改善MIMO雷达最差参数估计性能的稳健波形设计方法

摘要

改善MIMO雷达最差参数估计性能的稳健波形设计方法属于信号处理领域，该方法是：首先建立杂波场景下MIMO雷达接收信号模型，基于此模型推导待估计参数估计精度的下界-克拉美罗界，对波达方向角存在估计误差的情况建模，而后将初始参数估计不确定性凸集显式包含进波形优化问题，建立稳健波形优化模型；采用基于对角加载技术的迭代方法求解此优化问题；迭代每一步都可松弛为半定规划问题，从而可以获得高效求解，之后通过所提出的迭代算法来最优化波形协方差矩阵，进而提高杂波环境下最坏情况下的参数估计性能。相比较于非相关波形和非稳健方法，本发明有较好的稳健性，因而更贴近工程应用。

说明书

技术领域

本发明属于信号处理领域，更进一步涉及波形设计技术领域的改善杂波环境下MIMO雷达最差参数估计性能的稳健波形设计方法。

背景技术

近些年来，MIMO雷达波形优化受到越来越多的学者和工程师的重视。根据波形优化问题中使用的目标模型，当前的波形优化方法可以分为以下两类：(1)基于点目标(point target)的波形优化；(2)基于扩展目标(extended target)的波形优化。基于点目标的波形设计，优化的对象为波形相关阵(WCM，waveform covariance matrix)或者雷达模糊函数(radar ambiguityfunction)。基于WCM的波形优化方法仅对发射波形的空域而不是发射波形的整体特点进行设计。具体来讲，D.R.Fuhrmann和G.S.Antonio等人对WCM进行设计以实现特定的能量空域分配。而S.Peter等人不仅关注了能量空域分配，而且也考虑了不同目标之间的空域互相关，即最小化不同方位之间的空域互相关以改善系统的检测估计性能。

在接收信号不被依赖于发射波形的杂波污染的假设下，J.Li等人提出了几类基于CRB的波形优化准则以优化WCM从而提高点目标的参数估计精度。接收信号被杂波污染情况下，H.Y Wang等人考虑了目标先验信息确知条件下基于CRB的MIMO雷达波形与有偏估计量的联合优化问题。需要注意的是，这些方法中波形优化问题的求解都需要参数确知。然而，实际工程中，这些参数须通过估计得到，因而不可避免的存在估计误差。由此，基于估计参数优化波形得到的参数估计性能对估计误差和不确定性是比较敏感的。

发明内容

本发明目的在于克服杂波条件下传统波形优化方法对初始参数估计误差敏感的问题，提出了一种改善MIMO雷达最差参数估计性能的稳健波形设计方法，该方法包含参数不确定凸集，基于DL技术的迭代方法求解优化问题，以减轻参数估计误差或不确定带来的系统灵敏度问题，从而提高最坏情况下的MIMO雷达波形优化参数估计性能。

本发明方法的基本思路是：首先构建杂波条件下MIMO雷达接收信号模型，基于此模型推导待估计参数的CRB，而后建立显式包含参数不确定性的稳健波形优化模型，为求解此非线性优化问题，提出一种基于DL技术的迭代算法，迭代每一步都可以松弛为半定规划问题从而获得高效求解。基于迭代算法得到一最优中间解后，最优波形协方差矩阵可在最小二乘意义下重构。

本发明改善MIMO雷达最差参数估计性能的稳健波形设计方法，其包括如下步骤：

步骤一、构建MIMO雷达接收信号模型

假设MIMO雷达接收信号为：

$>Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_{k}a\left({\theta }_k\right)v^T\left({\theta }_k\right)S+{\int }_{-\pi }^{\pi }\rho \left(\theta \right)a_c\left(\theta \right)v_c^T\left(\theta \right)\mathrm{Sd\theta }+W$>

其中，为正比于目标RCS(雷达横截面)的复幅度，为目标位置参数，K为目标数目，ρ(θ)为处于θ位置处杂波块的反射系数，W表示干扰噪声，每列是相互独立且同分布圆对称复高斯随机向量，具有零均值，其协方差B未知，为发射信号矩阵，a(θ_k)和v(θ_k)分别表示接收、发射导向矢量，具体表示为：

$>a\left({\theta }_k\right)={[e^{j2\pi f_0{\tau }_1\left({\theta }_k\right)},e^{j2\pi f_0{\tau }_2\left({\theta }_k\right)},...,e^{j2\pi f_0{\tau }_{M_r}\left({\theta }_k\right)}]}^T$>

$>v\left({\theta }_k\right)={[e^{j2\pi f_0{\tilde{\tau }}_1\left({\theta }_k\right)},e^{j2\pi f_0{\tilde{\tau }}_2\left({\theta }_k\right)},...,e^{j2\pi f_0{\tilde{\tau }}_{M_t}\left({\theta }_k\right)}]}^T$>

式中，f₀为载波频率，τ_m(θ_k),m＝1,2,…M_r和为传输时间，a_c(θ)和v_c(θ)分别表示θ_k处目标的接收和发射导向矢量；

设距离环被分为N_C(N_C＞＞NML)个分辨单元，MIMO雷达接收信号模型改写为

$>Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_{k}a\left({\theta }_k\right)v^T\left({\theta }_k\right)S+H_{c}S+W$>

其中，表示杂波传递函数，ρ(θ_i)为θ_i处杂波块的反射系数，N_C(N_C＞＞M_tM_r)为杂波空间采样数量，a_c(θ_i)和v_c(θ_i)分别表示θ_i处杂波块的接收、发射导向矢量；vec(H_c)为同分布的复高斯随机向量，其均值为零，协方差为$>V=[v_1,v_2,...,v_{N_C}],v_i=v_c\left({\theta }_i\right)\otimes a_c\left({\theta }_i\right),i=\mathrm{1,2},...,N_C,\Xi =\mathrm{diag}\{{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,...,{\sigma }_{N_C}^2\},$>$>{\sigma }_i^2=E\left[\rho \left({\theta }_i\right){\rho }^{*}\left({\theta }_i\right)\right];$>

步骤二、构建基于CRB的稳健波形优化模型

考虑未知参数θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_K]^T、条件下的CRB，经过推导，此CRB可表述如下：

$>C=\frac{1}{2}{\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{Re}\left(F_{11}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{12}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{12}\right)\\ {\mathrm{Re}}^T\left(F_{12}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{22}\right)\\ -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{12}\right)& -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{22}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)\end{array}\right)}^{-1}$>

其中，

$>{\left[F_{11}\right]}_{\mathrm{ij}}={\beta }_i^{*}{\beta }_j{\stackrel{·}{h}}_i^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]{\stackrel{·}{h}}_j$>

$>{\left[F_{12}\right]}_{\mathrm{ij}}={\beta }_i^{*}{\stackrel{·}{h}}_i^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]h_j$>

$>{\left[F_{22}\right]}_{\mathrm{ij}}=h_i^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]h_j$>

式中，R_S＝SS^H，$>R_{H_c}=E\left[\mathrm{vec}\left(H_c\right){\mathrm{vec}}^H\left(H_c\right)\right]$>为半正定厄米特矩阵，$>h_k=v\left({\theta }_k\right)\otimes a\left({\theta }_k\right),$>$>{\stackrel{·}{h}}_k=\frac{\partial (v\left({\theta }_k\right)\otimes a\left({\theta }_k\right))}{\partial {\theta }_k},k=\mathrm{1,2},...,K;$>

只考虑波达方向角，即θ估计误差对系统性能的影响，可对第k个目标信道矩阵建模如下：

$>{\tilde{h}}_k=h_k+{\delta }_k$>

其中，h_k分别为实际的以及假设的第k个目标信道矩阵，δ_k为的误差，属于如下凸集：

且，其中，分别为h_k真实的以及假设的倒数矢量，为的误差，属于如下凸集：

基于上述内容，改善杂波条件下最差情况参数估计性能的稳健波形优化问题可以表述为：在关于WCM的约束下，基于参数不确定凸集优化WCM以最小化最坏情况下的CRB；在Trace-opt准则下，优化问题可以描述为：

$>\left(\begin{array}{ccc}\underset{R_S}{\min }& \underset{{\left\{{\delta }_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \mathrm{tr}\left(C\right)\end{array}\right)$>

tr(R_S)＝LP

其中，P表示总的发射功率；式中第三个约束成立是由于每个发射单元发射功率不可能小于零；

步骤三、稳健波形内层优化问题的求解

内层优化问题的求解基于下述引理1：

引理1.假设A为一个M×M的正半定厄米矩阵，则下面的不等式成立：当且仅当A为对角阵的时候等式成立；根据引理1，内层优化问题可以松弛为：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\delta }_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}\frac{1}{{\left[2\mathrm{Re}\left(F\right)\right]}_{\mathrm{kk}}}\end{array}\right)$>

基于CRB，上式可以重写为：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\delta }_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}\frac{1}{{\beta }_k^{*}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_k^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_{\text{k}}{\beta }_k+{\tilde{h}}_k^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]{\tilde{h}}_k}\end{array}\right)$>

删除取实部操作符Re{·}，是由于上式中每一个和项都是实数；

由上式可知，和式中第k项的分母仅依赖于δ_k和两项，因此上式中的问题等价于，在相应的约束下，最大化和式中的每一项，可表示为：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\delta }_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \frac{1}{{\beta }_k^{*}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_k^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_{\text{k}}{\beta }_k+{\tilde{h}}_k^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]{\tilde{h}}_k}\end{array}\right)$>

$>\left(\begin{array}{ccc}s.t.& {\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_k\left|\right|}_F\le {\sigma }_k,{\left|\right|{\delta }_k\left|\right|}_F\le {\zeta }_k& k=\mathrm{1,2},...,K\end{array}\right)$>

为求解上式，对R_S应用对角加载技术，即：

其中，ε＜＜λ_max(R_S)为加载因子，λ_max(·)表示矩阵最大特征值，选择ε＝λ_max(R_S)/1000；分别用替换稳健优化问题中的R_S，可得和分别对于和δ_k是凸的；

由此，上式可以重写为：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_k,{\delta }_k}{\min }& {\beta }_k^{*}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_k^H\left[{(I+({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})\right]{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_k{\beta }_k+{\tilde{h}}_k^H\left[{(I+({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})\right]{\tilde{h}}_k\end{array}\right)$>

$>\left(\begin{array}{cc}s.t.& {\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_k\left|\right|}_F\end{array}\le {\sigma }_k,{\left|\right|{\delta }_k\left|\right|}_F\le {\zeta }_k\right)$>

上式可以拆写成下面两个独立的最小化问题：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_k}{\min }& {\beta }_k^{*}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_k^H\left[{(I+({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})\right]{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_k{\beta }_k\end{array}\right)$>

$>\left(\begin{array}{cc}s.t.& {\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_k\left|\right|}_F\end{array}\le {\sigma }_k\right)$>

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{{\delta }_k}{\min }& {\tilde{h}}_k^H\left[{(I+({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})\right]{\tilde{h}}_k\end{array}\right)$>

s.t. ||δ_k||_F≤ζ_k

上述两个最小化问题可以通过下面的引理2求解：

引理2、假设厄米矩阵$>Z=\left(\begin{array}{cc}A& B^H\\ B& C\end{array}\right)$>的则当且仅当时，Z其中，ΔC＝A-B^HC^-1B是Z中C的Schur补；

通过引用引理2，上述两个最小化问题可以转化为如下SDP问题1：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{t,{\stackrel{·}{\delta }}_k}{\min }& t\end{array}\right)$>

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{t,{\delta }_k}{\min }& t\end{array}\right)$>

其中，t为辅助变量；

将从以上两式得到的和带入稳健优化问题中，考虑外部优化问题；

步骤四、稳健波形外层优化问题的求解

利用如下命题求解外部优化问题

命题：利用矩阵操作，稳健优化问题中的约束可等价为如下的线性矩阵不等式：

其中$>E={(I+({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1}),\alpha =\frac{ϵ}{{\lambda }_{\max }\left(B\right)+ϵ{\lambda }_{\max }\left(R_{H_c}\right)},\beta =\frac{\mathrm{LP}+ϵ}{{\lambda }_{\min }\left(B\right)+(\mathrm{LP}+ϵ){\lambda }_{\min }\left(R_{H_c}\right)};$>

使用引理2并结合上述命题，外层优化问题可表述为如下SDP问题：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{X,E}{\min }& \mathrm{tr}\left(X\right)\end{array}\right)$>

其中，X是一个辅助变量；

当获得最优的E后，最小二乘意义下，R_S可通过如下模型构建：

$>R_S\text{=arg><munder><mi>min</mi><msub><mi>R</mi><mi>S</mi></msub></munder><msub><mrow><mo>|</mo><mo>|</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>E</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msub><mi>R</mi><msub><mi>H</mi><mi>c</mi></msub></msub><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msub><mover><mi>R</mi><mo>~</mo></mover><mi>S</mi></msub><mo>⊗</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>|</mo><mo>|</mo></mrow><mi>F</mi></msub>}$>

s.t. tr(R_S)＝LP

使用引理2并结合上述命题，上式可等价为如下的SDP问题2：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{R_S,t}{\min }& t\end{array}\right)$>

tr(R_S)＝LP

步骤五、采用迭代方法求解稳健波形优化问题

步骤5.1、给定波形协方差矩阵初始值；

步骤5.2、求解上述SDP问题1以得到最优δ_k,

步骤5.3、求解SDP问题2以得到最优E；

步骤5.4、返回步骤5.2重新迭代，直至CRB不再显著减少。

步骤六、基于最小二乘方法，重构最优的波形协方差矩阵，可得R_S。

本发明的有益效果是：该方法可用于舒缓传统波形优化方法对参数估计误差和不确定性敏感的问题。首先建立杂波场景下MIMO雷达接收信号模型，基于此模型推导表征待估计参数估计精度的下界-克拉美罗界(CRB)，而后将参数不确定凸集显式地包含进传统波形优化问题中；为求解此非线性优化问题，本发明提出了一种基于对角加载(DL)技术的迭代方法，迭代中的每一步都可转化为半定规划(SDP)问题，从而可以获得高效求解，以实现最坏情况下的MIMO雷达稳健波形优化，进而使最坏情况下的参数估计性能得以提升，与非相关波形相比，该方法对最坏情况下的参数估计性能有明显的提升。

附图说明

图1为本发明实现的流程图；

图2为本发明的迭代算法的流程图；

图3为本发明在初始角度存在估计误差且阵列信噪比为10dB时的最优发射波束方向图；

图4为在初始角度存在估计误差情形下，本发明所提算法与非相关波形得到的随ANSR变化的CRB。

图5为本发明在阵列校准存在估计误差且阵列信噪比为10dB时的最优发射波束方向图；

图6为在阵列校准存在估计误差情形下，本发明所提算法与非相关波形得到的最坏情况下随ANSR变化的CRB。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细描述。

如图1至图6所示，本发明改善MIMO雷达最差参数估计性能的稳健波形设计方法的实现过程如下：

1、建立稳健波形优化问题模型

1)构建MIMO雷达信号模型

假设MIMO雷达接收信号为：

$>Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_{k}a\left({\theta }_k\right)v^T\left({\theta }_k\right)S+{\int }_{-\pi }^{\pi }\rho \left(\theta \right)a_c\left(\theta \right)v_c^T\left(\theta \right)\mathrm{Sd\theta }+W$>

其中，为正比于目标RCS(雷达横截面)的复幅度，为目标位置参数，两者都需要估计。K为目标数目，ρ(θ)为处于θ位置处杂波块的反射系数，W表示干扰噪声，每列是相互独立且同分布圆对称复高斯随机向量，具有零均值，其协方差B未知，为发射信号矩阵。a(θ_k)和v(θ_k)分别表示接收、发射导向矢量，具体表示为：

$>a\left({\theta }_k\right)={[e^{j2\pi f_0{\tau }_1\left({\theta }_k\right)},e^{j2\pi f_0{\tau }_2\left({\theta }_k\right)},...,e^{j2\pi f_0{\tau }_{M_r}\left({\theta }_k\right)}]}^T$>

$>v\left({\theta }_k\right)={[e^{j2\pi f_0{\tilde{\tau }}_1\left({\theta }_k\right)},e^{j2\pi f_0{\tilde{\tau }}_2\left({\theta }_k\right)},...,e^{j2\pi f_0{\tilde{\tau }}_{M_t}\left({\theta }_k\right)}]}^T$>

式中，f₀为载波频率，τ_m(θ_k),m＝1,2,…M_r和为传输时间，a_c(θ)和v_c(θ)分别表示θ_k处目标的接收和发射导向矢量。

设距离环被分为N_C(N_C＞＞NML)个分辨单元，接收信号模型可以改写为

$>Y=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}{\beta }_{k}a\left({\theta }_k\right)v^T\left({\theta }_k\right)S+H_{c}S+W$>

其中，表示杂波传递函数，ρ(θ_i)为θ_i处杂波块的反射系数，N_C(N_C＞＞M_tM_r)为杂波空间采样数量，a_c(θ_i)和v_c(θ_i)分别表示θ_i处杂波块的接收、发射导向矢量。vec(H_c)可以考虑为同分布的复高斯随机向量，其均值为零，协方差为$>R_{H_c}=E\left[\mathrm{vec}\left(H_c\right){\mathrm{vec}}^H\left(H_c\right)\right].$>R_Hc还可以进一步表示为：其中，$>V=[v_1,v_2,...,v_{N_C}],v_i=v_c\left({\theta }_i\right)\otimes a_c\left({\theta }_i\right),i=\mathrm{1,2},...,N_C,\Xi =\mathrm{diag}\{{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,...,{\sigma }_{N_C}^2\},{\sigma }_i^2=E\left[\rho \left({\theta }_i\right){\rho }^{*}\left({\theta }_i\right)\right]$>

2)构建基于CRB的稳健波形优化模型

考虑未知参数θ＝[θ₁,θ₂,…,θ_K]^T、条件下的CRB，经过推导，此CRB可表述如下：

$>C=\frac{1}{2}{\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{Re}\left(F_{11}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{12}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{12}\right)\\ {\mathrm{Re}}^T\left(F_{12}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)& -\mathrm{Im}\left(F_{22}\right)\\ -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{12}\right)& -{\mathrm{Im}}^T\left(F_{22}\right)& \mathrm{Re}\left(F_{22}\right)\end{array}\right)}^{-1}$>

其中，

$>{\left[F_{11}\right]}_{\mathrm{ij}}={\beta }_i^{*}{\beta }_j{\stackrel{·}{h}}_i^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]{\stackrel{·}{h}}_j$>

$>{\left[F_{12}\right]}_{\mathrm{ij}}={\beta }_i^{*}{\stackrel{·}{h}}_i^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]h_j$>

$>{\left[F_{22}\right]}_{\mathrm{ij}}=h_i^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]h_j$>

式中，R_S＝SS^H，$>R_{H_c}=E\left[\mathrm{vec}\left(H_c\right){\mathrm{vec}}^H\left(H_c\right)\right]$>为半正定厄米特矩阵，$>h_k=v\left({\theta }_k\right)\otimes a\left({\theta }_k\right),$>$>{\stackrel{·}{h}}_k=\frac{\partial (v\left({\theta }_k\right)\otimes a\left({\theta }_k\right))}{\partial {\theta }_k},k=\mathrm{1,2},...,K.$>

明显地，CRB是关于θ、H_c、W的函数，而这些参数需通过估计得到，因而不可避免地存在估计误差。由此，利用基于某组参数估计值的CRB优化波形得到的系统参数估计性能可能要差于另外一组更为合理的参数估计值。进而，在工程应用中，必须考虑系统性能对初始参数估计误差的敏感问题。

本发明中，只考虑波达方向角，即θ估计误差对系统性能的影响。因而，可对第k个目标信道矩阵建模如下：

$>{\tilde{h}}_k=h_k+{\delta }_k$>

其中，h_k分别为实际的以及假设的第k个目标信道矩阵，δ_k为的误差，属于如下凸集：

且，其中，分别为h_k真实的以及假设的倒数矢量，为的误差，属于如下凸集：

基于上述讨论，改善杂波条件下最差情况参数估计性能的稳健波形优化问题可以表述为：在关于WCM的约束下，基于参数不确定凸集优化WCM以最小化最坏情况下的CRB。在Trace-opt准则下，优化问题可以描述为：

$>\left(\begin{array}{ccc}\underset{R_S}{\min }& \underset{{\left\{{\delta }_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \mathrm{tr}\left(C\right)\end{array}\right)$>

tr(R_S)＝LP

其中，P表示总的发射功率；式中第三个约束成立是由于每个发射单元发射功率不可能小于零。

很明显，CRB矩阵的迹，即上式的目标函数，是一个关于R_S和δ_k,k＝1,2,…,K的非常复杂的非线性函数，因而利用诸如凸优化等传统方法非常难以解决。

2.稳健波形优化问题的求解

1)内层优化问题的求解

如上所述，优化问题的目标函数是非常复杂的非线性函数，难以利用传统的优化方法求解。为求解此问题，首先考虑内层优化问题。内层优化问题的求解基于下述引理1：

引理1.假设A为一个M×M的正半定厄米矩阵，则下面的不等式成立：当且仅当A为对角阵的时候等式成立。根据引理1，内层优化问题可以松弛为：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\delta }_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}\frac{1}{{\left[2\mathrm{Re}\left(F\right)\right]}_{\mathrm{kk}}}\end{array}\right)$>

基于CRB，上式可以重写为：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\delta }_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}\frac{1}{{\beta }_k^{*}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_k^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_{\text{k}}{\beta }_k+{\tilde{h}}_k^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]{\tilde{h}}_k}\end{array}\right)$>

删除取实部操作符Re{·}，是由于上式中每一个和项都是实数。

由上式可知，和式中第k项的分母仅依赖于δ_k和两项，因此上式中的问题等价于，在相应的约束下，最大化和式中的每一项，可表示为：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{{\left\{{\delta }_k\right\}}_{k=1}^K,{\left\{{\stackrel{·}{\delta }}_k\right\}}_{k=1}^K}{\max }& \frac{1}{{\beta }_k^{*}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_k^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_{\text{k}}{\beta }_k+{\tilde{h}}_k^H\left[{(I+(R_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}(R_S\otimes B^{-1})\right]{\tilde{h}}_k}\end{array}\right)$>

$>\left(\begin{array}{ccc}s.t.& {\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_k\left|\right|}_F\le {\sigma }_k,{\left|\right|{\delta }_k\left|\right|}_F\le {\zeta }_k& k=\mathrm{1,2},...,K\end{array}\right)$>

需要注意的是，由于可知为不定矩阵，因此上式难以求解，为求解此问题，对R_S应用对角加载技术，即：

其中，ε＜＜λ_max(R_S)为加载因子，λ_max(·)表示矩阵最大特征值，下面仿真试验中，选择ε＝λ_max(R_S)/1000。分别用替换稳健优化问题中的R_S，可得很明显，和分别对于和δ_k是凸的。

由此，上式可以重写为：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_k,{\delta }_k}{\min }& {\beta }_k^{*}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_k^H\left[{(I+({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})\right]{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_k{\beta }_k+{\tilde{h}}_k^H\left[{(I+({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})\right]{\tilde{h}}_k\end{array}\right)$>

$>\left(\begin{array}{cc}s.t.& {\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_k\left|\right|}_F\end{array}\le {\sigma }_k,{\left|\right|{\delta }_k\left|\right|}_F\le {\zeta }_k\right)$>

类似的，上式可以写成下面两个独立的最小化问题：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{{\stackrel{·}{\delta }}_k}{\min }& {\beta }_k^{*}{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_k^H\left[{(I+({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})\right]{\stackrel{·}{\stackrel{~}{h}}}_k{\beta }_k\end{array}\right)$>

$>\left(\begin{array}{cc}s.t.& {\left|\right|{\stackrel{·}{\delta }}_k\left|\right|}_F\end{array}\le {\sigma }_k\right)$>

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{{\delta }_k}{\min }& {\tilde{h}}_k^H\left[{(I+({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})\right]{\tilde{h}}_k\end{array}\right)$>

s.t. ||δ_k||_F≤ζ_k

以上两个问题可以通过下面的引理2求解：

引理2.假设厄米矩阵$>Z=\left(\begin{array}{cc}A& B^H\\ B& C\end{array}\right)$>的则当且仅当时，其中，ΔC＝A-B^HC^-1B是Z中C的Schur补。

通过引用引理2，以上两个问题可以很明显的转化为如下SDP问题：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{t,{\stackrel{·}{\delta }}_k}{\min }& t\end{array}\right)$>

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{t,{\delta }_k}{\min }& t\end{array}\right)$>

其中，t为辅助变量。

将从以上两式得到的和带入稳健优化问题中，考虑外部优化问题。

2)外部优化问题的求解

本发明利用如下命题为求解外部优化问题

命题：利用矩阵操作，稳健优化问题中的约束可等价为如下的线性矩阵不等式：

其中$>E={(I+({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1})R_{H_c})}^{-1}({\tilde{R}}_S\otimes B^{-1}),\alpha =\frac{ϵ}{{\lambda }_{\max }\left(B\right)+ϵ{\lambda }_{\max }\left(R_{H_c}\right)},\beta =\frac{\mathrm{LP}+ϵ}{{\lambda }_{\min }\left(B\right)+(\mathrm{LP}+ϵ){\lambda }_{\min }\left(R_{H_c}\right)}.$>

使用引理2以及结合上述命题，外层优化问题可表述为如下SDP问题：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{X,E}{\min }& \mathrm{tr}\left(X\right)\end{array}\right)$>

其中，X是一个辅助变量。

当获得最优的E后，最小二乘意义下，R_S可通过如下模型构建：

$>R_S\text{=arg><munder><mi>min</mi><msub><mi>R</mi><mi>S</mi></msub></munder><msub><mrow><mo>|</mo><mo>|</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msup><mi>E</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msub><mi>R</mi><msub><mi>H</mi><mi>c</mi></msub></msub><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msub><mover><mi>R</mi><mo>~</mo></mover><mi>S</mi></msub><mo>⊗</mo><msup><mi>B</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo>|</mo><mo>|</mo></mrow><mi>F</mi></msub>}$>

s.t. tr(R_S)＝LP

类似于上述讨论，上式可等价为如下的SDP问题：

$>\left(\begin{array}{cc}\underset{R_S,t}{\min }& t\end{array}\right)$>

tr(R_S)＝LP

3)迭代算法

给定WCM初始值，δ_k,和R_S通过以下步骤进行优化：

①求解内层SDP问题获得最优δ_k,

②求解外层SDP问题获得E；

重复步骤①②，直到CRB不再显著减少。此后，求解所构建模型即可得R_S。

本发明的效果可通过以下仿真进一步说明：

仿真条件：

MIMO雷达是3发3收，利用两个MIMO雷达系统，其天线配置分别是：MIMO雷达(0.5,0.5)、MIMO雷达(1.5,0.5)，这里括号内的数字表示发射器和接收器内的阵元间距(以波长为单位)。系统采样点数为256。阵列信噪比的定义为取值范围为-10dB到30dB。其中，P指总发射功率，为加性高斯白噪声方差。建模杂波为离散取样，其RCS建模为独立同分布的高斯随机变向量，均值为零，方差为并假设相干处理间隔内固定。杂波信噪比定义为等于30dB。在-5^°方向有一个强干扰，信噪比为60dB。仅在θ＝20°处有一个反射系数为1的点目标。在如下仿真中，假设两种情况，其一是只考虑初始角估计存在误差；其二是只考虑收发阵列中存在的校正误差。

仿真内容：

A：初始角度估计存在不确定的情况

假设初始角估计的不确定性为Δθ＝[-3°,3°]，即其中为θ的估计，经过计算，得到数据：MIMO(0.5,0.5)为ζ＝5.4382,σ＝7.6593，MIMO(1.5,0.5)为ζ＝27.6329,σ＝29.6754。

图3为ASNR＝10dB条件下最优发射波束方向图。可以观察到，发射信号波束方向图的峰值位于目标位置周围，这意味着，在该凸不确定最坏情况下系统参数估计性能可得到改善。此外，由于稀疏发射阵列，MIMO雷达(1.5，0.5)会出现栅瓣情况，如图3(b)所示。

图4为由所提出算法以及不相关波形所得随ASNR变化的CRB。很明显，CRB随ASNR的增加而降低。此外，可以观察到，所提方法得到的最坏情况下参数估计性能优于不相关波形。而且，随着ASNR的增加，所提方法所得CRB渐进于不相关波形。另外，图4(b)所示MIMO雷达(1.5，0.5)的CRB明显低于图4(a)所示MIMO雷达(0.5，0.5)的CRB。

B：收发阵列存在校正误差的情况

在这种情况下，无论是发射和接收阵列被假定为具有校正误差(传感器的幅度和相位误差以及位置误差)。发射和接收阵列导向矢量的每个元素被一个干扰变量所干扰，该干扰变量为零均值的循环对称复高斯随机变量，方差为计算后，得到MIMO(0.5，0.5)的ζ＝13.4764,σ＝14.5712，MIMO(1.5，0.5)的ζ＝29.8362,σ＝32.6573。

图5刻画了ASNR＝10dB得到的最佳发射波束方向图。从图5，可以得出相似于图3的结论。所提算法及不相关波形所得随ASNR变化的最坏情况下的CRB如图6所示，从图6中得到的结论类似于图4。

综上所述，本发明针对杂波条件下波形优化方法对初始参数估计误差敏感的问题，提出了基于参数凸不确定集的稳健波形优化方法，并针对此复杂非线性优化问题提出一种基于对角加载的迭代求解方法。为提高杂波条件下MIMO雷达系统的参数估计稳健性能，本发明首先针对波达方向角存在误差情况进行建模，并将此参数估计误差凸集显式地包含进波形优化问题中，为求解此非线性优化问题，本发明提出一种基于对角加载的迭代方法对发射波形以及参数估计误差进行交替优化，以得到最优的发射波形协方差矩阵。迭代的每一步都可基于对角加载松弛为半定规划问题，从而可以获得高效求解。基于以上讨论可知，本发明所提方法可为工程应用中通过设计发射波形提高雷达参数估计的稳健性能提供坚实的理论与实现依据。