一种基于SPT系数的FIR滤波器优化方法

摘要

本发明公开了一种基于SPT系数的FIR滤波器优化方法，(1)首先得到具有无限字长的FIR滤波器系数向量，对无限字长滤波器系数向量中的元素按照绝对值从大到小进行排序；(2)设定滤波器系数增益取值空间，对无限字长滤波器系数向量进行截断处理，截断步骤在每次循环中同时分配多个SPT项，从而大幅度提高了分配效率；(3)选出使得所需SPT项最少的情况下所对应的滤波器系数增益；(4)利用贪婪算法进行优化，在截断步骤基础上进一步改进滤波器的性能，降低Minimax误差，从而充分利用SPT项提升滤波器设计性能。本发明能够取得良好的滤波器性能及较高的计算效率。

说明书

技术领域

本发明涉及一种FIR滤波器优化方法，具体涉及一种基于SPT系数的FIR 滤波器优化方法。

背景技术

有限冲激响应(FiniteImpulseResponse，FIR)滤波器是广泛运用于通信与信 号处理的滤波器之一，它具有很多优点。

首先FIR滤波器具有固有的稳定性，与无限冲激响应(InfiniteImpulse Response，IIR)滤波器相比，其极点均位于Z平面原点；其次可方便的利用对称 结构，设计者容易获得具有精确线性相位特性的滤波器，避免信号发生相位失真； 以及其结构相对简单，便于实现。

传统的FIR滤波器设计基于无限字长这一基本假设。此时，许多的FIR滤 波器设计可以表述为凸优化问题，利用较为成熟的凸优化算法，从而获得设计问 题的全局最优解。基于集成电路技术，数字FIR滤波器的系数可采用SPT形式 构成，但是设计问题也发生了本质的变化，变成了离散空间中的组合优化问题。 然而，在离散空间中寻找最优解是极度耗时的，因此必须要在优化质量与优化效 率上达到折中。通常使用增益q来优化滤波器性能，这样处理既不影响SPT分配， 又能保证滤波器系数的动态范围在设定的动态范围内，尽可能的减少所需要的 SPT项的数量以达到减小滤波器实现成本的目的。然而传统方法由于每次只寻找 一个分配位置进行SPT项的分配，因此传统算法SPT项计算效率不高。

发明内容

针对现有技术存在的不足，本发明目的是提供一种基于SPT系数的FIR滤 波器优化方法，在给定系数表示中SPT项总数的情况下，在保证精确的前提下， 将每个SPT项快速且合理地分配给滤波器系数，能够取得良好的滤波器性能及 较高的计算效率。

为了实现上述目的，本发明是通过如下的技术方案来实现：

本发明的一种基于SPT系数的FIR滤波器优化方法，其包括以下步骤：

(1)首先得到具有无限字长的FIR滤波器系数向量g，对g中的元素按照 绝对值从大到小的顺序进行排序，得到排好序的向量h；

(2)对向量h进行截断处理得到截断后的滤波器系数向量h'，设定滤波器 系数增益q取值空间□＝{q₁,q₂,q₃...q_P}，对于计算增益后的 滤波器系数向量e＝qh；截断步骤在每次循环中同时分配多个SPT项；

截断后的滤波器系数向量h'可表示为：

h'＝Cs,C∈C(M)(1)

其中，C为N×2K矩阵，其元素为0或1，N为滤波器阶数，K为除去 符号位的字长，s＝[-2^-1-2^-2...-2^-K2^-12^-2...2^-K]^T，M为给定SPT总数；

(3)选出使得所需SPT项最少的情况下所对应的滤波器系数增益q₀以及

选择标准为：

ρ(C_qs)表示成本函数，即所需要的SPT项总数；

(4)利用贪婪算法对进行优化，通过试探性的对中其中的一项进行 取反，判断此时最大误差是否得到改进，从而决定是否对这一项进行 调整，逐项遍历中的所有可调项；

优化模型为：

$max\left|\right|s^T{C_h}^{T}v\left(\omega \right)|-q_0{H}_d\left(\omega \right)|=min\left[\underset{\omega \in {\Omega }_I}{max}\right|\left|s^T{C_{q_0}}^{T}v\left(\omega \right)\right|-q_0{H}_d\left(\omega \right)\left|\right]---\left(3\right)$

其中，v(ω)＝[1e^-jωe^-j2ω...e^-jNω]，N为滤波器阶数，H_d(ω)代 表滤波器的理想幅度响应，C_h由经过贪婪算法优化最终得到， Ω_I表示所研究的频率段。

上述步骤(1)通过Remezexchange算法得到具有无限字长的FIR滤 波器系数向量g。

步骤(1)中，对g中的元素按照绝对值从大到小的顺序进行排序时，保存排序 前与排序后滤波器系数的对应性，方便后续步骤中进行相应的SPT分配。

步骤(2)中，对向量h进行截断处理的方法如下,p用来指定滤波器系数增益 空间□＝{q₁,q₂,q₃...q_P}中的q值，m用来表示所用的SPT项数量，k用来指定2 的幂，集合□₁与□₂用来存储待分配SPT项的系数的序号，向量e中任一元素 可用e(i)表示，i∈{1,2,...}，集合□₁与□₂中的元素可分别用j₁、j₂来指定；

步骤2-1：初始化p＝0；

步骤2-2：p＝p+1，计算e＝q_ph，初始化m＝0，k＝0以及矩阵C＝[0]_N×2K；

步骤2-3：k＝k+1，计算n只是一个中间变量，用来表示从 k+1到K的取值，并初始化和

步骤2-4：对于

(4)如果e(i)＞2^-k或|2^-k-e(i)|≤|sum-e(i)|，□₁＝□₁∪{i}；

(5)如果e(i)＜-2^-k或|-2^-k-e(i)|≤|-sum-e(i)|，□₂＝□₂∪{i}；

步骤2-5：

(6)如果M-m≥|□₁|+|□₂|，对于C(j₁,k+K)＝1，e(j₁)＝e(j₁)-2^-k；

对于C(j₂,k)＝1，e(j₂)＝e(j₂)+2^-k，m＝m+|□₁|+□₂|；

(7)如果M-m＜|□₁|+|□₂|，对e中元素按照绝对值大小排序得e'，在e'中从 前到后选出M-m个系数，分配SPT项，若此时p＜P，转到步骤2-2，否则 终止算法；

步骤2-6：如果k＜K，转至步骤2-3；

步骤2-7：如果p＜P，转至步骤2-2；否则，终止算法。

步骤(4)中，基于C的对称性，只考虑中可调部分，记为A，表示前A 行，式(3)可转换为以下求解步骤：

步骤4-1：计算幅度响应以及最大幅度响应误差 ${\Delta }_M=\underset{\omega \in {\Omega }_I}{max}|H\left(\omega \right)-q_0{H}_d\left(\omega \right)|$及其对应的频率点ω_M；

步骤4-2：初始化k＝0，r＝1，k表示取矩阵C的特定列，r表示取矩阵C的 特定行；

步骤4-3：k＝k+1，若k＝2K+1，则令k＝1，r＝r+1；首先对取 反，并根据对称性修改m；

步骤4-4：计算此时的幅度响应误差和对应的频率点如果

且m≤M，则${\Delta }_M={\tilde{\Delta }}_M,{\omega }_M={\tilde{\omega }}_M;$否则，复原

步骤4-5：如果k＝2K且r＝A，终止算法；否则，转到步骤4-3。

本发明的有益效果如下：

本发明将具有SPT系数的滤波器SPT项计算效率与设计误差进行联合考虑， 滤波器系数截断步骤大幅度提高了SPT项分配的效率，在每次循环中并不只分 配一个SPT项，而是寻找多个位置，同时分配多个SPT项；而贪婪算法步骤降 低设计误差，在截断步骤基础上进一步改进滤波器的性能，降低Minimax误差， 从而充分利用SPT项提升滤波器设计性能，因此本发明能达到较高的计算效率 与良好的FIR滤波器设计效果。

附图说明

图1为本发明的工作流程图；

图2为本发明应用示例1中的线性相位低通滤波器幅度响应；

图3为本发明应用示例2中的线性相位高通滤波器幅度响应。

具体实施方式

为使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，下 面结合具体实施方式，进一步阐述本发明。

一、模型建立

N阶FIR系统的传递函数由下式给出：

$H\left(z\right)=\underset{n=0}{\overset{N}{\Sigma }}{h}_n{z}^{-n}---\left(1\right)$

其中，为FIR滤波器的冲激响应，即FIR滤波器系数。如果待设计FIR 滤波器具有线性相位，那么其幅度响应可由下式计算所得

其中{ν_n(ω)}_n表示三角函数，例如设计Ⅰ型线性相位FIR滤波器时，{ν_n(ω)}_n为：

$v_n\left(\omega \right)=\left(\begin{array}{cc}2cos(\frac{N}{2}-n)\omega ,& n=0,1=,...,\frac{N}{2}-1\\ 1& n=\frac{N}{2}\end{array}\right)---\left(3\right)$

待设计滤波器需要满足以下约束条件：

其中δ为给定的误差门限，H_d(ω)代表滤波器的理想幅度响应。假设C(M)表示 N×2K矩阵集合，其元素为0或1，K为不包括符号位的字长，且设为1的比 特位总数应不超过M，若s＝[-2^-1-2^-2...-2^-K2^-12^-2...2^-K]^T，则FIR滤波器系数 可表示为：h'＝Cs，C∈C(M)。可以看到，FIR滤波器系数可由2的整 数次幂之和计算所得，非常便于硬件实现。在给定字长情况下，SPT项分配的问 题就成为了关于矩阵C的优化问题。设g为利用传统设计算法所获得的具有无限 字长的最优滤波器系数向量，q为滤波器增益系数，q的取值空间为□。对于□ 中每个q，截断过程得到的C_q应与g具有最短的切比雪夫距离，即满足以下条件：

||C_qs-qg||_∞＝min||Cs-qg||_∞,C∈C(M)(5)

其中||.||_∞表示向量的无穷范数。然后，在预先设定的q的取值空间内，寻找最优 的q₀∈□，使其满足：

ρ(C_qS)表示成本函数，即所需要的SPT项总数。截断过程得到的是我们应 该运用贪婪算法来进一步处理的目标，通过调节来降低Minimax误差，因此， 经最小化最大误差方法优化后得到的C_h应满足以下条件：

$max\left|\right|s^T{C_h}^{T}v\left(\omega \right)|-q_0{H}_d\left(\omega \right)|=min\left[\underset{\omega \in {\Omega }_I}{max}\right|\left|s^T{C_{q_0}}^{H}v\left(\omega \right)\right|-q_0{H}_d\left(\omega \right)\left|\right]---\left(7\right)$

其中v(ω)＝[1e^-jωe^-j2ω...e^-jNω]，N为滤波器阶数，H_d(ω)代表滤波器的理想幅 度响应，C_h由C_q0经过优化最终得到，Ω_I表示我们感兴趣的频率段。

二、问题求解

首先得到具有无限字长的FIR滤波器系数向量g，对g中元素按照绝对值从 大到小排序，得到排好序的向量h。

对无限字长滤波器系数向量g按照绝对值从大到小排序得到h时，保存排序 前与排序后滤波器系数的对应性，方便后续步骤中进行相应的SPT分配。

为了提高截断步骤的效率，截断步骤在每次循环中并不只分配一个SPT 项，而是寻找多个位置，同时分配多个SPT项，从而大幅度提高了分配效率。 在对h进行截断处理时，分为以下步骤。

步骤2-1：初始化p＝0。

步骤2-2：p＝p+1，计算e＝q_ph，初始化m＝0，k＝0以及矩阵C＝[0]_N×2K。

步骤2-3：k＝k+1，计算并初始化和

步骤2-4：对于

(8)如果e(i)＞2^-k或|2^-k-e(i)|≤|sum-e(i)|，□₁＝□₁∪{i}；

(9)如果e(i)＜-2^-k或|-2^-k-e(i)|≤|-sum-e(i)|，□₂＝□₂∪{i}。

步骤2-5：

(10)如果M-m≥|□₁|+|□₂|，对于C(j₁,k+K)＝1，e(j₁)＝e(j₁)-2^-k；

对于C(j₂,k)＝1，e(j₂)＝e(j₂)+2^-k，m＝m+|□₁|+|□₂|。

(11)如果M-m＜|□₁|+|□₂|，对e中元素按照绝对值大小排序得e'，在e'中从 前到后选出M-m个系数，分配SPT项，若此时p＜P，转到步骤2-2，否 则终止算法。

步骤2-6：如果k＜K，转至步骤2-3。

步骤2-7：如果p＜P，转至步骤2-2；否则，终止算法。

依据式(12)选出使得所需SPT项最少的情况下所对应的增益q₀以及

为了对设计模型式(13)进行方便求解，将其转换为以下求解方式：

利用贪婪算法对进行优化，在截断步骤基础上进一步改进滤波器的性能， 降低Minimax误差，从而充分利用SPT项提升滤波器设计性能。可通过试探性 的对中某一项进行取反(从0变为1或从1变为0)判断此时最大误差是否得到 改进来决定是否对这一项进行调整，逐项遍历中的所有可调项。其可按以下 步骤进行：

步骤4-1：计算幅度响应以及最大幅度响应误差

${\Delta }_M=\underset{\omega \in {\Omega }_I}{max}|H\left(\omega \right)-q_0{H}_d\left(\omega \right)|$及其对应的频率点ω_M。

步骤4-2：初始化k＝0，r＝1。

步骤4-3：k＝k+1。若k＝2K+1，则令k＝1，r＝r+1。首先对取 反，并根据对称性修改m。

步骤4-4：计算此时的幅度响应误差和对应的频率点如果

且m≤M，则${\Delta }_M={\tilde{\Delta }}_M,{\omega }_M={\tilde{\omega }}_M;$否则，复原

步骤4-5：如果k＝2K且r＝A，终止算法；否则，转到步骤4-3。

三、设计示例

设计方法的可行性可用以下两个示例进行验证。所有设计均采用归一化频率， 即二分之一采样频率对应于ω＝π。

示例1：示例1为一线性相位低通滤波器设计，表1为示例1所用的各项参 数，图2所示为线性相位低通滤波器的幅度响应，可以看到，在滤波器阶数较 高情况下，该方法仍能取得良好的滤波器性能及较高的计算效率。

表1

表2

示例2：示例2为一线性相位高通滤波器设计，表2为示例2所用的各项参 数，图3所示为线性相位高通滤波器的幅度响应，可以看到，在滤波器阶数较 高情况下，该方法仍能取得良好的滤波器性能及较高的计算效率。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的 技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述 的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有 各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求 保护范围由所附的权利要求书及其等效物界定。