基于Wirtinger不等式的时滞电力系统稳定性判定方法

摘要

本发明公开了一种基于Wirtinger不等式的时滞电力系统稳定性判定方法，用于分析电力系统所能承受的最大时滞稳定裕度。该方法的具体步骤如下：首先，建立考虑时滞影响的电力系统模型。然后，针对所建模型构建Lyapunov泛函，在泛函的求导过程中通过采用Wirtinger不等式进行放缩，以减少判据的保守性。最后将所得判据用一组线性矩阵不等式(LMI)表示。

说明书

技术领域

本发明涉及一种基于Wirtinger不等式的时滞电力系统稳定性判定方法，适用于解决互联电力系统广域控制策略中的延时问题，属于电力系统技术领域。

背景技术

随着电网规模的不断扩大，单纯的依靠本地控制信息已经无法满足电网性能的要求。因此电网稳定控制策略逐步从本地控制趋向于全局控制，特别是近年来广域测量系统(WAMS)的快速发展，使电力系统全局控制策略的实现成为可能。

在此基础上，现代电力系统控制器将从全局角度出发，利用本地信号和远端信号作为反馈信号设计广域控制器。由于远端信号的引入，信号的延时将变得不可避免，已有研究表明，即使很小的时滞都可能对电力系统稳定性产生影响。因此考虑电力系统所能承受的最大时滞，对于电网的安全稳定运行具有十分重要的意义。

目前关于时滞系统的研究，具有多种求解方法，常采用的求解方法是构造Lyapunov泛函，基于Lyapunov稳定性理论，得到系统稳定判据，最后借助线性矩阵不等式(LMI)来求解时滞稳定裕度。但是由上述方法得到的判据，实际是对求导后的Lyapunov泛函放缩所得到的充分条件，因此造成所得判据具有一定的保守性。所以降低保守性问题成为该方法研究的重点，也是难点之一。

发明内容

发明目的：针对现有技术中存在的问题，本发明提出一种基于Wirtinger不等式的时滞电力系统稳定性判定方法，首先构造全新的Lyapunov泛函，将时滞下限不为零考虑进判据中，然后利用Wirtinger不等式放缩技巧，降低结果的保守性。

技术方案：一种基于Wirtinger不等式的时滞电力系统稳定性判定方法，包括如下步骤：

(1)建立包含广域控制回路的时滞电力系统模型式中：h₁≤d(t)≤h₂，μ≤1。其中0≤h₁＜h₂，μ为常数；d(t)为系统延时；为系统状态初值。

(2)给定稳定判定条件：

若存在正定矩阵P∈R^4n×4n；正定矩阵Q_i∈R^n×n，i＝1，2，3；正定矩阵Z_j∈R^n×n，j＝1，2；矩阵X_k∈R^2n×2n，k＝1，2使下列矩阵不等式成立，则时滞电力系统是渐近稳定的：

${\Phi }_1={\Phi }_0-\frac{1}{h_2}{\Gamma }_1^T{\Phi }_2{\Gamma }_1-\frac{1}{h_2-h_1}{\Gamma }_2^T{\Phi }_3{\Gamma }_2<0$

${\Phi }_2=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{Z}}_1& X_1\\ *& {\tilde{Z}}_1\end{array}\right)>0,{\Phi }_3=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{Z}}_2& X_2\\ *& {\tilde{Z}}_2\end{array}\right)>0$

其中：

${\Gamma }_1={\left(\begin{array}{cccc}{G}_3^T& G_4^T& G_5^T& G_6^T\end{array}\right)}^T$

G₃＝e₁-e₂，G₄＝e₁+e₂-2e₅，G₅＝e₂-e₄，G₆＝e₂+e₄-2e₇

${\Gamma }_2={\left(\begin{array}{cccc}{G}_7^T& G_8^T& G_9^T& G_{10}^T\end{array}\right)}^T$

G₇＝e₃-e₂，G₈＝e₃+e₂-2e₆，G₉＝e₂-e₄，G₁₀＝e₂+e₄-2e₇

${\hat{Q}}_1=diag(Q_1,0,-Q_1,0_{4n}),{\hat{Q}}_2=diag(Q_2,0_{2n},Q_2,0_{3n}),$

${\hat{Q}}_3=diag(Q_3,-(1-\stackrel{·}{d})Q_3,0_{5n}),\hat{Z}=h_2\times diag(Z_1,0_{3n})+(h_2-h_1)\times diag(Z_2,0_{3n})$

${\tilde{Z}}_1=diag(Z_1,3Z_1),{\tilde{Z}}_2=diag(Z_2,3Z_2)$

$G_1={\left(\begin{array}{cccc}{e}_1^T& d\left(t\right)e_5^T& \left(d\right(t)-h_1)e_6^T& (h_2-d(t\left)\right)e_7^T\end{array}\right)}^T$

$G_2={\left(\begin{array}{cccc}{({\mathrm{Ae}}_1+A_d{e}_2)}^T& e_1^T-(1-\stackrel{·}{d})e_2^T& e_3^T-(1-\stackrel{·}{d})e_2^T& -e_4^T+(1-\stackrel{·}{d})e_2^T\end{array}\right)}^T$

e_l＝[0_l-₁>7-_l]，l＝1,…,7

对于矩阵A，He(A)＝A+A^T。其中I代表单位矩阵。

(3)利用Matlab中的线性矩阵(LMI)工具箱判断给定时滞d(t)是否满足步骤(2)给出的判定条件，若满足，则可判定在延时d(t)条件下的时滞电力系统是渐近稳定的。

时滞电力系统模型式中：x＝[x₁>c]^T，x₁为系统状态变量；x_c为控制器的状态变量；A₁为系统状态矩阵；B₁为系统输入矩阵；A_c为控制系统的状态矩阵；C_c为控制系统的输出矩阵；C₁为系统输出矩阵；B_c为控制系统的输入矩阵。

附图说明

图1为本发明所提的时滞电力系统稳定性判定方法流程图；

图2为包含WADC的时滞电力系统；

图3为四机两区域电力系统；

图4为d(t)＝0ms情况下四机两区域电力系统响应图；

图5为d(t)＝110ms情况下四机两区域电力系统响应图。

具体实施方式

下面结合具体实施例，进一步阐明本发明，应理解这些实施例仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围，在阅读了本发明之后，本领域技术人员对本发明的各种等价形式的修改均落于本申请所附权利要求所限定的范围。

(1)电力系统时滞模型的建立

通常情况下，电力系统可由一组微分代数方程描述，在系统运行点附近对其线性化，最终系统可表示为：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_1\left(t\right)=A_1{x}_1\left(t\right)+B_{1}u\left(t\right)\\ y\left(t\right)=C_1{x}_1\left(t\right)\end{array}\right)---\left(1\right)$

式中：x₁为系统状态变量；A₁为系统状态矩阵；B₁为系统输入矩阵；C₁为系统输出矩阵；u为系统控制输入，y为系统控制输出。

系统的控制策略采用基于WAMS的广域阻尼控制，其中广域阻尼控制器(WADC)的控制输入信号含有系统远端信号，其状态方程可表示为：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{x}}_c\left(t\right)=A_c{x}_c\left(t\right)+B_c{u}_c\left(t\right)\\ y_c\left(t\right)=C_c{x}_c\left(t\right)+D_c{u}_c\left(t\right)\end{array}\right)---\left(2\right)$

式中：x_c为控制器的状态变量；A_c为控制系统的状态矩阵；B_c为控制系统的输入矩阵；C_c为控制系统的输出矩阵；u_c为控制系统输入，y_c为系控制系统输出。D_c为标量，反映了输出y_c与输入u_c之间的直接关联。

图2给出了包含广域控制回路的时滞电力系统结构关系图，其中的变延时d(t)是由于远端信号传输所引起的传输延时。根据图2所示的关系图，可以得到：

$\left(\begin{array}{c}{u}_c\left(t\right)=y\left(t-d\left(t\right)\right)\\ u\left(t\right)=y_c\left(t\right)\end{array}\right)---\left(3\right)$

其中：h₁≤d(t)≤h₂，

进一步，时滞电力系统模型可表示为：

$\stackrel{·}{x}\left(t\right)=Ax\left(t\right)+A_{d}x(t-d(t\left)\right)---\left(4\right)$

式中：

(2)电力系统延时依赖稳定性判据方法

求解时滞稳定判据过程中，常用的放缩技巧是利用Jensen不等式。这种方法虽然可行但增加了结果的保守性。本发明所提方法采用一种全新的不等式-Wirtinger不等式进行放缩，可大大降低所得结果的保守性。首先，给出本发明所提方法用到的两个重要的引理。

引理1：对于给定的正定矩阵M＞0，以下不等式对于在区间[a,b]上连续可微函数x都成立：

${\int }_a^b\stackrel{·}{x}{\left(s\right)}^{T}M\stackrel{·}{x}\left(s\right)ds\ge \frac{1}{b-a}{\xi }_1^T{\mathrm{M\xi }}_1+\frac{3}{b-a}{\xi }_2^T{\mathrm{M\xi }}_2$

其中：ξ₁＝x(b)-x(a)，

${\xi }_2=x\left(b\right)+x\left(a\right)-\frac{2}{b-a}{\int }_a^{b}x\left(s\right)ds$

引理2：对于给定的正定矩阵R＞0，矩阵W₁,W₂和标量α∈(0,1)，定义对于所有的ξ，函数Θ(α,R)：

$\Theta (\alpha ,R)=\frac{1}{\alpha }{\xi }^T{W}_1^T{\mathrm{RW}}_1\xi +\frac{1}{1-\alpha }{\xi }^T{W}_2^T{\mathrm{RW}}_2\xi$

如果存在矩阵X，使那么以下不等式成立：

$\underset{\alpha \in (0,1)}{min}\Theta (\alpha ,R)\ge {\left(\begin{array}{c}{W}_1\xi \\ W_2\xi \end{array}\right)}^T\left(\begin{array}{cc}R& X\\ *& R\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{W}_1\xi \\ W_2\xi \end{array}\right)$

构造如下Lyapunov泛函：

$\begin{array}{c}V={\eta }^{T}P\eta +{\int }_{t-h_1}^t{x}^T\left(s\right)Q_{1}x\left(s\right)ds+{\int }_{t-h_2}^t{x}^T\left(s\right)Q_{2}x\left(s\right)ds+{\int }_{t-d\left(t\right)}^t{x}^T\left(s\right)Q_{3}x\left(s\right)ds\\ +{\int }_{-h_2}^0{\int }_{t+\theta }^t{\stackrel{·}{x}}^T\left(s\right)Z_1\stackrel{·}{x}\left(s\right)dsd\theta +{\int }_{-h_2}^{-h_1}{\int }_{t+\theta }^t{\stackrel{·}{x}}^T\left(s\right)Z_2\stackrel{·}{x}\left(s\right)dsd\theta \end{array}---\left(5\right)$

式中：P∈R^4n×4n；Q_i∈R^n×n，i＝1，2，3；Z_j∈R^n×n，j＝1，2，

$\eta ={\left(\begin{array}{cccc}{x}^T\left(t\right)& {\int }_{t-d\left(t\right)}^t{x}^T\left(s\right)ds& {\int }_{t-d\left(t\right)}^{t-h_1}{x}^T\left(s\right)ds& {\int }_{t-h_2}^{t-d\left(t\right)}{x}^T\left(s\right)ds\end{array}\right)}^T$

设e_l∈R^7n×n，e_l＝[0_l-1>7-l]，l＝1,…,7为分块坐标矩阵，可得如下稳定性判据：

判据：若存在正定矩阵P∈R^4n×4n；正定矩阵Q_i∈R^n×n，i＝1，2，3；正定矩阵Z_j∈R^n×n，j＝1，2；矩阵X_k∈R^2n×2n，k＝1，2使下列矩阵不等式成立，则时滞电力系统是渐近稳定的：

${\Phi }_1={\Phi }_0-\frac{1}{h_2}{\Gamma }_1^T{\Phi }_2{\Gamma }_1-\frac{1}{h_2-h}{\Gamma }_2^T{\Phi }_3{\Gamma }_2<0---\left(6\right)$

${\Phi }_2=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{Z}}_1& X_1\\ *& {\tilde{Z}}_1\end{array}\right)>0,{\Phi }_3=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{Z}}_2& X_2\\ *& {\tilde{Z}}_2\end{array}\right)>0$

其中：

${\Gamma }_1={\left(\begin{array}{cccc}{G}_3^T& G_4^T& G_5^T& G_6^T\end{array}\right)}^T$

G₃＝e₁-e₂，G₄＝e₁+e₂-2e₅，G₅＝e₂-e₄，G₆＝e₂+e₄-2e₇

${\Gamma }_2={\left(\begin{array}{cccc}{G}_7^T& G_8^T& G_9^T& G_{10}^T\end{array}\right)}^T$

G₇＝e₃-e₂，G₈＝e₃+e₂-2e₆，G₉＝e₂-e₄，G₁₀＝e₂+e₄-2e₇

${\hat{Q}}_1=diag(Q_1,0,-Q_1,0_{4n}),{\hat{Q}}_2=diag(Q_2,0_{2n},Q_2,0_{3n}),$

${\hat{Q}}_3=diag(Q_3,-(1-\stackrel{·}{d})Q_3,0_{5n}),\hat{Z}=h_2\times diag(Z_1,0_{3n})+(h_2-h_1)\times diag(Z_2,0_{3n})$

${\tilde{Z}}_1=diag(Z_1,3Z_1),{\tilde{Z}}_2=diag(Z_2,3Z_2)$

$G_1={\left(\begin{array}{cccc}{e}_1^T& d\left(t\right)e_5^T& \left(d\right(t)-h_1)e_6^T& (h_2-d(t\left)\right)e_7^T\end{array}\right)}^T$

$G_2={\left(\begin{array}{cccc}{({\mathrm{Ae}}_1+A_d{e}_2)}^T& e_1^T-(1-\stackrel{·}{d})e_2^T& e_3^T-(1-\stackrel{·}{d})e_2^T& -e_4^T+(1-\stackrel{·}{d})e_2^T\end{array}\right)}^T$

e_i＝[0_i-1>7-i]，i＝1,…,7

那么系统(4)渐近稳定。

对于矩阵A，He(A)＝A+A^T。其中I代表单位矩阵。

证明：

对于判据中的Lyapunov泛函进行求导可得：

$\stackrel{·}{V}={\xi }_1^T\left(t\right){\Phi }_0{\xi }_1-{\int }_{t-h_2}^t\stackrel{·}{x}{\left(t\right)}^T{Z}_1\stackrel{·}{x}\left(t\right)ds-{\int }_{t-h_2}^{t-h_1}\stackrel{·}{x}\left(t\right)Z_2\stackrel{·}{x}\left(t\right)ds---\left(7\right)$

其中：

$\begin{array}{c}{\xi }_1=[\begin{array}{cccccc}{x}^T\left(t\right)& x^T\left(t-d\left(t\right)\right)& x^T\left(t-h_1\right)& x^T\left(t-h_2\right)& \frac{1}{d\left(t\right)}{\int }_{t-d\left(t\right)}^t& x^T\left(s\right)ds\end{array}\\ \begin{array}{cc}\frac{1}{d\left(t\right)-h_1}{\int }_{t-d\left(t\right)}^{t-h_1}{x}^T\left(s\right)ds& \frac{1}{h_2-d\left(t\right)}{\int }_{t-h_2}^{t-d\left(t\right)}{x}^T\left(s\right)ds]\end{array}\\ \eta \left(t\right)=G_1{\xi }_1\left(t\right),\stackrel{·}{\eta }\left(t\right)=G_2{\xi }_1\left(t\right)\\ {\Phi }_0=He\left(G_1^T{\mathrm{PG}}_2\right)+{\hat{Q}}_1+{\hat{Q}}_2+{\hat{Q}}_3+G_2^T\hat{Z}{G}_2\end{array}---\left(8\right)$

然后对求导后的Lyapunov泛函(7)的最后两项利用引用1,2处理，以为例，另一项处理方法相同，具体操作如下：

$\begin{array}{c}-{\int }_{t-h_2}^t\stackrel{·}{x}{\left(t\right)}^T{Z}_{1}x\left(t\right)ds\\ =-{\int }_{t-d\left(t\right)}^t\stackrel{·}{x}{\left(t\right)}^T{Z}_{1}x\left(t\right)ds-{\int }_{t-h_2}^{t-d\left(t\right)}\stackrel{·}{x}{\left(t\right)}^T{Z}_{1}x\left(t\right)ds\end{array}---\left(9\right)$

针对式(9)分别使用引理1可得：

$\left(\begin{array}{c}-{\int }_{t-d\left(t\right)}^t\stackrel{·}{x}{\left(t\right)}^T{Z}_{1}x\left(t\right)ds-{\int }_{t-h_2}^{t-d\left(t\right)}\stackrel{·}{x}{\left(t\right)}^T{Z}_{1}x\left(t\right)ds\\ \le \left(-\frac{1}{d\left(t\right)}{\xi }_{11}^T{Z}_1{\xi }_{11}-\frac{3}{d\left(t\right)}{\xi }_{12}^T{Z}_1{\xi }_{12}\right)\\ +\left(-\frac{1}{h_2-d\left(t\right)}{\xi }_{21}^T{Z}_1{\xi }_{21}-\frac{3}{h_2-d\left(t\right)}{\xi }_{22}^T{Z}_1{\xi }_{22}\right)\end{array}\right)$

其中：

ξ₁₁＝G₃ξ₁，ξ₁₂＝G₄ξ₁，ξ₂₁＝G₅ξ₁，ξ₂₂＝G₆ξ₁

针对上式，使用引理2可得：

$-{\int }_{t-h_2}^t\stackrel{·}{x}{\left(t\right)}^T{Z}_{1}x\left(t\right)ds\le -\frac{1}{h_2}{\xi }_1^T{\Gamma }_1^T{\Phi }_2{\Gamma }_1{\xi }_1$

${\Phi }_2=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{Z}}_1& X_1\\ *& {\tilde{Z}}_1\end{array}\right)>0$

另一项采用同样的处理方法：

$\left(\begin{array}{c}-{\int }_{t-h_2}^{t-h_1}\stackrel{·}{x}\left(t\right)Z_2\stackrel{·}{x}\left(t\right)ds\\ =-{\int }_{t-h_2}^{t-d\left(t\right)}\stackrel{·}{x}\left(t\right)Z_2\stackrel{·}{x}\left(t\right)ds-{\int }_{t-d\left(t\right)}^{t-h_1}\stackrel{·}{x}\left(t\right)Z_2\stackrel{·}{x}\left(t\right)ds\\ \le -\frac{1}{h_2-h_1}{\xi }_1^T{\Gamma }_2^T{\Phi }_3{\Gamma }_2{\xi }_1\end{array}\right)$

将处理后的两项代入到求导后的Lyapunov泛函中去可得：

$\stackrel{·}{V}\le {\xi }_1^T({\Phi }_0-\frac{1}{h_2}{\Gamma }_1^T{\Phi }_2{\Gamma }_1-\frac{1}{h_2-h_1}{\Gamma }_2^T{\Phi }_3{\Gamma }_2){\xi }_1<0,$

${\Phi }_2=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{Z}}_1& X_1\\ *& {\tilde{Z}}_1\end{array}\right)>0$

${\Phi }_3=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{Z}}_2& X_2\\ *& {\tilde{Z}}_2\end{array}\right)>0$

系统渐近稳定，需要使所求Lyapunov泛函导数小于0，判据得证。

注：判据中的不等式(6)依赖于d(t)和无法直接使用LMI工具箱求解。但是不等式(6)是关于d(t)和的凸函数，所以只要使上述不等式在d(t)＝h₁，上都成立即可。

下面介绍本发明的一个实施例：

四机两区域电力系统如图3所示，1号发电机上安装有广域阻尼控制器，选择ω₁₃作为控制器反馈信号。广域阻尼控制器常规超前滞后WADC，如下式所示：

$H_{WADC}\left(s\right)=K_a\frac{T_{w}s}{1+T_{w}s}{\left(\frac{1+T_{1}s}{1+T_{2}s}\right)}^2---\left(10\right)$

其中：T_w＝10s，T₁＝0.324s，T₂＝0.212s

在h₁＝0，μ＝0情况下，利用本发明所提方法得到四机两区域电力系统在K_a＝10与K_a＝22时系统的稳定裕度分别为346.4ms与101.0ms。

设置系统在母线3处发生三相短路故障，持续200ms。通过图4中无时滞条件下的系统响应，可以看出广域控制器WADC优化了系统的性能，消除了内部振荡。图5中给出了系统中存在110ms延时情况下的系统响应，可以看出延时110ms情况下，K_a＝10系统是稳定的，而K_a＝22系统是不稳定的，呈现发散趋势。这也符合本发明所提方法求得K_a＝22条件下的时滞稳定裕度101.0ms。