高温高压油气直井单相流射孔完井参数优化方法

摘要

本发明涉及属于油气藏开发工程管理技术领域，具体为一种高温高压油气直井单相流射孔完井参数优化方法，特别涉及到高温高压油气直井单相流模型，油藏渗流和井筒流动耦合模型的构建以及算法流程设计等。本发明公开了一种高温高压油气直井单相流射孔完井参数优化方法，对射孔参数作精确预测，以提高油气井产能比。其包括以下步骤：A、构建井筒流动压降模型；B、构建油气藏渗流和井筒流动耦合模型；C、构建射孔参数优化模型；D、对射孔参数优化模型进行求解。本发明适用于油气藏开发。

说明书

技术领域

本发明涉及属于油气藏开发工程管理技术领域，具体为一种高温高压油气直井单相流射 孔完井参数优化方法，特别涉及到高温高压油气直井单相流模型，油藏渗流和井筒流动耦合 模型的构建以及算法流程设计等。

背景技术

射孔是目前主要的完井方法之一，是用专门的射孔枪将套管和水泥环部分射开，使井筒 与地层之间建立通道，达到油气流入井筒的目的。射孔枪是用于油气井射孔的器材及其配套 件的组合体。目前应用最广泛的为聚能射孔枪，射孔过程就是通过射孔弹的聚能原理来完成 的，射孔弹被引爆后产生高温高压金属射流挤压套管、水泥环和地层，当射流压力超过地层 岩石的屈服强度，就会在地层内形成孔道。

射孔完井是国内外油田使用最广泛的一种油井完井方法，这种完井方式对油井生产效果 的影响很大，国内外对其做了大量的研究工作，主要目的就是研究射孔参数以提高产能比。 一般地，油气井的性能受其几何形状影响。根据几何形状，射孔井可分为射孔直井、射孔水 平井和射孔斜井。射孔直井性能取决于流入井筒内的流体以及垂直截面上的流体。油气井内 的流体变化主要受总压降影响，因此，更好的理解直井内的总压降有助于优化直井设计。

射孔参数涉及孔深、相位、孔密、孔径等，这些参数的选择对提高直井产能有重要影响， 同时，为了抑制水、气锥进、延缓水、气突破时间，需要改善沿直井井筒的入流剖面，使井 深方向的入流剖面分布尽量均匀。因此，射孔参数的合理选择对提高产能，改善入流有重要 意义。

油气藏单相流射孔稳态模型：考虑半无界油气藏，将孔眼视为圆柱形，流体通过孔眼从 地层进入井筒，射孔的入流均会对其他孔眼处的压力产生影响，利用地层渗流的特性，可建 立各孔眼处的压降关系式。井筒中的流体受到重力、摩擦力以及流体加速等因素影响，利用 质量守恒物理原理建立井筒流体流动模型。在建立模型前，先介绍如下基本假设：

(1)油藏储层是均匀的和各向同性的。在储层渗透率为常数，不随位置变化，也不随储 层测量方位变化。

(2)储层是无界区域，在无限远处的压力为常数。

(3)井筒内流体为恒温单相流，流体为不可压缩流体。

将射孔段看作长为l_perf，半径为r_perf的圆筒。整个直井井筒中的射孔井段包含N个射孔孔 眼，结构如图2所示。

假设地层损害忽略不计，从底部开始，第i射孔的位置为x_i(i＝1,2,…,N)当比例很小 时，根据均匀线源的平均压力，通过第i个射孔孔眼进入流量q_i所产生的压力p_ii可描述为

$p_{ii}=-\frac{\mu }{2\pi k}\frac{Q_i}{l_{perf}}\ln \frac{r_{perf}}{l_{perf}}---\left(1\right)$

若射孔间的间距充分大，则射孔j处的点汇强度Q_j对射孔i处压力影响可有下式表述

$p_{ij}=\frac{\mu }{4\pi k}\frac{Q_j}{|x_i-x_j|}---\left(2\right)$

在射孔i产生的总压力即为第i射孔自身的入流压力以及其他射孔入流压力之和

$p_i=p_{ii}+\underset{j\ne i}{\Sigma }{p}_{ij}---\left(3\right)$

带入式(1)和式(2)到式(3)中，则

$p_i=-\frac{\mu }{2\pi k}\frac{Q_i}{l_{perf}}\ln \frac{r_{perf}}{l_{{}_{perf}}}+\underset{j\ne i}{\Sigma }\frac{\mu }{4\pi k}\frac{Q_j}{|x_i-x_j|}---\left(4\right)$

射孔j的位置为x＝x_j，x₁表示从射孔段底部开始的第一个射孔位置。射孔位置x_i为未知变量， 非线性依赖于各射孔处的压力和入流量。

采用向量表示：$\overrightarrow{P}={(p_1,p_2,...,p_N)}^T,\overrightarrow{Q}={(Q_1,Q_2,...,Q_N)}^T,$式(4)可表示为：

$\overrightarrow{P}=A\overrightarrow{Q}---\left(5\right)$

其中系数矩阵A依赖于射孔尺寸以及射孔分布。

若给定沿着井筒的压力分布和射孔分布，则系数矩阵A已知，若其逆存在，式(5)亦可写 成向量的计算形式：

$\overrightarrow{Q}=A^{-1}\overrightarrow{P}---\left(6\right)$

发明内容

本发明所要解决的技术问题是：提出一种高温高压油气直井单相流射孔完井参数优化方法，对 射孔参数作精确预测，以提高油气井产能比。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

高温高压油气直井单相流射孔完井参数优化方法，包括以下步骤：

A、构建井筒流动压降模型；

B、构建油气藏渗流和井筒流动耦合模型；

C、构建射孔参数优化模型；

D、对射孔参数优化模型进行求解。

进一步的，步骤A中，所述构建井筒流动压降模型具体包括：

设直井井筒中的均匀射孔井段剖分成N个等长的射孔单元，每个单元中只包含一个射孔 孔眼，以Δx表示井筒单元的长度，p₁，U₁，A₁分别代表单元上端压力、速度和横截面积，p₂，U₂，A₂分别代表单元下端压力、速度和横截面积；

在轴向上控制体元中应用动量守恒定律，即控制体元CV所受的外力的总和等于通过控 制体元表面CS的流体动量与控制体元内的流体动量增加率之和，可得动量方程：

$\Sigma \overrightarrow{F}=\frac{\partial }{\partial t}\int \int {\int }_{CV}\rho \overrightarrow{u}dV+\int {\int }_{CS}\rho \overrightarrow{u}(\overrightarrow{u}·\overrightarrow{n})dA---\left(7\right)$

式中ρ为流体密度，A为井筒任何截面的面积。

对于稳态井筒流

$\frac{\partial }{\partial t}\int \int {\int }_{CV}\rho \overrightarrow{u}dV=0---\left(8\right)$

将沿着截面的二维流动问题视为一维流动问题，取截面的平均流速为U，利用质量守恒方程， 将式(7)展开为：

$\Sigma \overrightarrow{F}=(p_{w1}A-p_{w2}A)-{\tau }_w\left(\pi D\Delta x\right)-\rho gA\Delta xcos\theta ---\left(9\right)$

式(9)等号左边项是沿井筒轴线向下方向作用于控制体表面的力之和

$\Sigma \overrightarrow{F}={\stackrel{·}{m}}_2{U}_2-{\stackrel{·}{m}}_1{U}_1---\left(10\right)$

式中质量流量

$\stackrel{·}{m}=\rho AU---\left(11\right)$

式(9)等号右边第一项表示作用在控制体元上的净压力；第二项表示作用于井管壁面的剪 应力：

τ_ω(πDΔx)＝Δp_wallA   (12)

右边第三项表示重力作用，重力压降为

Δp_g＝ρgΔx cosθ   (13)

结合式(9)-(13)可得

$p_{w2}-p_{w1}=\rho (U_2^2-U_1^2)+{\mathrm{\Delta p}}_{wall}+{\mathrm{\Delta p}}_g---\left(14\right)$

式(14)等号右边第一项表示净动量，是由于更多的流体通过射孔进入管道导致轴向流 速改变而引起的，该压降是由于加速效应Δp_acc产生的，可描述为：

${\mathrm{\Delta p}}_{acc}=\rho (U_2^2-U_1^2)---\left(15\right)$

射孔井筒内流体的总压降包括摩擦压降Δp_wall，加速压降Δp_acc和重力压降Δp_g

Δp_w＝Δp_wall+Δp_acc+Δp_g   (16)

射孔单元中由壁面摩擦引起的压降依赖于射孔平均流速U₂，可用Darcy-Weisbach方程进 行计算：

${\mathrm{\Delta p}}_{wall}=\frac{f\rho }{2D}{\mathrm{\Delta xU}}_2^2---\left(17\right)$

沿着射孔井深的方向，在射孔单元i处的压力表示为p_wi，则根据式(16)，可以得到射孔 孔眼对应的井筒轴位置的压力计算关系式

$\left(\begin{array}{c}{p}_{w1}=p_d\\ p_{wi+1}=p_{wi}+{\mathrm{\Delta p}}_{wall,i}+{\mathrm{\Delta p}}_{acc,i}+{\mathrm{\Delta p}}_{g,i}\end{array}\right)---\left(18\right)$

式中p_d为位置x₁处的下游跟端压力，Δp_wall，i，Δp_acc，i，Δp_g，i分别表示壁面摩擦压降、加速压降和 重力压降在射孔i对应井筒轴向位置处的压降；

考虑射孔单元i，式(17)的离散格式为：

${\mathrm{\Delta p}}_{wall,i}=\frac{{\mathrm{\rho f}}_i}{2D}\frac{q_i^2}{A^2}|x_{i+1}-x_i|---\left(19\right)$

式中的平均流速U_i可用表达式进行计算，该处的累计流量为

$q_i=\underset{j=1}{\overset{i-1}{\Sigma }}{Q}_j---\left(20\right)$

加速压降是由更多的流体通过射孔进入管道导致轴向流速改变而引起的，依赖于流体密 度和平均流速。

${\mathrm{\Delta p}}_{acc,i}=\rho (U_{i+1}^2-U_i^2)---\left(21\right)$

重力压降是有流体的重力产生的，可表示为

Δp_g，i＝ρg cosα_i|x_i+1-x_i|   (22)

式中α_i表示射孔单元i的倾斜角；

将式(19)、(21)和(22)带入式(18)，既可得到井筒流动的压降模型：

进一步的，步骤B中，将直井的油气藏渗流与直井井筒流体的流动视为一个相互作用的 整体，同时综合油藏和井筒间的压力和流量关系，压力与流量在边界处的连续性，建立油气 藏和井筒的耦合模型，具体方法包括：

由式(23)，井筒内流体的压降关系式表示为如下的向量形式：

${\overrightarrow{P}}_w=F\left[\overrightarrow{Q}\right]---\left(24\right)$

基于油气藏渗流模型的向量表达式和井筒流动压降模型的向量表达式得到耦合模型：

$\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{Q}=A^{-1}\overrightarrow{P}\\ \overrightarrow{P}=F\left[\overrightarrow{Q}\right]\end{array}\right)---\left(25\right)$

进一步，步骤B中，还包括对获得的耦合模型进行求解，方法如下：

对于有N个射孔的井筒，耦合模型为包含有2N个未知函数的2N个方程构成的适定数 学问题，针对该非线性的耦合模型，采用如下迭代公式求解：

${\overrightarrow{Q}}^{n+1}=A^{-1}{\overrightarrow{P}}^n---\left(26a\right)$

${\overrightarrow{P}}^{n+1}=F\left[{\overrightarrow{Q}}^{n+1}\right]---\left(26b\right)$

给定初始值p_d，根据耦合模型的迭代算法，由迭代公式(26a)，带入压力数据，即可算出各 孔眼处的流量，再将公式(26a)算得的孔眼流量，带入格式(26b),可算出井筒的压力分布；重 复上述过程，一直到求解结果满足提前设定的迭代结束条件。

进一步的，步骤C中，在构建射孔参数优化模型时，若不考虑水、气锥进问题，则以直 井产能为目标函数，以孔眼位置为约束变量，使产能最大；若考虑水、气锥进问题，则以直 井产能为目标函数，以孔眼位置以及剖面入流均匀为约束条件，在抑制水、气锥进的同时使 产能达到最大；

其中，所述直井产能即为射孔井段中所有进入孔眼的流入量总和：

$Q=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{Q}_i---\left(27\right)$

沿着井筒方向，设坐标满足限制条件：

0≤x₁≤…≤x_i≤…≤x_N≤L   (28)

用J-1个节点X_j(j＝1,2,…,J-1)将射孔井段分成J段，每段包含I个射孔单元(N＝I×J)，即每 个分段范围间隔内的孔密是常数，但每分段的孔密不一定相同；直井段N个分段区间为

[X_j，X_j+1]，j＝0，1，…，J-1，X₀＝0，X_J＝L   (29)

每个分段上I个孔眼在该分段上的坐标可表示为：

x_I×j+i＝X_j+(X_j+1-X_j)i/I，i＝0，1，…，I，j＝0，1，…，J-1   (30)

在考虑水、气锥进问题时，在每个射孔分段上必须要满足入流量相等，即

$\underset{i=I\times j+1}{\overset{I\times (j+1)}{\Sigma }}{Q}_j=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{Q}_j(X_{j+1}-X_j)/L,j=0,1,...,J-1---\left(31\right).$

进一步的，步骤C中，所述构建射孔参数优化模型包括以下步骤：

C1.无限导流井的优化模型构建：

C11.若不考虑水、气锥进的影响，产能优化的目标函数为

$\min f\left(X\right)=-\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left[A^{-1}\left(X\right)P\right]}_i---\left(32\right)$

即以各射孔孔眼的入流量的总和作为射孔直井的总的产能，目标函数中包含有约束变量，即 孔眼的位置参数；由于无限导流井不考虑井筒压降，因此各孔眼处的压力即为跟端压力p_d； 同时，对于射孔直井段，沿着井深的方向，各射孔井段节点的位置坐标有大小关系，即 X_j+1≥X_j，以上条件即构成该优化约束条件，可得无限导流井在不考虑水、气锥进影响时的 优化模型：

$\min f\left(X\right)=-\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left[A^{-1}\left(X\right)P\right]}_i$

$s.t.\left(\begin{array}{cc}{p}_i-p_d=0& (i=1,2,...,N)\\ X_1\ge 0& \\ X_{j+1}-X_j\ge 0& (j=1,2,...,J-1)\\ L-X_J\ge 0& \end{array}\right)---\left(33\right)$

C22.若考虑水、气锥进的影响,需要使每个射孔单元上的入流量尽可能相等，即在模型 (32)基础上，附加约束条件(31)，可得无限导流井在考虑水、气锥进的影响时的优化模型：

$\left(\begin{array}{cc}\min & f\left(X\right)=-\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left[A^{-1}\left(X\right)P\right]}_i\end{array}\right)$

$s.t.\left(\begin{array}{cc}{p}_i-p_d=0& (i=1,2,...,N)\\ \underset{i=Ik+1}{\overset{I(k+1)}{\Sigma }}{Q}_i=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{Q}_i(X_{k+1}-X_k)/L& (k=0,1,...,J-1)\\ X_1\ge 0& \\ X_{j+1}-X_j\ge 0& (j=1,2,...,J-1)\\ L-X_J\ge 0& \end{array}\right)---\left(34\right)$

C2.有限导流井的优化模型构建：

C21.有限导流井的井筒压力随井深而变化，即p_i＝p_wi，在不考虑水、气锥进问题时，其 优化模型为：

$\left(\begin{array}{cc}\min & f\left(X\right)=-\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left[A^{-1}\left(X\right)P\right]}_i\end{array}\right)$

$s.t.\left(\begin{array}{cc}{p}_i-p_{wi}=0& (i=1,2,...,N)\\ X_1\ge 0& \\ X_{j+1}-X_j\ge 0& (j=1,2,...,J-1)\\ L-X_J\ge 0& \end{array}\right)---\left(35\right)$

C22.在考虑水、气锥进问题时，其优化模型为：

$\left(\begin{array}{cc}\min & f\left(X\right)=-\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left[A^{-1}\left(X\right)P\right]}_i\end{array}\right)$

$s.t.\left(\begin{array}{cc}{p}_i-p_{wi}=0& (i=1,2,...,N)\\ \underset{i=Ik+1}{\overset{I(k+1)}{\Sigma }}{Q}_i=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{Q}_i(X_{k+1}-X_k)/L& (k=0,1,...,J-1)\\ X_1\ge 0& \\ X_{j+1}-X_j\ge 0& (j=1,2,...,J-1)\\ L-X_J\ge 0& \end{array}\right)---\left(36\right)$

进一步的，步骤D中，对射孔参数优化模型进行求解，具体包括：

D1.给定初始值p_d和允许误差ε＝10^-3；

D2.计算各点处的倾斜角

${\alpha }_i={\alpha }_{i-1}+\frac{{\alpha }_k-{\alpha }_{k-1}}{{\mathrm{\Delta s}}_k}{\mathrm{\Delta s}}_i$

式中i表示射孔分段点的编号，s_k表示倾斜角α_k和α_k-1之间的测量长度、Δs_i表示倾斜角 的计算步长；

D3.根据局部流量计算雷诺系数

${\mathrm{Re}}_i=\frac{{\mathrm{\rho Dq}}_i}{2\mu A};$

D4.计算湍流摩擦因子：

$f_i=0.25{\left[log(\frac{ϵ}{3.7D}+\frac{5.74}{{\mathrm{Re}}_i^{0.9}})\right]}^{-2};$

D5.采用迭代公式(26a)和(26b)计算射孔井井筒压力和射孔注入流流量；

D6.对构建的优化模型进行求解，获得直井射孔最优分布。

进一步的，步骤D6中，所述对构建的优化模型进行求解的方法是：采用序列二次规划 进行计算，分别用g_j(X)≤0，h_i(X)＝0，(i，j＝1，2…,J）表示不等式约束条件和等式约束条件； 构造拉格朗日函数：

$L(X,\lambda )=f\left(X\right)+\underset{i=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\lambda }_i{h}_i\left(X\right)+\underset{j=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\lambda }_{jg}\left(X\right)$

式中λ_i，λ_j为拉格朗日乘子；对于非线性的优化模型在搜索方向d上等价于一系列二次规划子问 题，在第k次迭代中，迭代点X_k满足的子问题为：

$\left(\begin{array}{cc}min& \frac{1}{2}{d}^T{H}_{k}d+{[▿f\left(X_k\right)]}^{T}d\end{array}\right)$

$s.t.\left(\begin{array}{cc}{[▿h_i\left(X_k\right)]}^{T}d+h_i\left(X_k\right)=0& (i=1,2,...,J)\\ {[▿g_j\left(X^k\right)]}^{T}d+g_i\left(X^k\right)\le 0& (j=1,2,...,J)\end{array}\right)$

迭代格式为

X_k+1＝X_k+γ_kd_k

其中步长因子γ_k由二次插值法进行线性搜索得到，矩阵B^k采用改进后的BFGS修正公式计算

$B_{k+1}=B_k-\frac{B_k{s}_k{s}_k^T{B}_k}{s_k^T{B}_k{s}_k}+\frac{z_k{z}_k^T}{z_k^T{y}_k}$

式中迭代点

s^k＝X^k+1-X^k

和

z_k＝θy_k+(1-θ)B_ks_k，θ∈[0，1]

其中

$\theta =\left(\begin{array}{cc}1,& y_k^T{s}_k\ge 0.2s_k^T{B}_k{s}_k,\\ \frac{0.8s_k^T{B}_k{s}_k}{s_k^T{B}_k{s}_k-y_k^T{s}_k},& y_k^T{s}_k<0.2s_k^T{B}_k{s}_k.\end{array}\right)$

和

$\left(\begin{array}{c}{y}^k=▿f\left(X^{k+1}\right)\underset{i=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\lambda }_i▿h_i\left(X^{k+1}\right)+\underset{j=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\lambda }_j▿g_j\left(X^{k+1}\right)\\ -[▿f\left(X^k\right)+\underset{i=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\lambda }_i▿h_i\left(X^k\right)+\underset{j=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\lambda }_j▿g_j\left(X^k\right)];\end{array}\right)$

采用该算法对优化模型(33)进行求解，获得在不考虑水、气锥进影响时的无限导流井的 最优射孔孔眼分布：

采用该算法对优化模型(34)进行求解，获得在考虑水、气锥进影响时的无限导流井的最 优射孔孔眼分布：

采用该算法对优化模型(35)进行求解，获得在不考虑水、气锥进影响时的有限导流井的 最优射孔孔眼分布：

采用该算法对优化模型(36)进行求解，获得在考虑水、气锥进影响时的有限导流井的最 优射孔孔眼分布。

本发明的有益效果是：对射孔参数作精确预测，有利于优化直井设计，以提高油气井产能比。

附图说明

图1是本发明高温高压油气直井单相流射孔完井参数优化方法流程图；

图2是射孔井筒剖分结构图；

图3是射孔单元截面结构图；

图4(a)、4(b)分别为射孔井压降示意图、射孔单元压降示意图；

图5(a)、5(b)分别为无限导流井的最佳布孔及产能对比图；

图6(a)、6(b)分别为限导流井的最佳布孔及产能对比图；

图7(a)、7(b)分别为优化模型I的最佳布孔及产能对比图；

图8(a)、8(b)分别为优化模型II的最佳布孔及产能对比图。

具体实施方式

本发明旨在提出一种高温高压油气直井单相流射孔完井参数优化方法，对射孔参数作精确预 测，以提高油气井产能比。如图1所示，高温高压油气直井单相流射孔完井参数优化方法，包括 以下步骤：

A、构建井筒流动压降模型；

B、构建油气藏渗流和井筒流动耦合模型；

C、构建射孔参数优化模型；

D、对射孔参数优化模型进行求解。

下面针对每一个步骤进行具体描述：

构建井筒流动压降模型：

设直井井筒中的均匀射孔井段剖分成N个等长的射孔单元，每个单元中只包含一个射孔 孔眼，其剖面结构如图3所示。图3中，Δx为井筒单元的长度，p₁，U₁，A₁分别为单元上端压 力、速度和横截面积，p₂，U₂，A₂分别为单元下端压力、速度和横截面积在轴向上控制体元中 应用动量守恒定律，即控制体元CV所受的外力的总和等于通过控制体元表面CS的流体动量 与控制体元内的流体动量增加率之和，因而动量方程形式为：

$\Sigma \overrightarrow{F}=\frac{\partial }{\partial t}\int \int {\int }_{CV}\rho \overrightarrow{u}dV+\int {\int }_{CS}\rho \overrightarrow{u}(\overrightarrow{u}·\overrightarrow{n})dA---\left(7\right)$

式中ρ为流体密度，A为井筒任何截面的面积。

对于稳态井筒流

$\frac{\partial }{\partial t}\int \int {\int }_{CV}\rho \overrightarrow{u}dV=0---\left(8\right)$

一般来说，轴向流速沿着井筒截面都是不均匀的，这里为讨论方便，将沿着截面的二维流动 问题视为一维流动问题。取截面的平均流速为U，利用质量守恒方程，式(7)可展开为

$\Sigma \overrightarrow{F}=(p_{w1}A-p_{w2}A)-{\tau }_w\left(\pi D\Delta x\right)-\rho gA\Delta xcos\theta ---\left(9\right)$

上式等号左边项是沿井筒轴线向下方向作用于控制体表面的力之和

$\Sigma \overrightarrow{F}={\stackrel{·}{m}}_2{U}_2-{\stackrel{·}{m}}_1{U}_1---\left(10\right)$

式中质量流量

$\stackrel{·}{m}=\rho AU---\left(11\right)$

式(9)等式右边第一项表示作用在控制体元上的净压力；第二项表示作用于井管壁面的剪 应力，该力会导致摩擦压降

τ_ω(πDΔx)＝Δp_wallA(12)

右边第三项表示重力作用，重力压降为

Δp_g＝ρgΔx cosθ(13)

结合式(9)-(13)可得

$p_{w2}-p_{w1}=\rho (U_2^2-U_1^2)+{\mathrm{\Delta p}}_{wall}+{\mathrm{\Delta p}}_g---\left(14\right)$

等式右边第一项表示净动量(即流体加速压降)，是由于更多的流体通过射孔进入管道 导致轴向流速改变而引起的。该压降是由于加速效应Δp_acc产生的，可描述为

${\mathrm{\Delta p}}_{acc}=\rho (U_2^2-U_1^2)---\left(15\right)$

射孔井筒内流体的总压降包括摩擦压降Δp_wall，加速压降Δp_acc和重力压降Δp_g

Δp_w＝Δp_wall+Δp_acc+Δp_g   (16)

射孔单元中由壁面摩擦引起的压降依赖于射孔平均流速U₂，可用Darcy-Weisbach方程进 行计算：

${\mathrm{\Delta p}}_{wall}=\frac{f\rho }{2D}{\mathrm{\Delta xU}}_2^2---\left(17\right)$

为了便于计算井筒压力，沿着射孔井深的方向，在射孔单元i处的压力表示为p_wi，则根 据式(16)，可以得到射孔孔眼对于的井筒轴位置的压力计算关系式

$\left(\begin{array}{c}{p}_{w1}=p_d\\ p_{wi+1}=p_{wi}+{\mathrm{\Delta p}}_{wall,i}+{\mathrm{\Delta p}}_{acc,i}+{\mathrm{\Delta p}}_{g,i}\end{array}\right)---\left(18\right)$

式中p_d为位置x₁处的下游跟端压力，Δp_wall，i，Δp_acc，i，Δp_g，i分别表示壁面摩擦压降、加速压降 和重力压降在射孔i对应井筒轴向位置处的压降。

为了计算式(18)，首先给出该式的离散形式。考虑射孔单元i，式(17)的离散格式为

${\mathrm{\Delta p}}_{wall,i}=\frac{{\mathrm{\rho f}}_i}{2D}\frac{q_i^2}{A^2}|x_{i+1}-x_i|---\left(19\right)$

式中的平均流速U_i可用表达式进行计算。该处的累计流量为

$q_i=\underset{j=1}{\overset{i-1}{\Sigma }}{Q}_j---\left(20\right)$

加速压降是由更多的流体通过射孔进入管道导致轴向流速改变而引起的，依赖于流体密 度和平均流速。

${\mathrm{\Delta p}}_{acc,i}=\rho (U_{i+1}^2-U_i^2)---\left(21\right)$

重力压降是有流体的重力产生的，可表示为

Δp_g，i＝ρg cosα_i|x_i+1-x_i|   (22)

式中α_i表示射孔单元i的倾斜角。

将式(19)、(21)和(22)带入式(18)，既可得到井筒流动的压降模型。

上式为井筒内流体压力计算的递推关系式，给定井筒流量既可计算出井筒的压力。

油气藏渗流和井筒流动耦合模型构建：将直井的油气藏渗流与直井井筒流体的流动视为 一个相互作用的整体，同时综合油藏和井筒间的压力和流量关系，压力与流量在边界处的连 续性，建立油气藏和井筒的耦合模型。

利用前面给出的向量表示形式，由式(23)，井筒内流体的压降关系式可表示为如下的向 量形式：

${\overrightarrow{P}}_w=F\left[\overrightarrow{Q}\right]---\left(24\right)$

注意到直井井筒和储层处在同一系统中，因此，在相同位置处，井筒内流体的压降等于油藏 流体的压降，该处的井筒内流体流量等于下游射孔流入的累计流量。从而，油藏和井筒满足 耦合条件，由式(6)和式(24)，得到耦合模型

$\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{Q}=A^{-1}\overrightarrow{P}\\ \overrightarrow{P}=F\left[\overrightarrow{Q}\right]\end{array}\right)---\left(25\right)$

对于有N个射孔的井筒，耦合模型为包含有2N个未知函数的2N个方程构成的适定数 学问题，一般情况下，该耦合模型是非线性的，因此，需用数值方法对模型求解。为了求解 该耦合问题，下面采用如下迭代格式

${\overrightarrow{Q}}^{n+1}=A^{-1}{\overrightarrow{P}}^n---\left(26a\right)$

${\overrightarrow{P}}^{n+1}=F\left[{\overrightarrow{Q}}^{n+1}\right]---\left(26b\right)$

给定初始值p_d，即地层的初始压力。根据耦合模型的迭代算法，由迭代格式(26a)，带入压 力数据，既可算出各孔眼处的流量来。再将格式(26a)算得的孔眼流量，带入格式(26b),可算出 井筒的压力分布。重复上述过程，一直到求解结果满足提前设定的迭代结束条件。

射孔参数优化模型构建：优化直井射孔孔眼分布涉及很多因素，如穿孔入流流量、孔深、 孔密、孔径、井筒深度、射孔位置、相位角等等。如果考虑所有相关因素进行优化分析，就 很难给出射孔直井参数的优化策略。考虑到上述因素的影响，可以提出许多的优化策略。比 较有效、直接的方案就是给定射孔井段的深度和总的射孔数，沿着直井段进行变密度射孔， 通过改变每段射孔的位置，即改变每段射孔段的孔密以达到提高直井产能以及入流剖面流入 量均匀的目的。

基于前面建立的射孔直井的油藏渗流和井筒流体流动耦合模型，沿井深方向，孔眼的位 置、压降和孔眼入流流量直接存在相互关系，从而，射孔孔眼的位置沿井深的压降和孔眼入 流有影响。因此，以下主要以总的产能为目标函数，而上述因素作为约束变量，从而，提出 以下两个基本的优化模型：(1)以直井产能为目标函数，以孔眼位置为约束变量，使产能最 大；(2)以直井产能为目标函数，以孔眼位置以及剖面入流均匀为约束条件，优化参数，抑 制水、气锥进的同时使产能达到最大。

优化模型I：生成井总产能最大

$Q=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{Q}_i---\left(27\right)$

给定下游跟端压力p_d(对有限导流井，跟端压力p_d需指定)，其中总的产能即为射孔井段中所有 进入孔眼的。

若考虑水、气锥进问题，则要控制个孔眼的入流量，改善入流剖面，从而抑制水、气锥 进，延缓水、气突破时间。因此，沿着井深方向，要求孔眼入流剖面尽可能的均匀，从而， 得到如下优化模型。

优化模型II：最大生成井总产量(27)，给定下游跟端压力p_d并使单位射孔入流尽可能均匀。

上述优化问题均是以射孔位置作为约束变量，沿着井筒方向，设坐标满足限制条件：

0≤x₁≤…≤x_i≤…≤x_N≤L   (28)

射孔孔眼数N通常比较大，在实际的生成过程中，为了减少计算量，一般采用分段数值计算 的方法以到达减少优化变量数目。用J-1个节点X_j(j＝1,2,…,J-1)将射孔井段分成J段，每段 包含I个射孔单元(N＝I×J)，即每个分段范围间隔内的孔密是常数，但每分段的孔密不一 定相同。直井段N个分段区间为

[X_j，X_j+1]，j＝0，1，…，J-1，X₀＝0，X_J＝L   (29)

每个分段上I个孔眼在该分段上的坐标可表示为

x_I×j+i＝X_j+(X_j+1-X_j)i/I，i＝0，1，…，I，j＝0，1，…，J-1   (30)

如果每个分段上的孔眼数I＝1，则有X_j＝x_j，此时是对所有射孔进行优化，决策变量有N个。 如果每个分段上的孔眼数I＞1，则射孔分段计算就能减少优化工作量，决策变量有N个减少 为J-1个。

若不考虑水、气锥问题，优化模型I对射孔分布径向优化，求解最佳射孔分布，以得到 射孔直井的最大产能。由于直井下游跟端的最小压降比较大，水、气锥大多可能发生在直井 跟端，若考虑水、气锥问题，优化模型I对射孔分布进行优化，求解最优射孔分布，以得到 最小的生产压差，缓解下游跟端的水、气锥进。

优化模型II主要考虑减缓水、气锥进，通过优化问题，获得均匀的入流剖面，形成沿直 井均匀的油水或油气两相界面，以减缓水、气锥的突发时间。因此，在每个射孔分段上必须 要满足入流量相等，即

$\underset{i=I\times j+1}{\overset{I\times (j+1)}{\Sigma }}{Q}_j=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{Q}_j(X_{j+1}-X_j)/L,j=0,1,...,J-1---\left(31\right)$

由于Q_j也是未知的，式(31)为包含J-1个方程和J-1未知量的方程组。

(1)无限导流井的优化模型构建：

如果直井压降相对于下游跟端压力忽略不计，则井筒压力视为常数，即p_i＝p_d，称直井 为无限导流井。有限长射孔井的射孔分布可以用式(6)进行估计。

对于优化模型I，不考虑水、气锥进的影响，产能优化的目标函数为

$\min f\left(X\right)=-\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left[A^{-1}\left(X\right)P\right]}_i---\left(32\right)$

即以各射孔孔眼的入流量的总和作为射孔直井的总的产能，目标函数中包含有约束变量，即 孔眼的位置参数。由于无限导流井不考虑井筒压降，因此各孔眼处的压力即为跟端压力p_d。 同时，对于射孔直井段，沿着井深的方向，各射孔井段节点的位置坐标有大小关系，即 X_j+1≥X_j，以上条件即构成该优化约束条件，从而，优化模型可以描述为

$\min f\left(X\right)=-\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left[A^{-1}\left(X\right)P\right]}_i$

$s.t.\left(\begin{array}{cc}{p}_i-p_d=0& (i=1,2,...,N)\\ X_1\ge 0& \\ X_{j+1}-X_j\ge 0& (j=1,2,...,J-1)\\ L-X_J\ge 0& \end{array}\right)---\left(33\right)$

对于优化问题II，为了抑制水、气锥进，减缓水、气突破时间，就要使每个射孔单元上的入 流量尽可能相等，即在模型(10)基础上，附加约束条件(31)，得到相应的产能优化模型为

$\left(\begin{array}{cc}\min & f\left(X\right)=-\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left[A^{-1}\left(X\right)P\right]}_i\end{array}\right)$

$s.t.\left(\begin{array}{cc}{p}_i-p_d=0& (i=1,2,...,N)\\ \underset{i=Ik+1}{\overset{I(k+1)}{\Sigma }}{Q}_i=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{Q}_i(X_{k+1}-X_k)/L& (k=0,1,...,J-1)\\ X_1\ge 0& \\ X_{j+1}-X_j\ge 0& (j=1,2,...,J-1)\\ L-X_J\ge 0& \end{array}\right)---\left(34\right)$

以上建立的产能优化模型(33)-(34)均为非线性优化问题，射孔井段的位置为约束变量，每个 模型中包含有J-1个约束变量，优化问题可以用数值计算的方法进行。通过求解优化问题， 既可得到最优产能时射孔段的孔眼位置分布情况。无限导流井不涉及压降的影响，因此，给 定井筒跟端压力，既可通过优化模型得到最佳孔眼位置以及射孔入流流量，可用于分析流量 对最佳孔密的影响，以提高直井产能。

(2)有限导流井的优化模型构建：

若直井井筒的压降不能忽略，则要在每个射孔单元计算井筒压降，此时，沿着井深的方 向，井筒的压力不再保持不变，而是随井深而变化，即pi＝p_wi，此时，直井为有限导流井。

对于优化模型I，不考虑水、气锥进问题，附加上对井筒压力的约束条件，得到产能优化 模型为

$\left(\begin{array}{cc}\min & f\left(X\right)=-\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left[A^{-1}\left(X\right)P\right]}_i\end{array}\right)$

$s.t.\left(\begin{array}{cc}{p}_i-p_{wi}=0& (i=1,2,...,N)\\ X_1\ge 0& \\ X_{j+1}-X_j\ge 0& (j=1,2,...,J-1)\\ L-X_J\ge 0& \end{array}\right)---\left(35\right)$

对于优化模型II，考虑到水、气锥进的影响，需要使射孔单元满足均匀入流剖面，附加约束 条件(31)，因此得到有限导流井的均匀入流剖面的产能优化模型为

$\left(\begin{array}{cc}\min & f\left(X\right)=-\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{\left[A^{-1}\left(X\right)P\right]}_i\end{array}\right)$

$s.t.\left(\begin{array}{cc}{p}_i-p_{wi}=0& (i=1,2,...,N)\\ \underset{i=Ik+1}{\overset{I(k+1)}{\Sigma }}{Q}_i=\underset{i=1}{\overset{N}{\Sigma }}{Q}_i(X_{k+1}-X_k)/L& (k=0,1,...,J-1)\\ X_1\ge 0& \\ X_{j+1}-X_j\ge 0& (j=1,2,...,J-1)\\ L-X_J\ge 0& \end{array}\right)---\left(36\right)$

以上建立的产能优化模型(35)-(36)均为非线性优化问题，射孔井段的位置为约束变量，每个 模型中包含有J-1个约束变量，与产能优化模型(33)-(34)一样，需要用数值计算的方法进行求 解。有限导流井考虑了井筒中压降因素，结合前面建立的油藏渗流和井筒流动耦合模型，得 到最佳孔眼位置时的压力以及射孔入流流量，可用于分析压力以及流量对最佳孔密的影响， 以及提高直井产能、改善入流剖面，稳定试井。

求解射孔参数优化模型：为了简化计算，将射孔直井从底部顶部分成若干段，每段的长 度取决于射孔流体流量、井壁厚、孔径、管道内外流体密度的和管道的几何特征。该模型首 先从一个指定的位置开始计算：管道的底部。基于上述讨论，模型计算的具体算法步骤如下：

步骤1：给定初始值p_d和允许误差ε＝10^-3。

步骤2：计算各点处的倾斜角

${\alpha }_i={\alpha }_{i-1}+\frac{{\alpha }_k-{\alpha }_{k-1}}{{\mathrm{\Delta s}}_k}{\mathrm{\Delta s}}_i$

式中i表示射孔分段点的编号，s_k表示倾斜角α_k和α_k-1之间的测量长度、Δs_i表示倾斜角的计 算步长。

步骤3：根据局部流量计算雷诺系数

${\mathrm{Re}}_i=\frac{{\mathrm{\rho Dq}}_i}{2\mu A}$

步骤4：湍流摩擦因子采用Miller方法

$f_i=0.25{\left[log(\frac{ϵ}{3.7D}+\frac{5.74}{{\mathrm{Re}}_i^{0.9}})\right]}^{-2}$

步骤5：依次应用迭代公式(26a)和(26b)计算射孔井井筒压力和射孔注入流流量。对于无 限导流井，井筒内压力为常量，因此，可直接利用(26a)计算射孔井井筒压力。

步骤6：计算优化问题(33)得到没有水、气锥进的无限导流井最优射孔孔眼分布。由于 (33)是一个非线性规划问题，采用序列二次规划(SQP)进行计算。为了简化计算，分别用 g_j(X)≤0，h_i(X)＝0，(i，j＝1，2…，J）表示不等式约束条件和等式约束条件。构造拉格朗日函 数

$L(X,\lambda )=f\left(X\right)+\underset{i=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\lambda }_i{h}_i\left(X\right)+\underset{j=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\lambda }_{jg}\left(X\right)$

式中λ_i，λ_j为拉格朗日乘子。由于非线性问题(33)在搜索方向d上等价于一系列二次规划子问 题，在第k次迭代中，迭代点X_k满足的子问题可描述为

$\left(\begin{array}{cc}min& \frac{1}{2}{d}^T{H}_{k}d+{[▿f\left(X_k\right)]}^{T}d\end{array}\right)$

$s.t.\left(\begin{array}{cc}{[▿h_i\left(X_k\right)]}^{T}d+h_i\left(X_k\right)=0& (i=1,2,...,J)\\ {[▿g_j\left(X^k\right)]}^{T}d+g_i\left(X^k\right)\le 0& (j=1,2,...,J)\end{array}\right)$

迭代格式为

X_k+1＝X_k+γ_kd_k

其中步长因子γ_k由二次插值法进行线性搜索得到，矩阵B^k采用改进后的BFGS修正公式计算

$B_{k+1}=B_k-\frac{B_k{s}_k{s}_k^T{B}_k}{s_k^T{B}_k{s}_k}+\frac{z_k{z}_k^T}{z_k^T{y}_k}$

式中迭代点

s^k＝X^k+1-X^k

和

z_k＝θy_k+(1-θ)B_ks_k，θ∈[0，1]

其中θ可由下式得到

$\theta =\left(\begin{array}{cc}1,& y_k^T{s}_k\ge 0.2s_k^T{B}_k{s}_k,\\ \frac{0.8s_k^T{B}_k{s}_k}{s_k^T{B}_k{s}_k-y_k^T{s}_k},& y_k^T{s}_k<0.2s_k^T{B}_k{s}_k.\end{array}\right)$

和

$\left(\begin{array}{c}{y}^k=▿f\left(X^{k+1}\right)\underset{i=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\lambda }_i▿h_i\left(X^{k+1}\right)+\underset{j=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\lambda }_j▿g_j\left(X^{k+1}\right)\\ -[▿f\left(X^k\right)+\underset{i=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\lambda }_i▿h_i\left(X^k\right)+\underset{j=1}{\overset{J}{\Sigma }}{\lambda }_j▿g_j\left(X^k\right)]\end{array}\right)$

根据上述算法即可算得直井射孔最优分布。

步骤7：按步骤1-步骤6计算优化模型(34)得到没有水、气锥进的有限导流井最优射孔 孔眼分布。

步骤8：按步骤1-步骤6计算优化模型(35)得到有水、气锥进的无限导流井最优射孔孔 眼分布。

步骤9：按步骤1-步骤6计算优化模型(33)得到有水、气锥进的有限导流井最优射孔孔 眼分布。

实施例：

以中国西部的YB-X高温高压气井为例，利用上述建立的产能优化模型，分析射孔井的 最优射孔分布以及参数优化。如上述模型分析以及求解过程所述，模型模拟过程是从射孔井 段的底端开始，按井筒划分成的连续井段依次地进行计算直到射孔井段的顶部。将射孔井段 从底部开始剖分成若干射孔单元。为了简化计算，将射孔段划分成许多射孔分段，每个射孔 分段包含的射孔单元不一定相同，再按照上述的计算步骤进行计算。

模型参数及测量数据：实例模拟中关于油管数据、套管数据以及井眼测深、井斜角、方位角 和井眼垂深等数据见表1-表3。除此之外，还需要补充部分数据，其中包括：直井的射孔范 围为6600-7100m，下游底部的压力为39.8949MPa，射孔井相关参数见表4。

表1

表2

表3

表4

数值计算分析：对射孔井的模拟得到了一系列的数值结果，包括压降、孔眼流量以及射 孔段的最优射孔分布，为估计射孔直井总压降的变化趋势，首先考虑500m的无限导流射孔 井段上均匀分布的500个孔眼，应用优化模型进行模拟，压降变化趋势如图4(a)、4(b) 所示，结果表明均匀射孔井的总压降包含81.28％的重力压降，15.25％的壁面摩擦压降和3.47％ 的流体加速压降，说明了重力压降是直井总压降的重要组成部分。利用产能耦合模型，计算 出无限导流井的产能为33617m³/d,有限导流井的产能为31427m³/d。

考虑一500m包含500个孔眼的无限导流射孔井段，流量最优方案和均匀入流射孔方案 的最佳射孔密度及产能结果见图5(a)、5(b)所示，图中与均匀射孔井进行了比较。不同 情况下的优化射孔的分布见表5所示。最佳射孔方案表明，射孔井段的底部和顶部的孔眼分 布较密集以达到最优产能，而均匀入流的孔眼分布恰恰相反。流量最优方案的产能是 34460m³/d较均匀射孔的产能增加了2.51％；均匀入流射孔方案的产能34231m³/d较均匀射孔 的产能增加1.83％，表明均匀入流的约束对产能的影响不大；

图6(a)、6(b)显示了500m有限导流直井的均匀入流产能优化结果，优化射孔分布见表5。 由孔眼看出，底部的孔密几乎是顶部孔密的两倍。最优方案表明，射孔在大的入流井段分布 的较为密集，相比于均匀射孔，优化射孔产能32258m³/d增产2.64％。若考虑到水汽锥进影 响，均匀入流的产能为32056m³/d,比均匀射孔产能增加2％。

表5

优化模型I的计算结果如图7(a)和7(b)所示。由于射孔井段的底部和顶部有较大的供给范 围，从储油层经该处的入流量也较大。射孔段的中部位置有较小的供应范围，因此从储油层 经该处的入流量较低。产量变化变化较小，并倾向于在压力高的位置分配较多的射孔。因此， 为了达到优化模型I的最佳产能，孔眼在射孔段底部分布更密集。由于在井筒中无压降，无 限导流井的流量以及射孔密度对称分布。受压力降的影响，有限导流井的产能从射孔段底部 到顶部呈递减趋势，同时，射孔密度也沿着射孔段递减。大约在距离底部4H/5的位置，射 孔密度到达到其最小值，并在顶部逐渐增加。

图7(a)和图7(b)表明，为达到最大的产量，在最大的压降处需要高孔密的射孔分布。如 果要克服水气锥井问题，射孔入流应更均匀。在均匀入流条件下，射孔密度在高入流的位置 处应该降低，类似的，射孔密度在入流的位置处应该增加。

对于优化模型II的求解，其结果如图8(a)、8(b)所示；在均匀入流条件下，无限导 流井在中部位置的孔密较大，由于压降影响，有限导流井比无限导流井有更高的底部压降和 更大的入流量。