一种基于GSPN可靠性模型的可靠度分析方法

摘要

本发明公开了一种基于GSPN可靠性模型的可靠度分析方法，该方法有五大步骤：一、从GSPN模型的初态开始分析，将初始显态记录在可达矩阵ReachStaMat中；二、依次分析可达矩阵ReachStaMat中的每一状态，将每一状态可转移到的下一显态(集)记录到ReachStaMat中；三、由获得的矩阵GeneratMat求解连续时间马尔克夫链的转移速率矩阵；四、根据马尔克夫动态过程，由马尔克夫链的转移速率矩阵求解系统可靠度；五、分析结束。本发明是针对飞控系统GSPN可靠性模型的计算机自动化求解过程而提出的，这种方法节约了计算机的内存存储空间，提高了计算效率，同时也利于指出系统建模不当的地方。它在可靠性分析技术领域里具有实用价值和广阔的应用前景。

说明书

(一)技术领域

本发明涉及一种基于GSPN可靠性模型的可靠度分析方法，它主要针对于飞行控制系统的可靠性分析技术，属于可靠性分析技术领域。

(二)背景技术

对可靠性分析，国内外学者已做了大量研究，并提出了许多模型和方法，例如，可靠性框图、故障树分析法、故障模式及影响分析方法、马尔克夫和Petri网模型等。其中，Petri网兼有图形化建模能力和数学计算能力，适合于对异步并发系统的建模和分析，既可用于静态的结构分析，又可用于动态的行为分析。

随机Petri网(Stochastic Petri Nets，即SPN)在可靠性分析和性能分析中得到了广泛应用，随机Petri网的基本思想是：对每一个赋时变迁t，从其被使能开始到触发的时间是一个连续的随机变量ξ_t，ξ_t可以具有不同的分布，一般设其服从指数分布。文献中已经证明，若随机Petri网为K(某一常数)有界，且赋时变迁的延时服从指数分布函数，则随机Petri网模型与连续时间Markov链(Continuous Time Markov Chain，即CTMC)同构，且SPN的可达状态标识同CTMC的状态一一对应，可以应用马尔克夫随机过程求解，得到系统的可靠性特征量。马尔克夫随机过程的分析已经非常成熟，可以直接调用求解。

广义随机Petri网(Generalized Stochastic Petri Nets，即GSPN)的可达状态图同构于扩展的马尔克夫链(Extended Markov Chain，即EMC)，从扩展的马尔克夫链中消去全部消失状态，只剩下实存状态，然后定义一个简化的EMC(Reduced EMC，REMC)，至此即可以应用马尔克夫随机过程进行求解。

REMC的转移概率矩阵(即GSPN显态之间的转移概率矩阵)是由GSPN的状态转移概率矩阵P确定的，求解过程如下：

设GSPN的可达集为R，按照特性可以分为两个集合M_T和M_V，其中M_T为显状态，不能触发瞬态变迁；M_V为隐状态，使能包含瞬态变迁。对所有的状态进行重新排列，所有隐状态在前，显状态在后，则GSPN各状态之间相应的概率转移矩阵为：

$P=A+B=\left(\begin{array}{cc}{P}^{\mathrm{VV}}& P^{\mathrm{VT}}\\ 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ P^{\mathrm{TV}}& P^{\mathrm{TT}}\end{array}\right)---\left(1\right)$

上式中矩阵A反映了GSPN的瞬态变迁使能的情况下，系统由M_V转移到M_V(P^VV)或M_T(P^VT)的转移概率，矩阵B反映了赋时变迁被使能的情况下，系统由M_T转移到M_V(P^TV)或M_T(P^TT)的转移概率。系统显状态之间的转移概率矩阵为：

U＝P^TT+P^TV(I-P^VV)^-1P^VT                        (2)

由U可以构造连续时间马尔可夫链的转移速率矩阵Q，定义：

$q_{\mathrm{ij}}=\left(\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\Delta t}\to 0}{\lim }\frac{u_{\mathrm{ij}}\left(\mathrm{\Delta t}\right)}{\mathrm{\Delta t}}& i\ne j\\ \underset{\mathrm{\Delta t}\to 0}{\lim }\frac{u_{\mathrm{ij}}\left(\mathrm{\Delta t}\right)-1}{\mathrm{\Delta t}}& i=j\end{array}\right)---\left(3\right)$

则称q_ij为由显状态T_i到显状态T_j的转移速率，其中i，j∈[1，l]，l＝|M_T|。Q阵是以q_ij为元素的矩阵。

最后根据马尔克夫随机过程，由转移速率矩阵Q求解系统的可靠性概率分布。

以上所述算法在搜索GSPN的扩展可达状态集(Extended Reached Graph，ERG)时，将各状态之间的转移概率存于矩阵P的相应位置，P中元素既包含常数(瞬态变迁的触发概率)，也包括时间函数(赋时变迁的触发概率)，因此矩阵P以符号矩阵形式存储。随着系统建模部件数目的增加，系统状态空间呈指数级增长，符号矩阵P占据的存储空间迅速增加，甚至可能会超出计算机内存范围，无法完全存储，同时计算机的执行效率变得很差，计算机对符号矩阵的运算也需要花费很长时间。

在GSPN的可达图中全部由隐态标识组成的环定义为隐态环，根据环中某隐态是否可以转移到环外其它隐态或显态，将隐态环分为瞬态隐态环和吸收隐态环。当建模中存在吸收隐态环，即此环中所有隐态不能转移到环外其它隐态或显态时，认为建模错误。当系统建模存在隐态吸收环时，采用上述算法进行可靠度计算，式(2)无法计算，而且无法定位模型建模错误的地方，建模人员需要重新再详细检查一次系统模型。

本发明针对已有方法的上述缺点进行了改进。根据GSPN对应的CTMC常常具有大状态空间和稀疏转移速率矩阵的特点，采用在ERG搜索过程中消去隐态的方法。

(三)发明内容

1、目的：本发明的目的是提供一种基于GSPN可靠性模型的可靠度分析方法。由于同构的CTMC的状态空间随着飞控系统建模元素的增加呈指数级增长，而且状态转移速率矩阵具有稀疏的特点，因此采用在搜索GSPN的可达集过程中消去隐态，直接获得与此GSPN模型同构的CTMC的转移速率矩阵，即获得GSPN可达显态之间的转移速率矩阵。通过这种方法可以在计算机上以较小的空间直接存储GSPN模型的状态转移速率矩阵，通过计算机自动快速地进行马尔克夫过程的状态分析。

2、技术方案：本发明一种基于GSPN可靠性模型的可靠度分析方法，其实施对GSPN模型有以下要求：(1)GSPN模型的可达状态集有限；(2)GSPN模型中赋时变迁的触发概率服从指数分布函数分布函数中的实参数λ_t即是飞控系统元件的故障率，由于飞控系统可靠性要求较高，其数量级一般为10^-3以下；(3)本方法在计算机上使用Matlab软件实现，为保证计算效率，计算机要求具有CPU 2.80GHz、内存1G的基本配置。该方法具体步骤如下：

步骤一：从GSPN模型的初态开始分析，将初始显态记录在可达矩阵ReachStaMat中；

显态指只使能赋时变迁、不使能瞬态变迁的状态；隐态为使能包含瞬态变迁的状态。

步骤二：依次分析可达矩阵ReachStaMat中的每一状态，将每一状态可转移到的下一显态(集)记录到ReachStaMat中，并通过隐态消去的方法直接获得此状态转移到下一显态(集)的转移速率并存储到转移速率矩阵GeneratMat的相应位置；

定义id1为ReachStaMat中状态索引号，令id1＝1，

步骤二1：分析ReachStaMat的第id1个状态，记录id1显态下各使能变迁分别触发后转移到的状态及状态转移概率到TempStaMat和TeMpStaProb。依次分析TempStaMat中的每个状态，根据状态显隐态的判断，将显态记录到可达矩阵ReachStaMat，隐态记录在VashTransMat矩阵中进行再次触发分析；同时记录id1态向它可转移到的显态的转移速率到GeneratMat中。

设GSPN的扩展可达集R中，T为显态集，V为隐态集，i，j表示扩展可达集中的任意两显态，即i，j∈T，从显态i向显态j的转移包括①从i到j的一步转移概率；②从显态i沿着一条全部由隐态构成的中间状态的路径，从隐态r转移到显态j。则显态i向显态j的转移概率计算如下：

$u_{\mathrm{ij}}=f_{\mathrm{ij}}+\underset{r\in V}{\Sigma }{P}_r\left\{i\stackrel{r}{\to }j\right\}---\left(1\right)$

其中：f_ij表示从显态i到j的一步转移概率，表示显态i沿着全部由隐态构成的中间状态，从隐态r首次转移到显态j的概率，其中路径可以包括任意步数。

由转移概率u_ij构造连续时间马尔克夫链的转移速率q_ij，当i≠j，根据得：

$q_{\mathrm{ij}}=\underset{\mathrm{\Delta t}\to 0}{\lim }\frac{f_{\mathrm{ij}}+\underset{r\in V}{\Sigma }{P}_r\left\{i\stackrel{r}{\to }j\right\}}{\mathrm{\Delta t}}---\left(2\right)$

$=\underset{\mathrm{\Delta t}\to 0}{\lim }\frac{f_{\mathrm{ij}}}{\mathrm{\Delta t}}+\underset{r\in V}{\Sigma }\underset{\mathrm{\Delta t}\to 0}{\lim }\frac{P_r\left\{i\stackrel{r}{\to }j\right\}}{\mathrm{\Delta t}}=q_{\mathrm{ij}\left(1\right)}+\underset{r\in V}{\Sigma }{q}_{\mathrm{ij}\left(r\right)}$

其中：q_ij为由显态i向显态j的转移速率，q_ij(1)为显态i到显态j的一步转移速率，q_ij(r)为显态i经过隐态r转移到显态j的转移速率。连续时间马尔克夫链的状态转移速率矩阵Q是以q_ij为元素的矩阵。

分析ReachStaMat的第id1个状态可首次转移到的显态以及获得转移速率的具体步骤流程如下：

定义id2为TempStaMat中状态索引号，令id2＝1，

步骤二1.1：分析TempStaMat中的第id2个状态，判断id2态下使能变迁是否全部为瞬态变迁，如果是，则此状态为隐态，转至步骤二1.3执行；否则为显态，转至步骤二1.2。

步骤二1.2：状态id2为显态，记录此显态到ReachStaMat和id1到id2的一步转移速率到GeneratMat。

将此显态添加在可达阵ReachStaMat前判断此显态是否已经记录在可达阵ReachStaMat中，若已记录，则不需要再次添加；

显态id1转移到此显态id2的转移概率为TempStaProb_id2，根据式(2)，由获得显态id1到显态id2的一步转移速率q_ij(1)。将q_ij(1)添加到GeneratMat之前判断GeneratMat的相应位置是否已经存储了转移速率，若没有存储，直接添加；若已经存储，设q_ij(原来)表示存储位置上原来存储的转移速率，执行q_ij(原来)+q_ij(1)，并将结果存储到相应位置。转至步骤二1.4。

步骤二1.3：状态id2为隐态，将此隐态记录在隐态转移矩阵VashTransMat中的第一列，分析系统经过id2隐态可首次转移到的显态。

定义m为VashTransMat中状态索引号，令m＝1，

步骤二1.3.1：分析VashTransMat的第m状态，

若此状态为显态，则不进行分析，转至步骤二1.3.2；

若此状态为隐态，根据隐态m下使能的瞬态变迁的优先级设置，触发优先级最高的瞬态变迁，并将触发后的系统状态进行是否存储判断后添加到VashTransMat中；同时记录m状态到此状态的转移概率到VashTransProb中的相应位置，矩阵VashTransProb是与VashTransMat中状态对应的状态转移概率矩阵。

步骤二1.3.2：判断是否已经对VashTransMat中所有状态进行了分析，如果否，执行m＝m+1，分析VashTransMat的下一个状态，转至步骤二1.3.1；如果是，顺序执行。

步骤二1.3.3：分析转移概率矩阵VashTransProb，判断是否存在隐态吸收环。

从隐态id2开始的可达状态集为VashTransMat，将可达集分为两个集合M_T显态和M_V隐态，对所有的状态进行重新排列，所有隐状态在前(隐态id2依旧放在第一列)，显状态在后，转移概率矩阵VashTransProb根据可达集各状态位置之间的变换也相应的进行了重新排列，位置排列之后的转移概率矩阵为：

$P_{\mathrm{vash}}=\left(\begin{array}{cc}{P_v}^{\mathrm{VV}}& {P_v}^{\mathrm{VT}}\end{array}\right)$

其中和分别表示矩阵VashTransMat包含的状态中隐态到隐态和隐态到显态的转移概率。

设I表示与同维数的单位矩阵，判断矩阵是否奇异，

若矩阵奇异，则从隐态id2开始触发之后系统存在隐态吸收环，建模错误，算法退出；转至步骤五。

若矩阵非奇异，则系统不存在隐态吸收环。将可达显态M_T添加到ReachStaMat矩阵之前，首先判断ReachStaMat中是否已经记录了显态M_T，若没有记录，则直接将显态M_T添加到ReachStaMat。

以下计算显态id1经过隐态id2转移到显态M_T的转移概率U_vash为：

$U_{\mathrm{vash}}={(I-{P_v}^{\mathrm{VV}})}^{-1}{P_v}^{\mathrm{VT}}$

转移概率矩阵U_vash中与隐态id2对应的行向量(即第一行U_{vash(1，：)})为隐态id2转移到VashTransMat中显态集M_T的转移概率。行向量TempStaProb_id2*U_{vash(1，：)}为显态id1经过隐态id2转移到显态M_T的转移概率。根据式(2)，由获得显态id1经过隐态id2转移到显态M_T的转移速率q_ij(r)。

将q_ij(r)添加到GeneratMat之前判断GeneratMat的相应位置是否已经存储了转移速率，若没有存储，直接添加；若已经存储，则执行q_ij(原来)+q_ij(r)，并存储到相应位置。

步骤二1.3.4：清空临时矩阵VashTransMat和VashTransProb，节约存储空间。

步骤二1.4：判断是否对临时矩阵TempStaMat中的状态全部分析完成，若是，则清空临时矩阵TempStaMat和TempStaProb，顺序执行；若否，则执行id2＝id2+1，转至步骤二1.1执行。

步骤二2：判断是否分析完ReachStaMat中的所有状态，若是，则顺序执行；若否，执行id1＝id1+1，转至步骤二1执行。

步骤三：由至此获得的矩阵GeneratMat求解连续时间马尔克夫链的转移速率矩阵；

连续时间马尔克夫链的转移速率矩阵中，每行元素之和均为零，即l为马尔克夫过程的状态数目。至此，经过以上算法后存储的矩阵GeneratMat中只包含了不同状态之间的转移速率，即非对角线元素。根据由矩阵GeneratMat求解状态转移到自身的转移速率。

步骤四：根据马尔克夫动态过程，由马尔克夫链的转移速率矩阵求解系统可靠度。

设可达阵ReachStaMat的列数为l，概率向量P(t)＝(p₁(t)，p₂(t)，...，p_l(t))，其中p_i(t)为系统处于状态T_i的瞬态概率，则有下面的微分方程成立：

$\left(\begin{array}{c}({p^{\prime }}_1\left(t\right),{p^{\prime }}_2\left(t\right),...,{p^{\prime }}_l\left(t\right))=(p_1\left(t\right),p_2\left(t\right),...,p_l\left(t\right))*\mathrm{GeneratMat}\\ P\left(0\right)=[p_1\left(0\right),p_2\left(0\right),...,p_l\left(0\right)]\end{array}\right)---\left(3\right)$

系统在初始时刻的状态标识为T_i的概率为p_i(0)，由系统的结构以及初始时刻的条件确定P(0)。求解上面的微分方程，获得每个显态的瞬态概率。由系统的失效状态集合求解系统失效概率，则得系统可靠度。

步骤五：方法说明书结束。

本发明可以利用计算机自动快速对所建飞控系统GSPN可靠性模型进行马尔克夫过程的状态分析，求解系统相关的可靠性指标。

3、优点及功效：此方法相对于以前算法具有以下优点：

(1)采用在可达集搜索过程中消去隐态的方法，隐态标识和瞬态变迁的触发概率只用来计算显态之间的触发速率，并不进行保存，节约了计算机存储空间；(2)算法直接以稀疏矩阵的形式存储REMC的转移速率矩阵(即GSPN显态之间的转移速率矩阵)，不需要存储符号矩阵P，因此不需要对P阵进行计算，提高了执行效率，缩短执行时间；(3)搜索ERG的过程中对经过隐态的触发过程进行单独分析，可以直接定位出现隐态吸收环的建模错误区域，提示给建模人员，供建模人员参考修改。

此方法针对于飞控系统GSPN可靠性模型的可靠度分析，同时对其它系统也具有适用性。

(四)附图说明

图1可靠度分析方法的流程图

图中符号说明如下：

ReachStaMat：系统可达显态矩阵；GeneratMat：显态的转移速率矩阵；

TempStaMat：显态一次转移到的状态矩阵；

TempStaProb：与TempStaMat中状态对应的转移概率矩阵；

VashTransMat：从隐态开始可转移到的状态矩阵；

VashTransProb：与VashTransMat中状态对应的转移概率矩阵；

q_ij(原来)：矩阵GeneratMat的(i，j)位置上原来存储的转移速率值；

q_ij(1)：显态之间的一步转移速率；q_ij(r)：显态经过一系列隐态转移到下一显态的转移速率；

id1：ReachStaMat中状态索引号；id2：TempStaMat中状态索引号；m：VashTransMat中状态索引号。

(五)具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步说明：

本方法的实施对GSPN模型有以下要求：(1)GSPN模型的可达状态集有限；(2)GSPN模型中赋时变迁的触发概率服从指数分布函数分布函数中的实参数λ_t即是飞控系统元件的故障率，由于飞控系统可靠性要求较高，其数量级一般为10^-3以下；(3)本方法在计算机上使用Matlab软件实现，为保证计算效率，计算机的基本配置为CPU 2.80GHz、内存1G。

见图1，本发明一种基于GSPN可靠性模型的可靠度分析方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：从GSPN模型的初态开始分析，将初始显态记录在可达矩阵ReachStaMat中；

显态不能触发瞬态变迁，隐态使能包含瞬态变迁。状态标识以列向量存储，可达矩阵ReachStaMat中按列依次存放系统的可达显态，矩阵ReachStaMat中添加状态标识时是向矩阵右侧以列向量添加。转移速率矩阵GeneratMat以稀疏矩阵形式存储，将矩阵中元素即各状态之间的转移速率添加到矩阵的相应位置时，此位置的行号为转移前的显态位于ReachStaMat中的索引号，列号为转移到的显态位于ReachStaMat中的索引号。同样，算法中使用的其它的状态矩阵与状态转移概率矩阵的对应关系同上。

步骤二：依次分析可达矩阵ReachStaMat中的每一状态，将每一状态可转移到的下一显态(集)记录到ReachStaMat中，并通过隐态消去的方法直接获得此状态转移到下一显态(集)的转移速率并存储到转移速率矩阵GeneratMat的相应位置；

定义id1为ReachStaMat中状态索引号，令id1＝1，

步骤二1：分析ReachStaMat的第id1个状态，记录id1显态下各使能变迁分别触发后转移到的状态及状态转移概率到TempStaMat和TempStaProb。依次分析TempStaMat中的每个状态，根据状态显隐态的判断，将显态记录到可达矩阵ReachStaMat，隐态记录在VashTransMat矩阵中进行再次触发分析；同时记录id1态向它可转移到的显态的转移速率到GeneratMat中。

分析矩阵ReachStaMat的第id1个状态，获得此状态下的使能变迁(全部为赋时变迁)，将各使能变迁分别进行触发，触发之后转移到的状态按列依次存于临时矩阵TempStaMat中，此显态id1转移到矩阵TempStaMat中各个状态的转移概率相对应的存于行向量TempStaProb中。

以下过程分析ReachStaMat的第id1个状态可首次转移到的显态以及求解转移速率。

定义id2为TempStaMat中状态索引号，令id2＝1，

步骤二1.1：分析TempStaMat中的第id2个状态，判断id2态下使能变迁是否全部为瞬态变迁，如果是，则此状态为隐态，转至步骤二1.3执行；否则为显态，转至步骤二1.2。

步骤二1.2：状态id2为显态，记录显态id2到ReachStaMat，以及id1到id2的一步转移速率到GeneratMat。

将此显态id2添加在可达阵ReachStaMat前判断此显态是否已经记录在可达阵ReachStaMat中，若已记录，则不需要再次添加；

显态id1转移到此显态id2的转移概率为TempStaProb_id2，根据式(2)，由获得显态id1到显态id2的一步转移速率q_ij(1)。将q_ij(1)添加到GeneratMat之前判断GeneratMat的相应位置是否已经存储了转移速率，若没有存储，直接添加；若已经存储，执行q_ij(原来)+q_ij(1)，并将其结果替代q_ij(原来)存储到相应位置。转至二1.4。

步骤二1.3：状态id2为隐态，将此隐态记录在隐态转移矩阵VashTransMat中的第一列，分析系统经过id2隐态可首次转移到的显态。

定义m为VashTransMat中状态索引号，令m＝1，

步骤二1.3.1：分析VashTransMat的第m状态，

若此状态为显态，则不进行分析，转至步骤二1.3.2；

若此状态为隐态，根据隐态m下使能的瞬态变迁的优先级设置，触发优先级最高的瞬态变迁，并将触发后的系统状态添加到VashTransMat列尾，同样添加之前检查此状态是否已经记录；同时记录m状态到此状态的转移概率到VashTransProb中的相应位置，矩阵VashTransProb是与VashTransMat中状态对应的转移概率矩阵。

步骤二1.3.2：判断是否已经对VashTransMat中所有状态进行了分析，如果否，执行m＝m+1，分析VashTransMat的下一个状态，转至步骤二1.3.1；如果是，顺序执行。

步骤二1.3.3：分析转移概率矩阵VashTransProb，判断是否存在隐态吸收环。

将隐态id2开始的可达状态集VashTransMat分为两个集合M_T显态和M_V隐态，对状态进行重新排列，隐状态在前(隐态id2依旧放在第一列)，显状态在后，转移概率矩阵VashTransProb也进行相应的排列，位置排列之后的转移概率矩阵为：

$P_{\mathrm{vash}}=\left(\begin{array}{cc}{P_v}^{\mathrm{VV}}& {P_v}^{\mathrm{VT}}\end{array}\right)$

例如：隐态id2标识为[1 1 0]′，隐态转移矩阵转移概率矩阵其中，[1 1 0]′，[1 0 1]′∈M_V，[011]′∈M_T。

将VashTransMat中状态显隐态重新排列后为转移概率矩阵其中，

设I表示与同维数的单位矩阵，判断矩阵是否奇异，

若矩阵奇异，则从隐态id2开始触发之后系统存在隐态吸收环，建模错误，算法退出；转至步骤五。

若矩阵非奇异，则系统不存在隐态吸收环。将可达显态M_T添加到ReachStaMat矩阵之前，首先判断ReachStaMat中是否已经记录了显态M_T，若没有记录，则直接将显态M_T添加到ReachStaMat。

计算显态id1经过隐态id2转移到显态M_T的转移概率U_vash为：

$U_{\mathrm{vash}}={(I-{P_v}^{\mathrm{VV}})}^{-1}{P_v}^{\mathrm{VT}}$

矩阵U_vash的第一行记为U_{vash(1，：)}，为隐态id2转移到显态集M_T的转移概率。显态id1经过隐态id2转移到显态M_T的转移概率计算为：

                TempStaProb_id2*U_{vash(1，：)}

计算显态id1经过隐态id2转移到显态M_T的转移速率q_ij(r)为：

$q_{\mathrm{ij}\left(r\right)}=\underset{\mathrm{\Delta t}\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{TempStaProb}}_{\mathrm{id}2}*U_{\mathrm{vash}(1,:)}}{\mathrm{\Delta t}}$

将q_ij(r)添加到GeneratMat之前判断GeneratMat的相应位置是否已经存储了转移速率，若没有存储，直接添加；若已经存储，则执行q_ij(原来)+q_ij(r)，并存储到相应位置。

步骤二1.3.4：清空临时矩阵VashTransMat和VashTransProb，节约存储空间。

步骤二1.4：判断是否对临时矩阵TempStaMat中的状态全部分析完成，若是，则清空临时矩阵TempStaMat和TempStaProb，顺序执行；若否，则执行id2＝id2+1，转至步骤二1.1执行。

步骤二2：判断是否分析完ReachStaMat中的所有状态，若是，则顺序执行；若否，执行id1＝id1+1，转至步骤二1执行。

步骤三：由至此获得的矩阵GeneratMat求解连续时间马尔克夫链的转移速率矩阵；

根据由矩阵GeneratMat每行的非对角线元素求得对角线元素，并存储到GeneratMat相应的对角线位置上，至此，获得与GSPN同构的连续时间马尔克夫链的转移速率矩阵GeneratMat。

步骤四：根据马尔克夫动态过程，由马尔克夫链的转移速率矩阵求解系统可靠度。

设可达阵ReachStaMat的列数为l，概率向量P(t)＝(p₁(t)，p₂(t)，...，p_l(t))，其中p_i(t)为系统处于状态T_i的瞬态概率，则有下面的微分方程成立：

$\left(\begin{array}{c}({p^{\prime }}_1\left(t\right),{p^{\prime }}_2\left(t\right),...,{p^{\prime }}_l\left(t\right))=(p_1\left(t\right),p_2\left(t\right),...,p_l\left(t\right))*\mathrm{GeneratMat}\\ P\left(0\right)=[p_1\left(0\right),p_2\left(0\right),...,p_l\left(0\right)]\end{array}\right)---\left(3\right)$

系统在初始时刻的状态标识为T_i的概率为p_i(0)，由系统的结构以及初始时刻的条件确定P(0)。求解上面的微分方程，获得每个显态的瞬态概率。若系统状态为M_f时系统失效，其中f∈[1，l]，则系统的失效概率系统的可靠度

步骤五：方法说明书结束。

通过以上方法，在系统可达集搜索过程中进行隐态的消去，直接获得与GSPN同构的连续时间马尔克夫链的转移速率矩阵；将显态之间的转移速率分解成以下两种情况下的转移速率之和，即一步转移速率和显态经过一系列隐态转移到另一显态的转移速率。这种方法节约了计算机的内存存储空间，提高了计算效率，同时也利于指出系统建模不当的地方。