含VSC-HVDC的交直流系统电压稳定静态分析方法

摘要

本发明公布了一种含VSC-HVDC的交直流系统电压稳定静态分析方法。本发明针对电压稳定性问题，通过确定含VSC-HVDC交直流系统的潮流方程及换流器方程，考虑负荷和发电机出力的变化，形成含参变量的潮流方程，建立含VSC-HVDC的交直流混合系统的静态模型，并采用基于统一迭代法的连续潮流法对该模型进行分析，研究VSC-HVDC元件对系统电压稳定的影响。本发明为进一步研究含VSC-HVDC的交直流混合系统的电压稳定特性奠定了基础。

说明书

技术领域

本发明涉及一种含电压源换流器型高压直流输电(VSC-HVDC)的交直流混合系统电压稳定静态分析方法，属于电力系统运行和控制技术领域。

背景技术

当前，我国电力系统已进入区域性电网向全国性互联电网过渡的阶段。高压直流输电(HVDC)在超远距离输电和系统互联中的优势较为明显，我国的南方电网、华东电网已经形成交直流混合输电网络。交直流混合系统具有较大的输送容量和更为灵活的运行方式，多条直流联络线的引入，提高了整个系统的可控程度，但同时也带来一些特殊问题，使交直流混合系统安全稳定性问题更加突出，对电网稳定运行和控制提出了更高的要求。

采用晶闸管换流设备的传统HVDC，只能控制导通角，需反向电压以实现关断，晶闸管换流设备可能出现的换相失败故障，成为系统安全运行的一大威胁；而换流过程要消耗大量无功，更对其接入的交流系统的电压稳定性提出了严峻挑战。随着新型电力电子器件和控制技术的快速发展，采用电压源换流器(VSC)和脉宽调制(PWM)技术的电压源换流器直流输电(VSC-HVDC)系统已经投入运行。VSC-HVDC可对交直流混合系统交流母线无功功率进行动态补偿，为受端系统提供良好的电压支撑，有利于防止系统中晶闸管换流设备的换相失败，并有助于在故障后快速恢复直流功率。因此，VSC-HVDC在向无源网络供电、连接分布式发电系统、交流电网互联等领域具有广阔的应用前景，引入VSC-HVDC成为改善交直流混合系统电压稳定性的较有潜力的方案。

本发明基于VSC-HVDC的稳态潮流方程，针对电压稳定性问题，建立含VSC-HVDC的交直流混合系统的电压稳定静态模型，采用基于统一迭代法的连续潮流法，分析含VSC-HVDC的交直流混合系统的电压稳定问题，研究VSC-HVDC元件对系统电压稳定的影响，为进一步研究含有VSC-HVDC的交直流电力系统的电压稳定特性奠定了基础。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对现有技术存在的缺陷提供一种含VSC-HVDC的交直流混合系统电压稳定静态分析方法。

本发明为实现上述目的，采用如下技术方案：

本发明为一种含VSC-HVDC的交直流系统电压稳定静态分析方法，其特征在于包括以下步骤：

(1)输入交流电网的线路参数数据，形成节点导纳矩阵，包括：输电线路的支路号、首端节点和末端节点编号、变压器变比和阻抗、串联电阻电抗、并联电导电纳；

(2)输入直流网络参数、VSC-HVDC换流器控制方式及相应的设定值；VSC-HVDC换流器可以选择的控制方式有以下4种：定直流电压U_d、交流无功功率Q_t控制，定直流电压U_d、交流母线电压U_t控制，定交流有功功率P_t、交流无功功率Q_t控制，定交流有功功率P_t、交流母线电压U_t控制，所述设定值指U_d、Q_t、U_t、Q_t、P_t的常用值；

(3)含VSC-HVDC的交直流混合系统变量初始化，交流系统中直流节点的类型按控制方式设为PQ、PV节点，功率和电压参数由点注入功率和节点电压的初始值给出；按照节点是否接有换流变压器，可将节点分为直流节点和纯交流节点：直流节点是指换流变压器的一次侧所连接的节点，纯交流节点是指不与换流变压器相连的节点；系统的节点总数为n，其中VSC的个数为nc，则直流节点数为nc，纯交流节点数为na＝n-nc；交直流混合系统的节点编号顺序为：1～na节点为纯交流节点，其中有一个平衡节点；na+1～n节点为直流节点；连续潮流的迭代初值L＝0，直流系统中各变量的迭代初值由下式得出：

$\left(\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{dk}}^{\left(0\right)}=U_{\mathrm{dk}}^{\mathrm{ref}},(k\in \mathrm{CV})\\ U_{\mathrm{dk}}^{\left(0\right)}=U_{\mathrm{dk}}^N,(k\notin \mathrm{CV})\\ I_{\mathrm{dk}}^{\left(0\right)}=P_{\mathrm{tk}}/U_{\mathrm{dk}}^{\left(0\right)}\\ {\delta }_k^{\left(0\right)}=\arctan (P_{\mathrm{tk}}/(U_{\mathrm{tk}}^2/X_{\mathrm{Lk}}+U_{\mathrm{tk}}^2/X_{\mathrm{fk}}-Q_{\mathrm{tk}}))\\ M_k^{\left(0\right)}=(2\sqrt{6}/3)(P_{\mathrm{tk}}{X}_{\mathrm{Lk}}/\left(U_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}^{\left(0\right)}{\sin \delta }_k^{\left(0\right)}\right))\end{array}\right)$

式中，k表示接入直流网络的第k个VSC，CV表示第k个换流器为定直流电压控制，CV表示第k个换流器不属于定直流电压控制，k＝1，2，...，nc；上标0表示第k个VSC迭代初值，上标ref表示为设定值，上标N表示为额定值，下标t表示此节点为直流节点，t＝1，2，...，nc；为交流系统连接处的电压相量；U_dk为第k个VSC直流侧电压，I_dk为第k个VSC直流侧电流；P_tk和Q_tk分别为交流系统流入换流变压器的有功功率和无功功率；X_Lk为换流变压器电抗，X_fk为交流滤波器电抗；M_k为第k个VSC的调制度；d_k＝q_tk-q_ck，q_ck为第k个VSC输出基波电压的相角；

(4)计算含VSC-HVDC交直流系统的常规潮流方程即当λ＝0时，由下式求出初始解：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta P}}_{\mathrm{ai}}=P_{\mathrm{ai}}-U_{\mathrm{ai}}\underset{j\in i}{\Sigma }{U}_j(G_{\mathrm{ij}}{\cos \theta }_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}{\sin \theta }_{\mathrm{ij}})+(P_{\mathrm{Gi}}-P_{\mathrm{Li}}){\lambda }_l=0\\ {\mathrm{\Delta Q}}_{\mathrm{ai}}=Q_{\mathrm{ai}}-U_{\mathrm{ai}}\underset{j\in i}{\Sigma }{U}_j(G_{\mathrm{ij}}{\sin \theta }_{\mathrm{ij}}-B_{\mathrm{ij}}{\cos \theta }_{\mathrm{ij}})+(Q_{\mathrm{Gi}}-Q_{\mathrm{Li}}){\lambda }_l=0\\ {\mathrm{\Delta P}}_{\mathrm{ti}}=P_{\mathrm{ti}}-U_{\mathrm{ti}}\underset{j\in i}{\Sigma }{U}_j(G_{\mathrm{ij}}{\cos \theta }_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}{\sin \theta }_{\mathrm{ij}})\pm P_{\mathrm{ti}}+(P_{\mathrm{Gi}}-P_{\mathrm{Li}}){\lambda }_l=0\\ {\mathrm{\Delta Q}}_{\mathrm{ti}}=Q_{\mathrm{ti}}-U_{\mathrm{ti}}\underset{j\in i}{\Sigma }{U}_j(G_{\mathrm{ij}}{\sin \theta }_{\mathrm{ij}}-B_{\mathrm{ij}}{\cos \theta }_{\mathrm{ij}})\pm Q_{\mathrm{ti}}+(Q_{\mathrm{Gi}}-Q_{\mathrm{Li}}){\lambda }_l=0\\ {\mathrm{\Delta d}}_{k1}=P_{\mathrm{tk}}+(\sqrt{6}/4)M_k{U}_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\cos ({\delta }_k+{\alpha }_k)-U_{\mathrm{tk}}^2\left|Y\right|{\cos \alpha }_k=0\\ {\mathrm{\Delta d}}_{k2}=Q_{\mathrm{tk}}+(\sqrt{6}/4)M_k{U}_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\sin ({\delta }_k+{\alpha }_k)-U_{\mathrm{tk}}^2\left|Y\right|{\sin \alpha }_k-U_{\mathrm{tk}}^2/X_{\mathrm{fk}}=0\\ {\mathrm{\Delta d}}_{k3}=U_{\mathrm{dk}}{I}_{\mathrm{dk}}-(\sqrt{6}/4)M_k{U}_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\cos ({\delta }_k-{\alpha }_k)+(3/8){\left(M_k{U}_{\mathrm{dk}}\right)}^2\left|Y\right|{\cos \alpha }_k=0\\ {\mathrm{\Delta d}}_{k4}=\pm I_{\mathrm{dk}}-\underset{s=1}{\overset{\mathrm{nc}}{\Sigma }}{g}_{\mathrm{dks}}{U}_{\mathrm{ds}}=0\end{array}\right)$

式中，λ为反映负荷变化水平的参数，λ∈R，当λ＝0时，对应于系统的基本负荷；l为预测校正环节所采用牛拉法的迭代次数，l＝0，1，...，l_c；下标i表示第i个节点，i＝1，2，...，n；下标a表示此节点为纯交流节点，a＝1，2，...，na；下标j为与节点i直接相连的所有节点(公式中用j∈i表示)；U、q为节点电压辐值和相角；G、B为节点导纳矩阵的实部和虚部；P_Gi、Q_Gi为节点i的发电机出力，P_Li、Q_Li为节点i的负荷；a_k＝arctan(R_k/X_Lk)，R_k为第k个换流器内部损耗和换流变压器损耗的等效电阻；g_dks为直流网络节点导纳矩阵的元素，s＝1，2，...，nc；正负号分别对应直流系统的整流器和逆变器；(5)指定连续参数为λ，即某一区域或某几个区域的有功、无功发生变化，以含VSC-HVDC的交直流混合系统的换流母线电压为研究对象，将上述含VSC-HVDC的交直流模型写为如下简化的包含单参数变量λ的潮流方程模型：

f(x，λ)＝0

式中，f∈R^2(n-1)+4nc+1，x∈R^2(n-1)+4nc+1，f为节点潮流平衡方程，x为系统状态变量，即节点电压幅值和相角组成的待求变量，以及直流系统状态变量；潮流方程共为2(n-1)+4nc+1＝2n1+n2+4nc+1，其中n1、n2分别为系统中PQ和PV母线数目；

预测环节中所采用的预测方法为一阶微分方法，即以切线为预测的方向，对f(x，λ)＝0取全微分，可得：

f′_xd_x+f′_λd_λ＝0，即$\left(\begin{array}{cc}{f}_x^{\prime }& f_{\lambda }^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{d}_x\\ d_{\lambda }\end{array}\right)=0$

式中，为潮流方程关于x的雅克比矩阵，为潮流方程关于l的偏导数，为所要求出的切向量；

在步骤(4)所得潮流结果的基础上，该系统潮流解曲线上的当前解为(x_l，λ_l)^T，T表示转置；取切线为预测方向，沿着λ的切线增长方向的初始预测值记为(x_l+1′，λ_l+1′)^T；

(6)将(x_l+1′，λ_l+1′)^T代入潮流方程中，计算出预测值为：

$\left(\begin{array}{c}{x_{l+1}}^{\prime }\\ {{\lambda }_{l+1}}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_l\\ {\lambda }_l\end{array}\right)+h\left(\begin{array}{c}{d}_x\\ d_{\lambda }\end{array}\right)$

式中，e_K为第K个元素为+1，其余元素均为0的行向量，其维数为2(n-1)+4nc+1；矩阵的维数为[2(n-1)+4nc+1]？[2(n1)+4nc+1]；h为预测步长，其极小值设为h_min(h_min为人为设定精度值)；

(7)判断是否达到临界点，当|l′_l+1-l′_l|/l′_l＜e(e为人为设定的精度值)，系统达到临界状态，此时l′_l对应的工作点即为临界点，计算结束，并输出计算结果；若没有达到临界点，则执行下一步，进行校正；

(8)固定预测环节中所求出的λ_l+1＝λ_l+1′，将代入中，进行迭代求解，此为垂直校正方法；

(9)若步骤(8)收敛，则求得此为解曲线上的精确解；使L＝L+1，返回到步骤(5)，以精确解作为新的预测值进行新的迭代；

(10)若步骤(8)不收敛，再判断此时校正环节所采用牛拉法的迭代计算次数l_c是否越限，若是，则减小步长h，使L＝L+1，返回到步骤(5)重新进行迭代；若l_c没有越限，则选择新的连续参数，即选择此时具有最大变化速率的节点K的电压x_K作为连续参数，采用水平校正方法对潮流方程求解，得出解曲线上的精确解，此时的迭代格式为：

$\left(\begin{array}{cc}{f}_x^{\prime }& f_{\lambda }^{\prime }\\ e_K^T& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Delta x}\\ \mathrm{\Delta \lambda }\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}f(x,\lambda )\\ 0\end{array}\right)$

之后返回到步骤(6)。

鉴于VSC-HVDC系统技术的诸多优点，将VSC-HVDC引入到交直流系统中，利用VSC-HVDC提高交直流系统的电压稳定性，具有重要意义。本发明在含VSC-HVDC的交直流互联系统稳态潮流模型基础之上，针对电压稳定性问题，建立了含VSC-HVDC的交直流混合系统静态模型，采用连续潮流方法对其进行分析，为进一步研究含VSC-HVDC的交直流混合系统的电压稳定特性奠定了基础。

附图说明

图1：本发明方法流程图。

图2：本发明采用的单相VSC-HVDC稳态物理模型。

具体实施方式

下面结合附图对发明的技术方案进行详细说明：

连续潮流(CPF)问题自二十世纪九十年代初开始提出以来，其在电力系统静态稳定性的研究方面有了长足的发展和广泛的应用，由于其模型的实用性和算法的鲁棒性已经成为能量管理系统(EMS)中一个基本的计算引擎。作为电压稳定性分析的一个有力工具，连续潮流法可以解决系统方程接近稳定极限运行状态时的收敛问题，通过不断更新潮流方程，使得在所有可能的负荷状态下，潮流方程保持为收敛，无论在稳定平衡点还是不稳定平衡点都有解。本发明基于交直流混合系统的统一迭代潮流算法，建立含VSC-HVDC的交直流混合系统的电压稳定静态模型，采用连续潮流法分析该模型的电压稳定问题，以期对含有VSC-HVDC的交直流混合系统的电压稳定特性分析奠定基础。

本发明方法如图1所示，按照节点是否接有换流变压器，可将节点分为直流节点和纯交流节点。直流节点是指换流变压器的一次侧所连接的节点，纯交流节点是指不与换流变压器相连的节点。设系统的节点总数为n，假设其中VSC的个数为nc，则直流节点数为nc，纯交流节点数为na＝n-nc。假设交直流混合系统的节点编号顺序为：1～na节点为纯交流节点，其中有一个平衡节点；na+1～n节点为直流节点。

图2是本发明涉及到的单相VSC-HVDC稳态物理模型，其在标幺制下的稳态模型方程为：

$\left(\begin{array}{c}{\stackrel{·}{I}}_k=({\stackrel{·}{U}}_{\mathrm{tk}}-{\stackrel{·}{U}}_{\mathrm{ck}})/(R_k+{\mathrm{jX}}_{\mathrm{Lk}})\\ {\tilde{S}}_{\mathrm{tk}}=P_{\mathrm{tk}}+{\mathrm{jQ}}_{\mathrm{tk}}={\stackrel{·}{U}}_{\mathrm{tk}}{\left({\stackrel{·}{I}}_k\right)}^{*}\\ P_{\mathrm{tk}}=-\left|Y\right|U_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{ck}}\cos ({\delta }_k+{\alpha }_k)+\left|Y\right|U_{\mathrm{tk}}^2{\cos \alpha }_k\\ Q_{\mathrm{tk}}=-\left|Y\right|U_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{ck}}\sin ({\delta }_k+{\alpha }_k)+\left|Y\right|U_{\mathrm{tk}}^2\sin {\alpha }_k+U_{\mathrm{tk}}^2/X_{\mathrm{fk}}\\ P_{\mathrm{ck}}=\left|Y\right|U_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{ck}}\cos ({\delta }_k-{\alpha }_k)-\left|Y\right|U_{\mathrm{ck}}^2{\cos \alpha }_k\\ Q_{\mathrm{ck}}=-\left|Y\right|U_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{ck}}\sin ({\delta }_k-{\alpha }_k)-\left|Y\right|U_{\mathrm{ck}}^2\cos {\alpha }_k\\ P_{\mathrm{dk}}=U_{\mathrm{dk}}{I}_{\mathrm{dk}}=\left|Y\right|U_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{ck}}\cos ({\delta }_k-{\alpha }_k)-\left|Y\right|U_{\mathrm{ck}}^2{\cos \alpha }_k\\ U_{\mathrm{ck}}=(\sqrt{6}/4)M_k{U}_{\mathrm{dk}}\end{array}\right)$

式中，k表示接入直流网络的第k个VSC，k＝1，2，...，nc；下标t表示此节点为直流节点；为流过换流变压器的电流；为交流系统连接处的电压相量，为第k个VSC输出基波电压的相量；R_k为第k个换流器内部损耗和换流变压器损耗的等效电阻，X_Lk为换流变压器电抗，X_fi为交流滤波器电抗；为交流系统流入换流变压器的复功率；P_tk和Q_tk分别为交流系统流入换流变压器的有功功率和无功功率，P_ck和Q_ck分别为流入换流桥的有功功率和无功功率，P_dk为直流功率；M_k为第k个VSC的调制度；I_dk为第k个VSC直流侧电流，U_dk为第k个VSC直流侧电压；d_k＝q_tk-q_ck，a_k＝arctan(R_k/X_Lk)；假设的物理量参考方向如附录A图2所示。

考虑到系统中某一区域或某几个区域负荷的变化，对于交流系统，其纯交流节点的潮流计算方程为：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta P}}_{\mathrm{ai}}=P_{\mathrm{ai}}-U_{\mathrm{ai}}\underset{j\in i}{\Sigma }{U}_j(G_{\mathrm{ij}}{\cos \theta }_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}{\sin \theta }_{\mathrm{ij}})+(P_{\mathrm{Gi}}-P_{\mathrm{Li}}){\lambda }_l=0\\ {\mathrm{\Delta Q}}_{\mathrm{ai}}=Q_{\mathrm{ai}}-U_{\mathrm{ai}}\underset{j\in i}{\Sigma }{U}_j(G_{\mathrm{ij}}{\sin \theta }_{\mathrm{ij}}-B_{\mathrm{ij}}{\cos \theta }_{\mathrm{ij}})+(Q_{\mathrm{Gi}}-Q_{\mathrm{Li}}){\lambda }_l=0\end{array}\right)$

式中，下标a表示此节点为纯交流节点，a＝1，2，...，na；下标i表示第i个节点，i＝1，2，...，n；下标j为与节点i直接相连的所有节点(公式中用j∈i表示)；U、q为节点电压辐值和相角，G、B为节点导纳矩阵的实部和虚部；P_Gi、Q_Gi为节点i的发电机出力，P_Li、Q_Li为节点i的负荷；λ为反映负荷变化水平的参数，λ∈R；l为预测校正环节所采用牛拉法的迭代次数，l＝0，1，...，l_c。

对于直流节点，其潮流计算方程为：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta P}}_{\mathrm{ti}}=P_{\mathrm{ti}}-U_{\mathrm{ti}}\underset{j\in i}{\Sigma }{U}_j\left(G_{\mathrm{ij}}{\cos \theta }_{\mathrm{ij}}{+B_{\mathrm{ij}}\sin \theta }_{\mathrm{ij}}\right)\pm P_{\mathrm{ti}}+(P_{\mathrm{Gi}}-P_{\mathrm{Li}}){\lambda }_l=0\\ {\mathrm{\Delta Q}}_{\mathrm{ti}}=Q_{\mathrm{ti}}-U_{\mathrm{ti}}\underset{j\in i}{\Sigma }{U}_j(G_{\mathrm{ij}}{\sin \theta }_{\mathrm{ij}}-B_{\mathrm{ij}}{\cos \theta }_{\mathrm{ij}})\pm Q_{\mathrm{ti}}+(Q_{\mathrm{Gi}}-Q_{\mathrm{Li}}){\lambda }_l=0\end{array}\right)$

式中，正负号分别对应直流系统的整流器和逆变器。

对于直流系统，换流器的基本潮流计算方程为：

$\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Delta d}}_{k1}=P_{\mathrm{tk}}+(\sqrt{6}/4)M_k{U}_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\cos ({\delta }_k+{\alpha }_k)-U_{\mathrm{tk}}^2\left|Y\right|{\cos \alpha }_k=0\\ {\mathrm{\Delta d}}_{k2}=Q_{\mathrm{tk}}+(\sqrt{6}/4)M_k{U}_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\sin ({\delta }_k+{\alpha }_k)-U_{\mathrm{tk}}^2\left|Y\right|{\sin \alpha }_k-U_{\mathrm{tk}}^2/X_{\mathrm{fk}}=0\\ {\mathrm{\Delta d}}_{k3}=U_{\mathrm{dk}}{I}_{\mathrm{dk}}-(\sqrt{6}/4)M_k{U}_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\cos ({\delta }_k-{\alpha }_k)+(3/8){\left(M_k{U}_{\mathrm{dk}}\right)}^2\left|Y\right|{\cos \alpha }_k=0\end{array}\right)$

直流网络方程为：

$\Delta d_{k4}={\pm I}_{\mathrm{dk}}-\underset{s=1}{\overset{\mathrm{nc}}{\Sigma }}{g}_{\mathrm{dks}}{U}_{\mathrm{ds}}=0$

式中，g_dks为直流网络节点导纳矩阵的元素，s＝1，2，...，nc。

本发明采用统一迭代法进行交直流混合系统的潮流计算，即将交流节点电压的幅值、相角和直流系统中的状态变量统一进行迭代求解，其是以极坐标下的牛拉法为基础的。从数学上讲，统一迭代求解法是原先纯交流潮流计算问题的扩展，其扩展方程为直流潮流方程，扩展状态变量为直流系统状态变量与直流节点的节点功率。

随着系统中某一区域或几个区域的有功、无功发生变化，各个节点的电压也相应发生改变，用常规潮流程序可确定网络中不同节点的电压稳定水平，但是常规潮流在系统接近崩溃点时，潮流方程病态，即其雅克比矩阵奇异，使得常规潮流方程发散。而连续潮流通过追踪计算负荷变化时的潮流解，可计算出达到电压崩溃点的最大负荷增长量，解决了功率极限点附近潮流发散的问题。

在连续潮流算法中，系统负荷的增长方式可以选择以下情形之一：

(1)一个节点的有功或无功发生变化，此时系统中其他节点的有功、无功恒定；

(2)一个节点的有功和无功同时发生变化，此时系统中其他节点的有功、无功恒定；

(3)系统中某一区域或几个区域的有功、无功同时发生变化。

在连续潮流计算中，要求各处发电有功功率增量之和等于系统负荷功率总增量，即要满足：

∑ΔP_Gi＝∑ΔP_Li

式中，DP_Gi为节点i的发电机有功增量，DP_Li为节点i的负荷增量。

连续潮流法是假设系统处于准静态的状态下，从初始稳定工作点出发，随着负荷缓慢增加，不断求解潮流方程，沿相应的P-U曲线对下一工作点进行预估、校正，从而描绘出系统完整的P-U曲线，是一种包括预测环节和校正环节的迭代方法。

将上述含VSC-HVDC的交直流系统模型写为如下简化的包含单参数变量λ的潮流方程模型：

f(x，λ)＝0

式中，f∈R^2(n-1)+4nc+1，x∈R^2(n-1)+4nc+1，f为节点潮流平衡方程，x为系统状态变量，即节点电压幅值和相角组成的待求变量，以及直流系统状态变量；潮流方程共为2(n-1)+4nc+1＝2n1+n2+4nc+1个，其中n1、n2分别为系统中PQ和PV母线数目。

方程f(x，λ)＝0可由以下方程组描述为：

$\left(\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{ac}}=0\\ f_{\mathrm{ac}-\mathrm{dc}}=0\\ f_{\mathrm{dc}}=0\end{array}\right)$

式中：

f_ac＝[DP_a1，DQ_a1，…，DP_ana，DQ_ana]^T，na为纯交流节点个数，T表示转置；

f_ac-dc＝[DP_t1，D_t1，…，DP_tnc，DQ_tnc]^T，nc为直流节点的个数；

f_dc＝[D_d11，D_d12，D_d13，D_d14，…，Dd_nc1，Dd_nc2，Dd_nc3，Dd_nc4]^T。

以含VSC-HVDC的交直流混合系统的换流母线电压为研究对象，设该系统潮流解曲线上的当前初始状态为(x_l，λ_l)^T。

预测环节中所采用的预测方法为一阶微分方法，即以切线为预测的方向，对f(x，λ)＝0取全微分，可得：

f′_xd_x+f′_λd_λ＝0

即$\left(\begin{array}{cc}{f}_x^{\prime }& f_{\lambda }^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{d}_x\\ d_{\lambda }\end{array}\right)=0$

式中，为潮流方程关于x的雅克比矩阵，为潮流方程关于l的偏导数，为所要求出的切向量。

因为引入了参数λ，使得潮流方程增加了一个未知变量，为求得切向量，需要增加一个方程。局部参数法通过指定切向量中的某一分量为+1或-1来解决这一问题，所选定的分量为连续参数。这时的潮流方程为：

$\left(\begin{array}{ccc}{f}_x^{\prime }& & f_{\lambda }^{\prime }\\ & e_K& \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{d}_x\\ d_{\lambda }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ \pm 1\end{array}\right)$

式中，e_K为第K个元素为+1，其余元素均为0的行向量，其维数为2(n-1)+4nc+1。由于引入了一个附加方程，使得在临界运行点处雅克比矩阵非奇异。

上式牛拉法的修正方程为：

f_N＝-J_NΔx_N

式中，$f_N={[f_{\mathrm{ac}}^T,f_{\mathrm{ac}-\mathrm{dc}}^T,{f_{\mathrm{dc}}}^T,{f_{\lambda }}^T]}^T,$f_λ＝±1；

${\mathrm{\Delta x}}_N={[{\mathrm{\Delta x}}_{\mathrm{ac}}^T,{\mathrm{\Delta x}}_{\mathrm{ac}-\mathrm{dc}}^T,{\mathrm{\Delta x}}_{\mathrm{dc}}^T,{\mathrm{\Delta \lambda }}_l^T]}^T;$

Dx_ac＝[DU₁，Dq₁，…，DU_n，Dq_n]w^T；

Dx_ac-dc＝[DP_t1，DQ_t1，…，DP_tnc，DQ_tnc]^T；

Dx_dc＝[DU_d1，DI_d1，Dd₁，DM₁，…，DU_dnc，DI_dnc，Dd_nc，DM_nc]^T。

假设上式中所示的雅克比矩阵J_N的形式如下：

$J_N(x_{\mathrm{ac}},x_{\mathrm{ac}-\mathrm{dc}},x_{\mathrm{dc}},{\lambda }_l)=\left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cccc}\frac{{\partial f}_{\mathrm{ac}}}{{\partial x}_{\mathrm{ac}}}& \frac{{\partial f}_{\mathrm{ac}}}{{\partial x}_{\mathrm{ac}-\mathrm{dc}}}& \frac{{\partial f}_{\mathrm{ac}}}{{\partial x}_{\mathrm{dc}}}& \frac{{\partial f}_{\mathrm{ac}}}{{\partial \lambda }_l}\\ \frac{{\partial f}_{\mathrm{ac}-\mathrm{dc}}}{{\partial x}_{\mathrm{ac}}}& \frac{{\partial f}_{\mathrm{ac}-\mathrm{dc}}}{{\partial x}_{\mathrm{ac}-\mathrm{dc}}}& \frac{{\partial f}_{\mathrm{ac}-\mathrm{dc}}}{{\partial x}_{\mathrm{dc}}}& \frac{{\partial f}_{\mathrm{ac}-\mathrm{dc}}}{{\partial \lambda }_l}\\ \frac{{\partial f}_{\mathrm{dc}}}{{\partial x}_{\mathrm{ac}}}& \frac{{\partial f}_{\mathrm{dc}}}{{\partial x}_{\mathrm{ac}-\mathrm{dc}}}& \frac{{\partial f}_{\mathrm{dc}}}{{\partial x}_{\mathrm{dc}}}& \frac{{\partial f}_{\mathrm{dc}}}{{\partial \lambda }_l}\end{array}\right)\\ e_K^T\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cccc}{J}_{a-a}& 0& 0& J_{a-\lambda }\\ J_{\mathrm{ad}-a}& J_{\mathrm{ad}-\mathrm{ad}}& 0& J_{\mathrm{ad}-\lambda }\\ J_{d-a}& J_{d-\mathrm{ad}}& J_{d-d}& 0\end{array}\right)\\ e_K^T\end{array}\right)$

式中，J_N的维数为[2(n-1)+4nc+1]×[2(n-1)+6nc+1]，其中具体每个元素的详细计算公式可参见附录。

对于n节点系统，当其中含有nc个VSC时，共可列出2(n-1)+4nc+1个方程，其中共有2(n-1)+6nc+1变量，考虑到VSC-HVDC中VSC的常用控制方式不同，需要根据给定的控制方式消去对应的2nc个变量，具体修正方法如下：

(1)当第i个换流器采用定直流电压控制时，即U_di为确定值，则Dx_dc中去掉DU_di，J_d-d去掉对应的列；

(2)当第i个换流器采用定交流电压控制时，即U_ti为确定值，则Dx_ac去掉DU_ti，J_a-a去掉对应的列；

(3)当第i个换流器采用定有功功率控制时，即P_ti为确定量，则Dx_ac-dc去掉DP_ti，J_ad-a去掉对应的列；

(4)当第i个换流器采用定无功功率控制时，即Q_ti为确定量，则Dx_ac-dc去掉DQ_ti，J_ad-a去掉对应的列。

对交流系统中的直流节点的类型可按控制方式设为PQ、PV节点，功率和电压参数由设定值给出。

由下式计算出直流系统各变量的迭代初值：

$\left(\begin{array}{c}{U}_{\mathrm{dk}}^{\left(0\right)}=U_{\mathrm{dk}}^{\mathrm{ref}},(k\in \mathrm{CV})\\ U_{\mathrm{dk}}^{\left(0\right)}=U_{\mathrm{dk}}^N,(k\notin \mathrm{CV})\\ I_{\mathrm{dk}}^{\left(0\right)}=P_{\mathrm{tk}}/U_{\mathrm{dk}}^{\left(0\right)}\\ {\delta }_k^{\left(0\right)}=\arctan (P_{\mathrm{tk}}/(U_{\mathrm{tk}}^2/X_{\mathrm{Lk}}+U_{\mathrm{tk}}^2/X_{\mathrm{fk}}-Q_{\mathrm{tk}}))\\ M_k^{\left(0\right)}=(2\sqrt{6}/3)(P_{\mathrm{tk}}{X}_{\mathrm{Lk}}/\left(U_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}^{\left(0\right)}{\delta }_k^{\left(0\right)}\right))\end{array}\right)$

式中，CV表示第k个换流器为定直流电压控制，CV表示第k个换流器不属于定直流电压控制；上标0表示第0次迭代的初值，上标ref表示为设定值，上标N表示为额定值。

对于定直流电压控制的VSC，由于计算前直流系统损耗未知，P_tk可由下式估计得到：

通过以上分析确定出即得所预测的方向，可以计算预测值为：

$\left(\begin{array}{c}{x_{l+1}}^{\prime }\\ {{\lambda }_{l+1}}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_l\\ {\lambda }_l\end{array}\right)+h\left(\begin{array}{c}\mathrm{dx}\\ d_{\lambda }\end{array}\right)$

式中，是预测值，是一个近似解，其不在解曲线上；h为预测步长，其数值应使下一点的预测值落在收敛半径内，即在规定的连续潮流参数下潮流解存在。若对给定的步长，在下一个校正环节中潮流方程发散，则要减小步长，步长的极小值设为h_min(h_min为人为设定精度值)。

当|l′_l+1-1′_l|/l′_l＜e(e为人为设定的精度值)，系统达到临界状态，此时l′_l对应的工作点即为临界点，计算结束，并输出计算结果；若没有达到临界点，则执行下一步，进行校正，以求取精确解。

在校正环节中，将上面得到的预测值代入潮流方程f(x，λ)＝0，其迭代格式为：

$\left(\begin{array}{cc}{f}_x^{\prime }& f_{\lambda }^{\prime }\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Delta x}\\ \mathrm{\Delta \lambda }\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}f(x,\lambda )\\ 0\end{array}\right)$

若上述潮流计算收敛，则可以得到此次校正后的解曲线上的一个精确解，然后开始新的预测步进行预测。若此时潮流发散，再判断此时校正环节所采用牛拉法的迭代计算次数lc是否越限，若是，则减小步长h，使L＝L+1，返回重新进行迭代，采用垂直校正方法迭代求解，直到h减小到h＜h_min时为止；若l_c没有越限，则选择新的连续参数，采用水平校正方法对潮流方程求解，求出此时的精确解，将其作为新的预测初值，重新进行迭代，直到达到临界点。此时的迭代格式为：

$\left(\begin{array}{cc}{f}_x^{\prime }& f_{\lambda }^{\prime }\\ e_K^T& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{\Delta x}\\ \mathrm{\Delta \lambda }\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}f(x,\lambda )\\ 0\end{array}\right)$

随着负荷的连续增加，即可得到系统完整的P-U曲线。

附录

含VSC-HVDC的交直流混合系统潮流计算中，雅克比矩阵J_N各元素的具体表达式如下：

(1)J_a-a

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta P}}_{\mathrm{ai}}}{{\partial U}_j}=\left(\begin{array}{c}\text{-}\underset{p\in i,p\ne i}{\Sigma }{U}_p(G_{\mathrm{ip}}\cos {\theta }_{\mathrm{ip}}+B_{\mathrm{ip}}\sin {\theta }_{\mathrm{ip}})-2G_{\mathrm{ii}}{U}_i,(i=j)\\ -U_i(G_{\mathrm{ij}}\cos {\theta }_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}\sin {\theta }_{\mathrm{ij}}),(i\ne j)\end{array}---(1-1)\right)$

$\frac{\partial \Delta P_{\mathrm{ai}}}{\partial {\theta }_j}=\left(\begin{array}{cc}-U_i\underset{p\in i,p\ne i}{\Sigma }{U}_p(-G_{\mathrm{ip}}\sin {\theta }_{\mathrm{ip}}+B_{\mathrm{ip}}\cos {\theta }_{\mathrm{ip}})& (i=j)\\ -U_i{U}_j(G_{\mathrm{ij}}\sin {\theta }_{\mathrm{ij}}-B_{\mathrm{ij}}\cos {\theta }_{\mathrm{ij}})& (i\ne j)\end{array}\right)---(1-2)$

$\frac{\partial \Delta Q_{\mathrm{ai}}}{\partial U_j}=\left(\begin{array}{cc}-\underset{p\in i,p\ne i}{\Sigma }{U}_p(G_{\mathrm{ip}}\sin {\theta }_{\mathrm{ip}}-B_{\mathrm{ip}}\cos {\theta }_{\mathrm{ip}})+2B_{\mathrm{ii}}{U}_i& (i=j)\\ -U_i(G_{\mathrm{ij}}\sin {\theta }_{\mathrm{ij}}-B_{\mathrm{ij}}\cos {\theta }_{\mathrm{ij}})& (i\ne j)\end{array}---(1-3)\right)$

$\frac{\partial \Delta Q_{\mathrm{ai}}}{\partial {\theta }_j}=\left(\begin{array}{cc}-U_i\underset{p\in i,p\ne i}{\Sigma }{U}_p(G_{\mathrm{ip}}\cos {\theta }_{\mathrm{ip}}+B_{\mathrm{ip}}\sin {\theta }_{\mathrm{ip}})& (i=j)\\ U_i{U}_j(G_{\mathrm{ij}}\cos {\theta }_{\mathrm{ij}}+B_{\mathrm{ij}}\sin {\theta }_{\mathrm{ij}})& (i\ne j)\end{array}\right)---(1-4)$

(2)J_ad-a中元素的表达式与J_a-a中相应元素的表达式相同，此处不再叙述。

(3)J_ad-ad

$\frac{\partial \Delta P_{\mathrm{ti}}}{{\partial P}_{\mathrm{tj}}}=\frac{\partial \Delta Q_{\mathrm{ti}}}{\partial Q_{\mathrm{tj}}}=\left(\begin{array}{cc}-1& (i=j)\\ 0& (i\ne j)\end{array}\right)---(1-5)$

$\frac{\partial \Delta P_{\mathrm{ti}}}{\partial Q_{\mathrm{tj}}}=\frac{\partial \Delta Q_{\mathrm{ti}}}{\partial P_{\mathrm{tj}}}=0---(1-6)$

(4)J_d-a

$\frac{\partial \Delta d_{k1}}{{\partial U}_{\mathrm{ts}}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{6}}{4}{M}_k{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\cos ({\delta }_k+{\alpha }_k)-2U_{\mathrm{tk}}\left|Y\right|\cos {\alpha }_k& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-7)$

$\frac{\partial \Delta d_{k2}}{{\partial U}_{\mathrm{ts}}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{6}}{4}{M}_k{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\sin ({\delta }_k+{\alpha }_k)-2U_{\mathrm{tk}}\left|Y\right|\sin {\alpha }_k-\frac{2U_{\mathrm{tk}}}{X_{\mathrm{sk}}}& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-8)$

$\frac{\partial \Delta d_{k3}}{{\partial U}_{\mathrm{ts}}}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{6}}{4}{M}_k{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\cos ({\delta }_k-{\alpha }_k)& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-9)$

$\frac{\partial \Delta d_{k4}}{\partial U_{\mathrm{ts}}}=0---(1-10)$

(5)J_d-ad

$\frac{\partial \Delta d_{k1}}{\partial P_{\mathrm{ts}}}=\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k2}}{{\partial Q}_{\mathrm{ts}}}=\left(\begin{array}{cc}1& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-11)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k1}}{{\partial Q}_{\mathrm{ts}}}=\frac{\partial \Delta d_{k2}}{{\partial P}_{\mathrm{ts}}}=\frac{\partial \Delta d_{k3}}{{\partial P}_{\mathrm{ts}}}=\frac{\partial \Delta d_{k3}}{\partial Q_{\mathrm{ts}}}=\frac{\partial \Delta d_{k4}}{\partial P_{\mathrm{ts}}}=\frac{\partial \Delta d_{k4}}{\partial Q_{\mathrm{ts}}}=0---(1-12)$

(6)J_d-d

$\frac{\partial \Delta d_{k1}}{{\partial U}_{\mathrm{ds}}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{6}}{4}{M}_k{U}_{\mathrm{tk}}\left|Y\right|\cos ({\delta }_k+{\alpha }_k)& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-13)$

$\frac{\partial \Delta d_{k1}}{{\partial I}_{\mathrm{ds}}}=\frac{\partial \Delta d_{k2}}{{\partial I}_{\mathrm{ds}}}=0---(1-14)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k1}}{{\partial \delta }_s}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{6}}{4}{M}_k{U}_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\sin ({\delta }_k+{\alpha }_k)& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-15)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k1}}{{\partial M}_s}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{6}}{4}{U}_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\cos ({\delta }_k+{\alpha }_k)& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-16)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k2}}{{\partial U}_{\mathrm{ds}}}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{6}}{4}{M}_k{U}_{\mathrm{tk}}\left|Y\right|\sin ({\delta }_k+{\alpha }_k)& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-17)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k2}}{{\partial \delta }_s}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{6}}{4}{M}_k{U}_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\cos ({\delta }_k+{\alpha }_k)& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-18)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k2}}{{\partial M}_s}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{6}}{4}{U}_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\sin ({\delta }_k+{\alpha }_k)& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-19)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k3}}{{\partial U}_{\mathrm{ds}}}=\left(\begin{array}{cc}{I}_{\mathrm{dk}}-\frac{\sqrt{6}}{4}{M}_k{U}_{\mathrm{tk}}\left|Y\right|\cos ({\delta }_k+{\alpha }_k)+\frac{3}{4}{M}_k^2{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\cos {\alpha }_k& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-20)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k3}}{{\partial I}_{\mathrm{ds}}}=\left(\begin{array}{cc}{U}_{\mathrm{dk}}& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-21)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k3}}{{\partial \delta }_s}=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{6}}{4}{M}_k{U}_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\sin ({\delta }_k+{\alpha }_k)& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-22)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k3}}{{\partial M}_s}=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{6}}{4}{U}_{\mathrm{tk}}{U}_{\mathrm{dk}}\left|Y\right|\cos ({\delta }_k+{\alpha }_k)+\frac{3}{4}{M}_k{U}_{\mathrm{dk}}^2\left|Y\right|\cos {\alpha }_k& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-23)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k4}}{{\partial U}_{\mathrm{ds}}}=\left(\begin{array}{cc}-g_{\mathrm{dkk}}& (k=s)\\ -g_{\mathrm{dks}}& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-24)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k4}}{{\partial I}_{\mathrm{ds}}}=\left(\begin{array}{cc}1& (k=s)\\ 0& (k\ne s)\end{array}\right)---(1-25)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k4}}{{\partial \delta }_s}=\frac{{\partial \mathrm{\Delta d}}_{k4}}{{\partial M}_s}=0---(1-26)$

(7)J_a-l

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta P}}_{\mathrm{ai}}}{{\partial \lambda }_l}=P_{\mathrm{Gi}}-P_{\mathrm{Li}}---(1-27)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta Q}}_{\mathrm{ai}}}{{\partial \lambda }_l}=Q_{\mathrm{Gi}}-Q_{\mathrm{Li}}---(1-28)$

(8)J_ad-l

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta P}}_{\mathrm{ti}}}{{\partial \lambda }_l}=P_{\mathrm{Gi}}-P_{\mathrm{Li}}---(1-29)$

$\frac{{\partial \mathrm{\Delta Q}}_{\mathrm{ti}}}{{\partial \lambda }_l}=Q_{\mathrm{Gi}}-Q_{\mathrm{Li}}---(1-30)$