一种基于离散Tchebichef正交多项式的图像无损压缩方法

摘要

本发明公开了一种基于离散Tchebichef正交多项式的图像无损压缩方法，属于数字图像压缩技术领域。本发明的编码及解码方法在进行二维正向/反向正交变换时，采用二维整数正向/反向离散Tchebichef正交多项式变换来替代现有技术所使用的其它整数变换方法，实现无损压缩，可以有效地解决编码器失配问题，实现无损编码，而且具有较高的压缩性能以及更好的可扩展性。本发明矩阵变换实现从整数映射到整数，且在原位之间计算，完好地重构图像，降低了硬件资源消耗，有利于硬件实现。

说明书

技术领域

本发明涉及一种图像的编码及解码方法，属于数字图像压缩领域。

背景技术

由于图像数据在空间上具有较强的相关性，而二维离散正交变换则是去除图 像残差块空间域冗余度的有效方法，因此广泛应用于传统的图像编码标准(如： JPEG等)。图像的编解码的过程包括以下几个步骤：

编码过程：

1、输入图像。

2、将图像分成8×8的块，进行二维正向离散正交变换，得到变换域系数。

3、对系数进行熵编码，即利用哈夫曼编码、算术编码等编码方法进行压 缩编码，得到编码后的数据；此时可将编码后的数据进行传输。

解码过程：

1、对编码后的数据进行熵解码，即利用哈夫曼解码，算术解码对压缩数 据进行解码。

2、进行二维反向离散正交变换，得到原来的图像。

3、显示图像。

目前最常用的二维离散正交变换是离散余弦变换(DCT)，因为其能量集中 性能非常接近统计最佳的KL变换，因此常用于图像数据和视频数据的块变换编 码。但这种技术有以下缺陷：第一、DCT变换矩阵的部分系数是无理数，经过 正向离散变换和反向离散变换之后，不能得到与原始数据相等的数值。第二、 变换之后的量化会造成高频信息的损失，因而导致在低码率下分块边缘容易产 生方块效应是其存在的缺点，并且同样不能实现图像的无损压缩。

下表给出了一些常见的图像编码标准及其采用的二维正交变换方法。

发明内容

本发明主要解决现有方法存在的解码器失配以及扩展性差的问题，提供一 种能实现无损编解码的高效算法。

为了解决这个问题，本发明提出了基于离散Tchebichef正交多项式变换的 矩阵因子分解，采用的技术方案如下：

一种基于离散Tchebichef正交多项式的图像无损压缩方法，包括压缩过程 和解压缩过程，其中压缩过程包括图像数据输入步骤，二维正向离散正交变换 步骤，熵编码器压缩步骤，解压过程包括熵编码器解压缩步骤，二维反向离散 正交变换步骤，图像显示步骤；其中，所述二维正向离散正交变换采用二维整 数正向离散Tchebichef正交多项式变换；解压过程中的二维反向离散正交变换 采用二维整数反向离散Tchebichef正交多项式变换。

所述压缩过程和解压缩过程具体步骤如下：

步骤A、将输入的图像分为大小为N×N的数据块，N表示长或宽方向上像 素点的个数，N为2的n次方，n取正整数。

步骤B、计算二维离散Tchebichef正交多项式变换矩阵，得到离散变换域的 中间矩阵，再对中间矩阵进行因子分解。N阶Tchebichef正交多项式变换矩阵的 递推关系为：

${\tilde{t}}_n\left(i\right)=\frac{(a_{1}i+a_2){\tilde{t}}_{n-1}\left(i\right)+a_3{\tilde{t}}_{n-2}\left(i\right)}{n}$

其中，${\tilde{t}}_0\left(i\right)=\frac{1}{\sqrt{N}},{\tilde{t}}_1\left(i\right)=\frac{2i+1-N}{N}\sqrt{\frac{3}{N(N^2-1)}}$

$a_1=\frac{2}{m}\sqrt{\frac{4m^2-1}{N^2-m^2}},a_2=\frac{1-N}{m}\sqrt{\frac{4m^2-1}{N^2-m^2}}$

$a_3=\frac{1-m}{m}\sqrt{\frac{2m+1}{2m-3}}\sqrt{\frac{N^2-{(m-1)}^2}{N^2-m^2}}$

i,n＝0,1,2,…,N-1,j,m＝0,1,2,…,M-1.M和N和分别表示图像分块的长和 宽，本发明中两值都为8。

步骤C、进行二维整数正向离散Tchebichef正交多项式变换，将得到的结果 组合为新的矩阵。

步骤D、对步骤C得到的新矩阵进行哈夫曼熵编码，压缩图像数据。

步骤E、将经解压缩后的变换域系数分为大小为N×N的数据块，N表示长 或宽方向上像素点的个数。

步骤F、对解压缩的图像数据进行二维整数反向散Tchebichef正交多项式变 换。

步骤G、将步骤F得到的结果组合为新的矩阵，得到二维空间域图像，即 原始输入数据。

本发明的一优选实施例中，所述二维整数正/反向离散Tchebichef正交多项 式变换，具体包括以下步骤：

将离散Tchebichef正交多项式的变换矩阵分解为至多N+1个单行基本可逆 矩阵相乘的形式，得到变换域的中间矩阵；

将二维整数正/反向离散Tchebichef正交多项式变换域的中间矩阵分别与图 像数据进行二维整数正向离散Tchebichef正交多项式变换，并将得到的结果组 合为新的矩阵。

基于离散Tchebichef正交多项式变换，可以有效地解决采用DCT进行图像 压缩存在的问题，因为离散Tchebichef正交多项式变换矩阵可以分解为至多N+1 个单行基本可逆阵相乘的形式，没有牵涉到浮点级运算。基于离散Tchebichef 正交多项式变换的图像压缩算法的设计框架与现有的流行JPEG压缩算法框架 基本一致，因此，本发明提出的图像压缩编码算法保持了与“绝大多数”解码器的 兼容性。

本发明矩阵变换实现从整数映射到整数，且在原位之间计算，完好地重构 图像，降低了硬件资源消耗，有利于硬件实现。

整数因子分解的优点是：第一，每个块从整数映射到整数；第二，原位计 算；第三，无损地重构图像。

附图说明

图1为图像解编码系统结构框图；

图2为具体实施方式中所述对比实验所采用的4幅测试图像，其中a为Lena， b、c、d是柯达图像库中的图片，分别为kodim01、kodim02、kodim03。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的技术方案进行详细说明：

附图1是典型的图像编解码系统结构图，其中虚线框为现有技术采用的整 数变换方法，实线框为本发明所采用的整数变换方法。采用上述装置进行编码 时，按照以下几个步骤：

步骤1、输入图像。

步骤2、按照以下方法对输入的数据进行正向二维离散Tchebichef正交多项 式变换：

步骤201、将图像分成N×N的块，N表示长或宽方向上像素点的个数。

步骤202、把离散Tchebichef正交多项式变换的矩阵分解为至多N+1个单 行基本可逆矩阵相乘的形式，得到变换域的中间矩阵。

步骤203、将二维整数正向离散Tchebichef正交多项式变换域的中间矩阵分 别与输入图像数据进行二维整数正向离散Tchebichef正交多项式变换，并将得 到的结果组合为新的矩阵。

一种基于矩阵分解的整型映射变换。因为KL变换基矩阵是由标准正交的矢 量组成，所以它满足矩阵分解的条件，可以分解为单行基本可逆阵，然后通过 多阶提升即可实现整型KL变换。以离散Tchebichef正交多项式变换的8点8×8 变换为例，基矩阵如下式A所示，这种变换不是直接从整数映射到整数，矩阵满 足A^-1＝A^T，detA＝1，因此它可以因子分解为至多3个三角基本可逆阵(TERMs) 或N+1个单行基本可逆阵(SERMs)。为了优化矩阵分解，我们找到一种算法使误 差减少到最小，使得P^TA＝S₈S₇S₆S₅S₄S₃S₂S₁S₀,P为行置换阵，S_m为单行基本可逆阵， 且其中，m＝0,1,…,8,为m元为0的向量，e_m为单位矩阵的第m 列向量。I表示大小为8×8的基本单位阵。

$A=\left(\begin{array}{cccccccc}0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536& 0.3536\\ -0.5401& -0.3858& -0.2315& -0.0772& 0.0772& 0.2315& 0.3858& 0.5410\\ 0.5401& 0.0772& -0.2315& -0.3858& -0.3858& -0.2315& 0.0772& 0.5401\\ -0.4308& 0.3077& 0.4308& 0.1846& -0.1846& -0.4308& -0.3077& 0.4308\\ 0.2820& -0.5238& -0.1209& 0.3626& 0.3626& -0.1209& -0.5238& 0.2820\\ -0.1498& 0.4922& -0.3638& -0.3210& -0.3210& 0.3638& -0.4922& 0.1498\\ 0.0615& -0.3077& 0.5539& -0.3077& -0.3077& 0.5539& -0.3077& 0.0615\\ -0.0171& 0.1195& -0.3585& 0.5974& 0.5974& 0.3585& -0.1195& 0.0171\end{array}\right)$

$P=\left(\begin{array}{cccccccc}0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{s}_0^T\\ s_1^T\\ s_2^T\\ s_3^T\\ s_4^T\\ s_5^T\\ s_6^T\\ s_7^T\\ s_8^T\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccc}-0.8516& -1.4771& -1.9555& -1.2229& 2.6259& 0.2772& 5.2787& 0\\ 0& 0.8749& 0.8247& 0.2747& -1.8039& -0.3812& -2.7737& 0.5401\\ -0.0639& 0& 1.3260& 0.7290& -1.4312& -0.5746& -2.7592& 0.4653\\ 0.0937& -0.3165& 0& -0.0330& -0.7168& 0.3984& -1.1899& 0.1473\\ 0.4161& -0.3273& 0.7480& 0& 0.2929& -0.6221& -1.2305& 0.1523\\ 0.5027& 0.4629& -0.1874& 0.3886& 0& 0.8798& 1.7402& -0.2154\\ 0.1659& 0.9679& -0.0743& 0.5311& -0.6721& 0& 0.4690& 0.1330\\ 0.0315& -1.1460& -0.9335& -0.0854& 0.2858& 1.7895& 0& -0.4922\\ 0.2207& -2.9537& -2.5221& -1.2378& 1.2992& 4.4198& -2.2747& -2\end{array}\right)$

一维整数正向离散Tchebichef正交多项式变换具体按照以下公式

y'＝P[S₈…[S₂[S₁[S₀x]]]…]

式中，[.]表示四舍五入算术运算符,x＝[x₀,x₁,…x_N-1]'表示输入向量，y'表示 输出向量。

利用矩阵因子分解进行无损压缩时，因涉及取整运算，不同的分解会对压 缩产生不同的影响，而在无损压缩中，当误差小于一定的阈值时，该算法就达 到无损压缩的效果。因此，这需要对分解过程进行优化，抑制分解后产生的误 差。本发明拟采用能量抑制的方法，特别是针对靠前的分解矩阵(如：S₀-S₄)， 其取整误差的影响会在后级累计，需要严格限制其取整误差。

步骤3、通过熵编码装置进行压缩，对DC系数差分编码，对AC系数游程 编码。

此时可将编码后的数据传输。

进行解码时，按照以下步骤：

步骤4、通过熵解码装置对已编码数据进行熵解码操作，得到N×N整数离 散Tchebichef正交多项式变换域系数矩阵。

步骤5、按照以下方法对输入的数据进行反向二维离散Tchebichef正交多项 式变换：

步骤501、把离散Tchebichef正交多项式变换矩阵分解为至多N+1个单行 基本可逆矩阵相乘的形式，得到变换域的中间矩阵。

步骤502、将二维整数反向离散Tchebichef正交多项式变换域的中间矩阵分 别与输入图像数据进行二维整数反向离散Tchebichef正交多项式变换，并将得 到的结果组合为新的矩阵。

步骤503、将块N×N合成图像的块，N表示长或宽方向上像素点的个数。

步骤6、将步骤5得到的块矩阵进行组合，即得到原始图像数据，可通过数 据输出装置进行显示或数据输出。

为了验证本发明的效果，进行了以下实验：

在一台计算机上进行验证实验，该计算机的配置为i5处理器(3GHz)和4G 内存，编程语言为MATLAB2011b。

实验方法：

本实验采用JPEG图像编解码系统的基本框架(如图1所示),将图中实线 框所示的部分代替虚线框所示的部分。实验采用的输入数据分别是Lena、 kodim01、kodim02、kodim03四幅图像(如附图2所示)。即首先将四幅图像划 分为不重叠的N×N数据块，然后执行：

编码过程：对每个N×N数据块进行二维整数正向离散Tchebichef变换(具 体步骤见前面所述的步骤201到步骤203)，之后进行熵编码(本实验采用哈夫 曼熵编码、差分编码和游程编码)。

解码过程：首先进行熵解码(本实验采用反哈夫曼编码)，最后进行二维整数 反向离散Tchebichef正交多项式变换(具体步骤见前面所述的步骤501步骤502)， 从而得到恢复的图像。

实验结果的评价指标：

实验结果采用压缩比(CompressionRatio，CR)，压缩比指的是通过编码器压 缩后的图像数字大小和原图像数字大小的比值。

4、与现有技术的对比实验结果:

表1给出了分别采用8×8离散余弦正交多项式的矩阵因子分解和8×8离散 Tchebichef正交多项式的矩阵因子分解变换的编解码方法对四幅测试图像(Lena、 kodim01、kodim02、kodim03)的压缩结果。测试结果同时给出了二进制文本数、 压缩比。由于两种方法提出的是无损压缩，因此二者解码后图像的PSNR为无 穷大。

从上表中可以看出，所提出方法的压缩率明显高于8×8DCT因子分解方法 的压缩率，本方法可替代整型DCT变换实现无损编解码，有望适用于静态图像、 视频无损压缩中。