac{A^{-1}(r_{ij},f)A^{-1}(r_{ik},f)}{{N_i}^2}=-\frac{{\gamma }_{ij}{A}^{-1}(r_{ik},f)}{N_i}---\left(31\right)$

设置合理的定价因子对于R_ij∈[R_min,R_max]，p_ij∈[p_min,p_max]，|v_i|∈(v_min,v_max)，当时，恒成立。所以博弈模型G＝{Γ,S_i,U_i(·)}是超模博弈，且存在唯一的功率纳什均衡解。

4、传输速率Nash均衡的唯一性：由式(28)可知，在同样约束条件下，效用函数是速率的单调减函数，且有：

$\frac{\partial U_{ij}}{\partial R_{ij}}{|}_{R_{ij}=R_{\min }}>0,\frac{\partial U_{ij}}{\partial R_{ij}}{|}_{R_{ij}=R_{\max }}<0---\left(32\right)$

即有且只有唯一的R^*∈(R_min,R_max)，使得所以R^*的取值是唯一的，即纳什均衡满足唯一性。

以上四个证明过程中，定价因子R_min、R_max、p_min、p_max以及v_min、v_max固定相同，即初始约束条件范围相同。

5)对步骤3中得出的纳什均衡进行求解，得出纳什均衡点，Nash均衡求解问题可以看成求解二元函数的极值问题，求极值即解方程。采用牛顿迭代法建立二元函数迭代方程组，令x_ij＝(p_ij>ij)^T，则Jacobi矩阵为

$H^{\prime }\left(x_{ij}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^2{U}_{ij}}{\partial p_{ij}^2}& \frac{{\partial }^2{U}_{ij}}{\partial p_{ij}\partial R_{ij}}\\ \frac{{\partial }^2{U}_{ij}}{\partial R_{ij}\partial p_{ij}}& \frac{{\partial }^2{U}_{ij}}{\partial R_{ij}^2}\end{array}\right)---\left(33\right)$

则功率和速率的迭代公式为：

$x_{ij}^{k_1+1}=x_{ij}^{k_1}-{\left[H^{\prime }\left(x_{ij}^{k_1}\right)\right]}^{-1}H\left(x_{ij}^{k_1}\right)---\left(34\right)$

其中，k₁为迭代轮数。

此外，本申请还进一步的对根据式(34)求出的功率和速率纳什均衡点进行优化更新，如图4所示，具体为：首先设置定价因子传输速率的范围，传输功率的范围，以及水流速度大小的范围，在该约束条件下，得出传输成功率f(γ_ij)和传输速率R_ij的纳什均衡的存在性和唯一性，利用二元牛顿迭代法求解传输成功率值和传输速率值，从而实现传输功率和传输速率的优化，其具体步骤为：

步骤1：初始化传输功率p(0)、传输速率R(0)，最大传输功率P_max和最大传输速率R_max，并令V＝1，迭代精度ξ₁和ξ₂取值10^-5；

步骤2：对所有节点i(i∈Γ)，迭代次数iter＝V(V＝1、2、3.......)，节点i计算通过式(16)计算出信干噪比，利用计算出信干噪比并结合式(33)和式(34)更新节点i在第V时的功率P_i(V)和速率R_i(V)，若P_i(V)＞P_max、R_i(V)＞R_max，则P_i(V)＝P_max，R_i(V)＝R_max，顺次执行步骤3；

步骤3：如果||p_i(V),p_i(V+1)||≤ξ₁和||R_i(V),R_i(V+1)||≤ξ₂，得到的功率P_i(V)和速率R_i(V)即为更新的纳什均衡功率和速率，结束算法，得最佳功率和速率空间策略集；否则，令V＝V+1,跳转至步骤2。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。