一种预测20辊轧机轧件截面形状的方法

摘要

一种预测20辊轧机轧件截面形状的方法，属于轧制技术领域，包括以下步骤：下载20辊轧机的相关参数的数据；划分单元并建立相对坐标系；计算轧件的初始轧制压力和计算辊系之间的角度；建立相邻两个轧辊之间每一个单元的协调函数，由轧辊S和O、轧辊S和P、轧辊O和I、轧辊O和J、轧辊P和J、轧辊P和K、轧辊I和A、轧辊I和B、轧辊J和B、轧辊J和C、轧辊K和C、轧辊K和D之间单元的协调函数组成CEM矩阵，求解轧辊间的压力值和轧辊S的挠曲和压扁；比较前后两次各单元处轧制压力的变化，当前后两次计算的轧制压力之差在0.5和1之间时结束。本发明可以准确分析、预测多辊轧机轧制过程轧件截面形状，精度高。

说明书

技术领域

本发明属于轧制技术领域，具体涉及一种预测20辊轧机轧件截面形状的方法。

背景技术

森吉米尔轧机由20个轧辊组成，分别为支撑辊(A、B、C、D、E、F、G和H辊)、第二中间辊(I、J、K、L、M和N辊)、第一中间辊(O、P、Q和R辊)和工作辊(S和T辊)。其中，A、B、C、D、I、J、K、O、P、S辊为轧机的上半部分。图1所示为森吉米尔轧机的上半部分辊系布置图。20辊森吉米尔轧机由于工作辊直径小、刚度大，广泛应用于冷轧不锈钢带、硅钢带、高精度及极薄钢带和有色金属高精度带材的轧制。轧制过程多种原因会导致轧制产品不合格，人们越来越希望能够准确地对轧制过程轧件变形行为进行预测，掌握各种因素对轧件变形行为的影响。其中，准确的预测轧制过程中轧件截面形状是科研工作者和工程师们一直努力的目标。如果轧件截面形状不合格，将直接导致产品成为废品。随着计算机技术的发展，数值分析方法在分析轧制问题中得到越来越多的应用，开发出用来准确预测轧件截面形状的数值模型具有重要的意义。但是由于森吉米尔轧机由20个轧辊组成，结构复杂，还没有较为准确的预测轧件截面形状的方法。

发明内容

针对现有技术的不能准确预测轧件截面形状的不足之处，本发明提出了一种预测20辊轧机轧件截面形状的方法，用来准确分析、预测多辊轧机轧制过程轧件截面形状的数值分析方法。

本发明的预测20辊轧机轧件截面形状的方法，步骤如下：

1)下载20辊轧机的相关参数的数据，并输入这些参数的数据。参数包括包括AS-U辊位置、第一中间辊窜辊量、第一中间辊锥度、第一中间辊锥度长度、轧辊A直径、轧辊I直径和辊身长度、轧辊O直径和辊身长度、轧辊S直径和辊身长度、轧件入口厚度、轧件出口厚度、轧件宽度、摩擦系数、弹性模量、平均变形抗力、泊松比、后张力和前张力；其中轧件的平均厚度，为轧制前后轧件厚度的平均值，即轧件入口厚度和轧件出口厚度的平均值；轧制过程中轧件的平均单位张力(MPa)，为前后张力平均值。

2)划分单元并建立相对坐标系

对20辊轧机的所有轧辊之间接触处以及轧件与工作辊之间的接触处分别划分等份单元，并以与单元相接触处的两辊分别建立两个相对坐标；

单元划分以轧件与工作辊或工作辊与第一中间辊之间的接触长度为基准，同时每一个单元均有建立有两个不同的相对坐标。当单元在轧件与工作辊之间时，一个相对坐标以轧件宽度为基准，一个相对坐标以工作辊为基准。当单元在工作辊与第一中间辊之间时，一个相对坐标以工作辊为基准，另一个相对坐标以第一中间辊为基准。单元的宽度以轧辊间或轧辊与轧件之间的接触长度为基准。由于森吉米尔轧机轧件宽度、工作辊辊身长度、第一中间辊辊身长度、第二中间辊辊身长度、支撑辊辊身长度均不相同，所以，各层的单元宽度均不相同。

对轧辊之间接触处进行单元划分，各单元宽度为：

$\left(\begin{array}{cc}{W}_{\mathrm{XY}}=\frac{W_X}{N}& (W_X\le W_Y)\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中W_XY表示轧辊X与轧辊Y之间的单元宽度，W_X表示轧辊X宽度；W_Y表示轧辊Y宽度；

根据式(2)，对轧辊间的单元进行划分，各处的单元宽度用W_SO，W_SP，W_OI，W_OJ，W_PJ，W_PK，W_IA，W_IB，W_JB，W_JC，W_KC和W_KD表示。

对轧辊之间的单元I建立两个相对坐标C_XY(I)和C_YX(I)，由式(4)求得：

C_XY(I)＝(W_X-W_Y)/20+(I-0.5)W_XY

                               (W_X>W_Y)         (4)

C_YX(I)＝(I-0.5)W_XY

其中C_XY(I)表示在轧辊X和Y之间的单元I以轧辊X为基准建立的相对坐标；

    C_YX(I)表示在轧辊X和Y之间的单元I以轧辊Y为基准建立的相对坐标。

根据式(4)，建立轧辊与轧件之间和轧辊与轧辊之间的相对坐标，它们是：C_SS(I)，C_SO(I)，C_OS(I)，C_SP(I)，C_PS(I)，C_OI(I)，C_IO(I)，C_OJ(I)，C_JO(I)，C_PJ(I)，C_JP(I)，C_PK(I)，C_KP(I)，C_IA(I)，C_AI(I)，C_IB(I)，C_BI(I)，C_JB(I)，C_BJ(I)，C_JC(I)，C_CJ(I)，C_KC(I)，C_CK(I)，C_KD(I)，C_DK(I)。

3)计算轧件的初始轧制压力Q_SS(1)，Q_SS(2)，Q_SS(3)，...，Q_SS(i)，...，Q_SS(N)和辊系之间的角度；

假设森吉米尔轧机轧制过程中每一处接触长度被分成N个单元，每一个单元上存在一个集中力。它们是：

轧辊S与轧件之间的轧制压力：Q_SS(1)，Q_SS(2)，Q_SS(3)，...，Q_SS(i)，...，Q_SS(N)。

辊间压力：Q_SO(I)，Q_SP(I)，Q_OI(I)，Q_OJ(I)，Q_PJ(I)，Q_PK(I)，Q_IA(I)，Q_IB(I)，Q_JB(I)，Q_JC(I)，Q_KC(I)，Q_KD(I)。

其中，Q_XY(I)代表在轧辊X与轧辊Y之间在C_XY(I)处的单元上的辊间压力。

在上述13N个载荷中，轧制压力由斯通公式求得(式(5))求得，为已知条件，而辊间压力为未知量。

$P_{\mathrm{CP}}=f(K,T_{\mathrm{CP}},f,L,H_{\mathrm{CP}})=(K-T_{\mathrm{CP}})\frac{e^{\frac{\mathrm{fL}}{H_{\mathrm{CP}}}}-1}{\frac{\mathrm{fL}}{H_{\mathrm{CP}}}}---\left(5\right)$

其中，K是轧件的平均变形抗力(MPa)；

      H_CP是轧制变形区内轧件的平均厚度，为轧制前后轧件厚度的平均值；

      T_CP是轧制过程中轧件的平均单位张力(MPa)，为前后张力平均值；

      f是摩擦系数；

      L是考虑了轧辊弹性压扁的接触弧长的水平投影，由式(6)求得。

$L=\sqrt{R(H_0-H_1)+{\left[\frac{8R(1-{\sigma }^2)}{\mathrm{\pi E}}\right]}^2{P_{\mathrm{CP}}}^2}+\frac{8R(1-{\sigma }^2)}{\mathrm{\pi E}}{P}_{\mathrm{CP}}---\left(6\right)$

      σ是材料的泊松比；

      E是材料的弹性模量；

      H₀、H₁为轧制前后轧件厚度；

      R是工作辊半径。

计算辊系之间的角度(见图1)，采用式(7)～(18)。辊系之间的角度通过已有公式计算。

其中，X_A～X_S为轧辊A～S的辊心的X坐标；

      Y_A～Y_S为轧辊A～S的辊心的Y坐标；

      R_A～R_S为轧辊A～S的半径。

轧辊辊心的X、Y坐标由轧辊半径和轧辊A～D之间距离决定。

4)建立相邻两个轧辊之间的协调函数，组成CEM矩阵，求解轧辊间的压力值和轧辊S的挠曲和压扁；

在轧制过程中，辊系中的每一个接触单元相对于彼此接触的两个实体具有相同的变形。在这个基础上，构建轧件变形与辊系变形的变形协调方程。

式(19)所示为轧件与工作辊之间的变形协调方程：

H_SLAB(i)-C_HSLAB(i)＝D_s(i)-K_s+Z_s′(i)        (19)

其中H_SLAB(I)是轧件与工作辊之间的第I个单元位置轧件出口厚度；

    C_HSLAB(I)是轧件与工作辊之间的第I个单元位置轧辊的初始辊缝；

    D_S(I)是轧件与工作辊之间的第I个单元位置轧辊S的挠曲；

    K_S是轧辊S的刚性位移；

    Z_S’(I)是轧件与工作辊之间的第I个单元位置工作辊的弹性压扁；

式(20)所示为轧辊S与轧辊O之间的变形协调方程：

D_SO(i)-Z_SO(i)＝D_OS(i)+Z_OS(i)          (20)

其中D_SO(I)是轧辊S与轧辊O之间的接触元I位置轧辊S沿SO方向的挠曲；

    Z_SO(I)是轧辊S与轧辊O之间的接触元I位置轧辊S发生的弹性压扁；

    D_OS(I)是轧辊S与轧辊O之间的接触元I位置轧辊O沿SO方向的挠曲；

    Z_SO(I)是轧辊S与轧辊O之间的接触元I位置轧辊O发生的弹性压扁。

根据式(20)，同样建立轧辊S和P、轧辊O和I、轧辊O和J、轧辊P和J、轧辊P和K、轧辊I和A、轧辊I和B、轧辊J和B、轧辊J和C、轧辊K和C、轧辊K和D之间的变形协调方程。

建立CEM函数矩阵

根据辊系变形协调方程、轧辊挠曲方程、轧辊压扁方程及辊系的结构，构建辊系的函数矩阵。所述的CEM矩阵，由轧辊S和O、轧辊S和P、轧辊O和I、轧辊O和J、轧辊P和J、轧辊P和K、轧辊I和A、轧辊I和B、轧辊J和B、轧辊J和C、轧辊K和C、轧辊K和D之间单元的协调函数组成CEM矩阵，

式(21)所示为轧辊S与轧辊O之间单元的协调函数：

$Q_{\mathrm{SP}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{SP}}\times g(-\cos \left({\alpha }_B\right),C_{\mathrm{SP}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{SP}}))+Q_{\mathrm{SP}}\left(I\right)\times F_{\mathrm{SP}}\left(I\right)=$     (1≤I≤N)       (21)

$\underset{J=1}{\overset{N}{\Sigma }}(Q_{\mathrm{SP}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{SP}}\times g(\cos \left({\alpha }_B\right),C_{\mathrm{PS}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{PS}})+$

其中，I_ZS是轧辊S的惯性距；

      I_ZO是轧辊O的惯性距；

      F_SO是轧辊S与轧辊O接触处轧辊S的弹性压扁；

      F_OS是轧辊S与轧辊O接触处轧辊O的弹性压扁；

      g(I，J)是轧辊挠曲函数，由式(22)求得。

$g(F,a,L,E,I_Z,x)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\mathrm{Fbx}}{6{\mathrm{EI}}_{Z}L}(x^2-L^2+b^2)& (0\le x<a)\\ -\frac{\mathrm{Fbx}}{{6\mathrm{EI}}_{Z}L}(x^2-L^2+b^2)+\frac{\mathrm{Fb}}{{6\mathrm{EI}}_Z}{(x-a)}^3& (a\le x\le L)\end{array},\right)---\left(22\right)$

其中，F为集中力；

      L为辊身长度；

      a为集中力作用位置相对于轧辊一端的长度；

      b为集中力作用位置相对于轧辊另一端的长度；

      I_Z为轧辊的惯性距。

      F_SO(I)是辊间压扁函数，由式(23)求得。

$B^2=\frac{4}{\pi }\times \frac{R_k\times R_k\prime }{R_k+R_k\prime }\times (\frac{1-{{\sigma }_k}^2}{E_k}+\frac{1-{{\sigma }_k\prime }^2}{E_k\prime })\times P$                         (23)

$\Delta =\frac{2P}{\pi }\times \left[\frac{1-{\sigma }_{k}2}{E_K}(\ln (\frac{{2R}_K}{B}+0.407)+\frac{1-{\sigma }_k\prime 2}{E_K\prime }\left(\ln (\frac{{2R}_K\prime }{B}+0.407)\right)\right]$

其中，B是辊间压扁接触长度的一半；

      R_K，R_K’分别是接触的两个轧辊的半径；

      E_K，E_K’是轧辊的弹性模量；

      σ_K，σ_K’是轧辊的泊松比；

      P是辊间压力。

      式(21)可以简化为式(24)：

F_O(j)×W×g(i，j)+F_O(i)×F_L(i)＝Constant  (1≤j≤12N)    (24)

其中F_O(J)为第J单元的辊间压力；

    W为单元宽度；Cons tant为常量；

    g(I，J)为F_O(J)的影响系数；

    F_L(I)为第I单元处的辊间压扁系数。

式(25)～(35)为轧辊S和P、轧辊O和I、轧辊O和J、轧辊P和J、轧辊P和K、轧辊I和A、轧辊I和B、轧辊J和B、轧辊J和C、轧辊K和C、轧辊K和D之间的变形协调函数，共11N个。

●轧辊S和P之间单元的协调函数

$Q_{\mathrm{SP}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{SP}}\times g(-\cos \left({\alpha }_B\right),C_{\mathrm{SP}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{SP}}))+Q_{\mathrm{SP}}\left(I\right)\times F_{\mathrm{SP}}\left(I\right)=$           (1≤I≤N)        (25)

$\underset{J=1}{\overset{N}{\Sigma }}(Q_{\mathrm{SP}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{SP}}\times g(\cos \left({\alpha }_B\right),C_{\mathrm{PS}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{PS}})+$

●轧辊O和I之间单元的协调函数

$Q_{\mathrm{OI}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{OI}}\times g(-\cos \left({\alpha }_C\right),C_{\mathrm{OI}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{OI}})+$

    (1≤I≤N)       (26)

$\underset{J=1}{\overset{N}{\Sigma }}(Q_{\mathrm{OI}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{OI}}\times g(\cos \left({\alpha }_C\right),C_{\mathrm{IO}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{IO}})+$

●轧辊O和J之间单元的协调函数

$Q_{\mathrm{OJ}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{OJ}}\times g(-\cos \left({\alpha }_D\right),C_{\mathrm{OJ}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{OJ}}))+Q_{\mathrm{OJ}}\left(I\right)\times F_{\mathrm{OJ}}\left(I\right)=$

$\left(\begin{array}{cc}\underset{J=1}{\overset{N}{\Sigma }}(Q_{\mathrm{OJ}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{OJ}}\times g(\cos \left({\alpha }_D\right),C_{\mathrm{JO}}\left(j\right),{\Phi }_{\mathrm{JO}})+& (1\le I\le N)\end{array},\right)---\left(27\right)$

●轧辊P和J之间单元的协调函数

$Q_{\mathrm{PJ}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{PJ}}\times g(-\cos \left({\alpha }_E\right),C_{\mathrm{PJ}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{PJ}})+$

$Q_{\mathrm{PJ}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{PJ}}\times g(\cos \left({\alpha }_E\right),C_{\mathrm{JP}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{JP}})+$

●轧辊P和K之间单元的协调函数

$Q_{\mathrm{PK}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{PK}}\times g(-\cos \left({\alpha }_F\right),C_{\mathrm{PK}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{PK}}))+Q_{\mathrm{PK}}\left(I\right)\times F_{\mathrm{PK}}\left(I\right)=$        (1≤I≤N)     (29)

$\underset{J=1}{\overset{N}{\Sigma }}(Q_{\mathrm{PK}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{PK}}\times g(\cos \left({\alpha }_F\right),C_{\mathrm{KP}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{KP}})+$

●轧辊I和A之间单元的协调函数

$\left(\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{IA}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{IA}}\times g(-\cos \left({\alpha }_G\right),C_{\mathrm{IA}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{IA}})+& (1\le I\le N)\end{array},\right)---\left(30\right)$

$\underset{J=1}{\overset{N}{\Sigma }}{Q}_{\mathrm{IA}}\left(j\right)\times W_{\mathrm{IA}}\times g(\cos \left({\alpha }_G\right),C_{\mathrm{AI}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{AI}})+Q_{\mathrm{IA}}\left(I\right)\times F_{\mathrm{AI}}\left(I\right)$

●轧辊I和B之间单元的协调函数

$\left(\begin{array}{cc}{Q}_{\mathrm{IB}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{IB}}\times g(-\cos \left({\alpha }_H\right),C_{\mathrm{IB}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{IB}})+Q_{\mathrm{IB}}\left(I\right)\times F_{\mathrm{IB}}\left(I\right)=& (1\le I\le N)\end{array},\right)---\left(31\right)$

$\underset{J=1}{\overset{N}{\Sigma }}(Q_{\mathrm{IB}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{IB}}\times g(\cos \left({\alpha }_H\right),C_{\mathrm{BI}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{BI}})+$

●轧辊J和B之间单元的协调函数

$Q_{\mathrm{JB}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{JB}}\times g(-\cos \left({\alpha }_I\right),C_{\mathrm{JB}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{JB}})+$                        (1≤I≤N)       (32)

$Q_{\mathrm{JB}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{JB}}\times g(\cos \left({\alpha }_I\right),C_{\mathrm{BJ}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{BJ}}))+Q_{\mathrm{JB}}\left(I\right)\times F_{\mathrm{BJ}}\left(I\right)$

●轧辊J和C之间单元的协调函数

                 (1≤I≤N)        (33)

$Q_{\mathrm{JC}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{JC}}\times g(-\cos \left({\alpha }_J\right),C_{\mathrm{JC}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{JC}}))+Q_{\mathrm{JC}}\left(I\right)\times F_{\mathrm{JC}}\left(I\right)=$

$\underset{J=1}{\overset{N}{\Sigma }}(Q_{\mathrm{JC}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{JC}}\times g(\cos \left({\alpha }_J\right),C_{\mathrm{CJ}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{CJ}})+$

●轧辊K和C之间单元的协调函数

$Q_{\mathrm{KC}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{KC}}\times g(-\cos \left({\alpha }_K\right),C_{\mathrm{KC}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{KC}})+$

$Q_{\mathrm{KC}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{KC}}\times g(\cos \left({\alpha }_K\right),C_{\mathrm{CK}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{CK}}))+Q_{\mathrm{KC}}\left(I\right)\times F_{\mathrm{CK}}\left(I\right)$

●轧辊K和D之间单元的协调函数

            (1≤I≤N)   (35)

$Q_{\mathrm{KD}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{KD}}\times g(-\cos \left({\alpha }_L\right),C_{\mathrm{KD}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{KD}}))+Q_{\mathrm{KD}}\left(I\right)\times F_{\mathrm{KD}}\left(I\right)=$

$\underset{J=1}{\overset{N}{\Sigma }}{Q}_{\mathrm{KD}}\left(J\right)\times W_{\mathrm{KD}}\times g(\cos \left({\alpha }_L\right),C_{\mathrm{DK}}\left(J\right),{\Phi }_{\mathrm{DK}})+Q_{\mathrm{KD}}\left(I\right)\times F_{\mathrm{DK}}\left(I\right)$

根据方程(21)和(25)～(25)，一共有12N个未知参数，和12N个协调函数，建立接触元双坐标法协调函数矩阵(CEM矩阵)：

[A][X]＝[B]                     (36)

5)对轧件上任一单元处求解轧制压力和轧件截面形状，比较前后两次各单元处轧制压力的变化，当前后两次计算的轧制压力之差在0.5和1之间，结束，

否则，返回步骤(3)。

采用数值分析方法，求解矩阵(36)，获得辊系之间的辊间压力值Q_SO(I)，Q_SP(I)，Q_OI(I)，Q_OJ(I)，Q_PJ(I)，Q_PK(I)，Q_IA(I)，Q_IB(I)，Q_JB(I)，Q_JC(I)，Q_KC(I)，Q_KD(I)。

通过Q_SO(I)、Q_SP(I)和轧制压力Q_SS(I)，计算轧辊S的挠曲和压扁。因为轧辊S与轧件之间紧密接触，因此，通过轧件上各个单元的厚度值获得轧件的截面形状。

本发明的有益效果：可以精确地预测不同轧制条件下20辊轧机轧制过程中轧件截面形状，而且操作方便，精度高。

附图说明

图120辊森吉米尔轧机辊系分布图；

图2轧辊单元划分示意图；

图3(a)一种AS—U辊位置时轧件截面形状的预测结果图(b)一种AS—U辊位置时轧件截面形状的预测结果图；

图4(a)第一中间辊横移位值(A)下轧件截面形状图，(b)第一中间辊锥角(B)下轧件截面形状图，(c)第一中间辊下锥角长度(C)轧件截面形状图；

图5本发明的软件流程图。

具体实施方式：

结合附图对本发明做进一步描述：

如图1所示，20辊森吉米尔轧机辊系分布图，由20个轧辊组成，分别为支撑辊(A、B、C、D、E、F、G和H辊)、第二中间辊(I、J、K、L、M和N辊)、第一中间辊(O、P、Q和R辊)和工作辊(S和T辊)。其中，A、B、C、D、I、J、K、O、P、S辊为轧机的上半部分。

本发明的预测20辊轧机轧件截面形状的方法，图5为本发明的软件流程图，本发明的步骤如下：

1)下载20辊轧机的相关参数的数据；

表1所示为分析过程中采用的基本参数的数据。

表1 轧制条件和计算参数

2)划分单元并建立相对坐标

对20辊轧机的所有轧辊之间接触处以及轧件与工作辊之间的接触处分别划分等份单元，并以与单元相接触处的两辊分别建立相对坐标；

单元划分以轧件与工作辊或工作辊与第一中间辊之间的接触长度为基准，同时每一个单元均有建立有两个不同的相对坐标。当单元在轧件与工作辊之间时，一个相对坐标以轧件宽度为基准，一个相对坐标以工作辊为基准。当单元在工作辊与第一中间辊之间时，一个相对坐标以工作辊为基准，另一个相对坐标以第一中间辊为基准。单元的宽度以轧辊间或轧辊与轧件之间的接触长度为基准。由于森吉米尔轧机轧件宽度、工作辊辊身长度、第一中间辊辊身长度、第二中间辊辊身长度、支撑辊辊身长度均不相同，所以，各层的单元宽度均不相同。

对轧辊之间接触处进行单元划分，各单元宽度为：

$\left(\begin{array}{cc}{W}_{\mathrm{XY}}=\frac{W_X}{N}& (W_X\le W_Y)\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中W_XY表示轧辊X与轧辊Y之间的单元宽度。

根据式(2)，对轧辊间的单元进行划分，各处的单元宽度用W_SO，W_SO，W_OI，W_OJ，W_PJ，W_PK,W_IA，W_IB，W_JB，W_JC，W_KC和W_KD表示。

对轧辊之间的单元I建立两个相对坐标C_XY(I)和C_YX(I)，由式(4)求得：

C_XY(I)＝(W_X-W_Y)/20+(I-0.5)W_XY

                                     (W_X>W_Y)      (4)

C_YX(I)＝(I-0.5)W_XY

其中C_XY(I)表示在轧辊X和Y之间的单元I以轧辊X为基准建立的相对坐标；

    C_YX(I)表示在轧辊X和Y之间的单元I以轧辊Y为基准建立的相对坐标。

根据式(4)，建立轧辊与轧件之间和轧辊与轧辊之间的相对坐标，它们是：C_SST(I)，C_SO(I)，C_OS(I)，C_SP(I)，C_PS(I)，C_OI(I)，C_IO(I)，C_OJ(I)，C_JO(I)，C_PJ(I)，C_JP(I)，C_PK(I)，C_KP(I)，C_IA(I)，C_AI(I)，C_IB(I)，C_BI(I)，C_JB(I)，C_BJ(I)，C_JC(I)，C_CJ(I)，C_KC(I)，C_CK(I)，C_KD(I)，C_DK(I)。

图2所示为轧件与工作辊、工作辊与第一中间辊之间的单元划分形式。从图中可以看出，单元划分以轧件与工作辊或工作辊与第一中间辊之间的接触长度为基准，同时每一个单元均有建立有两个不同的相对坐标。当单元在轧件与工作辊之间时，一个相对坐标以轧件宽度为基准，一个相对坐标以工作辊为基准。当单元在工作辊与第一中间辊之间时，一个相对坐标以工作辊为基准，另一个相对坐标以第一中间辊为基准。与此同时，单元划分过程中，轧件与工作辊之间的单元数量可以不同于工作辊与第一中间辊之间的单元数量。而且，两者的单元划分形式可以不相同。图中所示轧件与工作辊之间的单元宽度以一定的比例增加，而工作辊与第一中间辊之间的单元宽度是相同的。

其中：W_OS：第一中间辊O与工作辊S之间接触长度；

      C_SO(I)：以工作辊为基准单元I的相对坐标；

      C_OS(I)：以第一中间辊为基准单元I的相对坐标；

      W_SS：工作辊与轧件之间接触长度；

      C_STS(J)：以轧件为基准单元J的相对坐标；

      C_SST(J)以工作辊为基准单元J的相对坐标。

单元的宽度以轧辊间或轧辊与轧件之间的接触长度为基准。由于森吉米尔轧机轧件宽度、工作辊辊身长度、第一中间辊辊身长度、第二中间辊辊身长度、支撑辊辊身长度均不相同，所以，各层的单元宽度均不相同。式(1)所示为轧件与工作辊之间的单元宽度。

$W_{\mathrm{SS}}=\frac{W_{\mathrm{ST}}}{N}---\left(1\right)$

其中，W_SS表示轧件与轧辊S之间的单元宽度；

      W_ST表示轧件的宽度(由于工作辊长度必须大于轧件宽度)；

      N表示轧件与轧辊之间的单元综述。

对轧辊之间接触处进行单元划分，各单元宽度为：

$\left(\begin{array}{cc}{W}_{\mathrm{XY}}=\frac{W_X}{N}& (W_X\le W_Y)\end{array}\right)---\left(2\right)$

其中W_XY表示轧辊X与轧辊Y之间的单元宽度。

根据式(2)，对轧辊间的单元进行划分，各处的单元宽度用W_SO，W_SP，W_OI，W_OJ，W_PJ，W_PK，W_IA，W_IB，W_JB，W_JC，W_KC和W_KD表示。

从图1中可以看出，工作辊与轧件之间的单元I具有两个相对坐标C_SST(I)和C_STS(I)，由式(3)求得：

C_SST(I)＝(W_S-W_ST)/2.0+(I-0.5)W_SS

                                     (W_S>W_ST)(3)

C_STS(I)＝(I-0.5)W_SS

其中，C_SST(I)是轧辊S与轧件之间的单元I以轧辊S为基准建立的相对坐标；

      C_STS(I)是轧辊S与轧件之间的单元I以轧件为基准建立的相对坐标。

3)计算轧件的初始轧制力；

假设森吉米尔轧机轧制过程中每一处接触长度被分成N个单元，每一个单元上存在一个集中力。它们是：

轧辊S与轧件之间的轧制压力：Q_SS(1)，Q_SS(2)，Q_SS(3)，...，Q_SS(i)，...，Q_SS(N)。

辊间压力：Q_SO(I)，Q_SP(I)，Q_OI(I)，Q_OJ(I)，Q_PJ(I)，Q_PK(I)，Q_IA(I)，Q_IB(I)，Q_JB(I)，Q_JC(I)，Q_KC(I)，Q_KD(I)。

其中，Q_XY(I)代表在轧辊X与轧辊Y之间在C_XY(I)处的单元上的辊间压力。

在上述13N个载荷中，轧制压力由斯通公式求得(式(5))求得，为已知条件，而辊间压力为未知量。

$P_{\mathrm{CP}}=f(K,T_{\mathrm{CP}},f,L,H_{\mathrm{CP}})=(K-T_{\mathrm{CP}})\frac{e^{\frac{\mathrm{fL}}{H_{\mathrm{CP}}}}-1}{\frac{\mathrm{fL}}{H_{\mathrm{CP}}}}---\left(5\right)$

其中，K是轧件的平均变形抗力(MPa)；

      H_CP是轧制变形区内轧件的平均厚度，为轧制前后轧件厚度的平均值；

      T_CP是轧制过程中轧件的平均单位张力(MPa)，为前后张力平均值；

      f是摩擦系数；

      L是考虑了轧辊弹性压扁的接触弧长的水平投影，由式(6)求得。

          $L=\sqrt{R(H_0-H_1)+{\left[\frac{8R(1-{\sigma }^2)}{\mathrm{\pi E}}\right]}^2{P_{\mathrm{CP}}}^2}+\frac{8R(1-{\sigma }^2)}{\mathrm{\pi E}}{P}_{\mathrm{CP}}---\left(6\right)$

      σ是材料的泊松比；

      E是材料的弹性模量；

      H₀、H₁为轧制前后轧件厚度；

      R是工作辊半径。

4)建立相邻两个轧辊之间的协调函数，组成CEM矩阵，求解轧辊间的压力

采用数值分析方法，求解矩阵(36)，获得辊系之间的辊间压力值Q_SO(I)，Q_SP(I)，Q_OI(I)，Q_OJ(I)，Q_PJ(I)，Q_PK(I)，Q_IA(I)，Q_IB(I)，Q_JB(I)，Q_JC(I)，Q_KC(I)，Q_KD(I)。

通过Q_SO(I)、Q_SP(I)和轧制压力Q_SS(I)，计算轧辊S的挠曲和压扁。因为轧辊S与轧件之间紧密接触，因此，通过轧件上各个单元的厚度值获得轧件的截面形状。

对轧制压力、轧件截面形状进行叠代，当两次叠代的轧制压力小于某一数值时(如0.5、1)，认为计算结果稳定，获得最终的轧制轧件截面形状。图5所示的判断条件，前后两次轧制压力之差的常数Const在0.5和1之间，结束。采用上述方法，对轧制过程轧件截面形状进行预测，图3所示为不同AS—U辊位置时轧件截面形状的预测结果。

图4所示为不同第一中间辊横移位值(A)、锥角(B)、锥角长度(C)下轧件截面形状。