输电系统线路单长参数的确定方法

摘要

本发明涉及输电系统线路单长参数的确定方法。其利用线路杆塔结构和导线自身结构形成的几何参数矩阵，并在其基础上修正单长线路电阻和电感，具体包括有如下步骤：(1)进行几何参数的预处理，计算仅由线路几何参数决定的矩阵B；(2)计算基本电位系数矩阵P，电容C和理想电感矩阵Li：(3)计算大地修正电感矩阵Le和电阻矩阵Re：(4)计算导体修正电感矩阵LC和电阻矩阵RC。本发明由于采用一种具有较高的Carson数值积分法来实现线路单长参数计算，它不仅具有明确的对应物理意义，与此同时，通过相模变换可以方便地得到对称分量法需要得到的数据量。本发明是一种实现高精度和更广频率的计算的输电系统线路单长参数的确定方法。

说明书

技术领域：

本发明涉及输电系统线路单长参数的确定方法，属于输电系统线路单长参数的确定方法的创新技术。

背景技术：

目前，线路单长参数的计算，传统的方法多采用查Carson积分表的方法进行求解，由于Carson积分表的离散性，以及积分表给出的数据的限制，不便于进行对线路单长参数高精度和更广频率的计算，对于存在线路网络的阻抗扫描等都极为不方便，因此，能够采用不进行查Carson积分表方式，而是直接利用Carson数值积分法来实现，对于程序实现和计算精度都很有利。随着电力系统的发展，传统的对称分量法受到了很多方面的约束，如故障电机各序网不独立(存在互感)，且序参数难于计算，使对称分量法难以应用等，使得对称分量法在某些特殊条件下不能使用，因而如何采用更通用的线路模型，也备受关注。

发明内容：

本发明的目的在于考虑上述问题而提供一种实现高精度和更广频率的计算的输电系统线路单长参数的确定方法。

本发明解决上述技术问题的技术解决方案是：其利用线路杆塔结构和导线自身结构形成的几何参数矩阵，并在其基础上修正单长线路电阻和电感，具体包括有如下步骤：

(1)进行几何参数的预处理，计算仅由线路几何参数决定的矩阵B；

(2)计算基本电位系数矩阵P，电容C和理想电感矩阵Li：

(3)计算大地修正电感矩阵L_e和电阻矩阵R_e：

(4)计算导体修正电感矩阵L_C和电阻矩阵R_C。

上述仅由线路几何参数决定的矩阵B的元素为：

$b_{\mathrm{ij}}=\ln \frac{D_{\mathrm{ij}}}{d_{\mathrm{ij}}}$i，j＝1，2，3，4(1)

其中1、2分别表示两相导线，3、4表示架空地线，

式中D_ij------为i导线到j导线的镜像之间的距离。

d_ij------当i≠j时，为i，j导线间的距离；

当i＝j时，为单导线的半径r₀或多分裂导线的等效半径r；

$r=\sqrt[n]{r_0{s}^{n-1}M},$$M=\frac{n}{{\left[2\sin (\mathrm{\π}/n)\right]}^{n-1}}---\left(2\right)$

其中n为分裂根数，r₀为每个单导线半径，s为分裂导线间的距离。长度单位均为米，

D_ij，d_ij的意义同上，如有d₁₃＝d₃₁，D₃₂＝D₂₃关系，则B是一个对称矩阵；

计算大地修正电阻和修正电感中的Carson积分，还要预先计算各导线到自身镜像的连线与该导线到其它导线的镜像的连线之间的夹角θ₃₂。所有这些角构成一个四阶方程Θ，其主对角线元素全部为零，它也是一个对称阵。

上述基本电位系数矩阵P，理想电感矩阵Li分别为：

基本电位系数矩阵P为：

$P=\frac{1}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}B---\left(3\right)$

其中ε_O-----空气的介电常数(法/米)

理想电感矩阵L_i为：

$L_i=\frac{u_0}{2\mathrm{\π}}B---\left(4\right)$

其中u₀------空气的导磁率(4π×10^-7亨/米)。

上述大地修正电感矩阵L_e和电阻矩阵R_e为：

$R_e=\frac{\mathrm{\ω}{u}_0}{2\mathrm{\π}}\left\{2E\right\}---\left(5\right)$

$L_e=\frac{u_0}{2\mathrm{\π}}\left\{2F\right\}---\left(6\right)$

其中ω为角频率，E和F分别由Carson积分的实部和虚部构成的4阶方阵；Carson积分为

$J(r,\mathrm{\θ})\text{=E+jF=}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}(\sqrt{t^2+j}-t)e^{-\mathrm{tr}\cos \mathrm{\θ}}\cos \left(\mathrm{tr}\sin \mathrm{\θ}\right)\mathrm{dt}$这

里的r，θ是Carson积分的两个变量；θ即为前面的夹角矩阵的各元素；而r由下面定义：

$r_{\mathrm{ij}}=\sqrt{\frac{\mathrm{\ω}{u}_0}{{\mathrm{\ρ}}_0}}{D}_{\mathrm{ij}}---\left(8\right)$

这里ρ₀------土壤的电阻率(欧*米)

Carson积分可用数值方法求得：

通用的计算方法为：

$E_{\mathrm{ij}}=\frac{\mathrm{\π}}{8}(1-S4)+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{2}{\mathrm{\γ}{r}_{\mathrm{ij}}}\right)S2+\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}S1-\frac{S5}{\sqrt{2}}+\frac{S6}{2}+\frac{S7}{\sqrt{2}}$

(9)

$F_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{2}{{\mathrm{\γr}}_{\mathrm{ij}}}\right)(1-S4)-\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}S3+\frac{S5}{\sqrt{2}}-\frac{\mathrm{\πS}2}{8}+\frac{S7}{\sqrt{2}}-\frac{S8}{2}$

(10)

式中γ＝1.7811，是Euler常数；

$S_1=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_n\sin (4n+2){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$$S_2=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_n\cos (4n+2){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$

$S_3=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{c}_n\sin (4n+4){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$$S_4=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{c}_n\cos (4n+4){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$

$S_5=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{e}_n\cos (4n+1){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$$S_6=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{g}_n{a}_n\cos (4n+2){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$

$S_7=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{f}_n\cos (4n+3){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$$S_8=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{h}_n{c}_n\cos (4n+4){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$

S1～S8表达式中的系数又分别为：

$a_n=\frac{-a_{n-1}}{2n{(2n+1)}^2(2n+2)}{\left(\frac{r_{\mathrm{ij}}}{2}\right)}^4$$a_0=\frac{{r_{\mathrm{ij}}}^2}{8}$

$c_n=\frac{-c_{n-1}}{(2n+1){(2n+2)}^2(2n+3)}{\left(\frac{r_{\mathrm{ij}}}{2}\right)}^4$$b_0=\frac{{r_{\mathrm{ij}}}^4}{192}$

$e_n=\frac{-e_{n-1}}{(4n-1){(4n+1)}^2(4n+3)}{r_{\mathrm{ij}}}^4$$e_0=\frac{r_{\mathrm{ij}}}{3}$

$f_n=\frac{-f_{n-1}}{(4n+1){(4n+3)}^2(4n+5)}{r_{\mathrm{ij}}}^4$$f_0=\frac{{r_{\mathrm{ij}}}^3}{45}$

$g_n=g_{n-1}+\frac{1}{4n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{4n+4}$$g_0=\frac{5}{4}$

$h_n=h_{n-1}+\frac{1}{4n+2}+\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{4n+6}$$h_0=\frac{5}{3}$

当r_ij≤5时，n取5已能得到5位有效数字的结果；

上述导体修正电感矩阵Lc和电阻矩阵Rc为：

单导线导体的内阻抗表达式为：

$Z_c=\frac{K}{2\mathrm{\π}{r}_0\mathrm{\δ}}\·\frac{J_0\left(K{r}_0\right)}{J_1\left(K{r}_0\right)},$$K=\sqrt{-\mathrm{j\ωu\δ}}---\left(11\right)$

这里u是导体之磁导率，δ是导体之电导率，r₀为导体之半径，ω为角频率；

若令$x=\sqrt{\mathrm{\ωu\δ}}\·r_0---\left(12\right)$

则$Z_c=\frac{\sqrt{-j}x}{2\mathrm{\π}{r_0}^2\mathrm{\δ}}\·\frac{J_0\left(\sqrt{-j}x\right)}{J_1\left(\sqrt{-j}x\right)}=\frac{x}{2}\·\frac{1}{\mathrm{\π}{r_0}^2\mathrm{\δ}}\·\frac{J_0\left(\sqrt{-j}x\right)}{\sqrt{j}{J}_1\left(\sqrt{-j}x\right)}$

令$J_0\left(\sqrt{-j}x\right)=b{r}_0\left(x\right)+\mathrm{jb}{i}_0\left(x\right)$

$\sqrt{j}{J}_1\left(\sqrt{-j}x\right)=b{r}_1\left(x\right)+\mathrm{jb}{i}_1\left(x\right)$

则$R_c=\frac{x}{2}\·\frac{b{r}_0\left(x\right)b{r}_1\left(x\right)+b{i}_0\left(x\right)b{i}_1\left(x\right)}{b{r_1}^2\left(x\right)+b{i_1}^2\left(x\right)}\·\left(\frac{1}{\mathrm{\π}{r_0}^2\mathrm{\δ}}\right)---\left(13\right)$

$L_c=\frac{4}{x}\·\frac{b{i}_0\left(x\right)b{r}_1\left(x\right)-b{r}_0\left(x\right)b{i}_1\left(x\right)}{b{r_1}^2\left(x\right)+b{i_1}^2\left(x\right)}\·\left(\frac{u}{8\mathrm{\π}}\right)---\left(14\right)$

因为$J_0\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^k{(x/2)}^{2k}}{k!\·k!}$

$J_1\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^k{(x/2)}^{2k+1}}{k!\·(k+1)!}$

因此$J_0\left(\sqrt{-j}x\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n}}{\left(2n\right)!\left(2n\right)!}+j\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n+2}}{(2n+1)!(2n+1)!}$

$\sqrt{j}{J}_1\left(\sqrt{-j}x\right)=\frac{x}{2}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n}}{\left(2n\right)!(2n+1)!}+j\frac{x}{2}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n+2}}{(2n+1)!(2n+2)!}$

故$b{r}_0\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n}}{\left(2n\right)!\left(2n\right)!}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{A}_n$

$b{i}_0\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n+2}}{(2n+1)!(2n+1)!}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{B}_n$

$b{r}_1\left(x\right)=\frac{x}{2}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n}}{\left(2n\right)!(2n+1)!}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{C}_n$

$b{i}_1\left(x\right)=\frac{x}{2}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n+2}}{(2n+1)!(2n+2)!}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_n$

各项的递推公式为

$A_n=-A_{n-1}\·\frac{x^4}{{\left(4n\right)}^2{(4n-2)}^2}$A₀＝1

$B_n=-B_{n-1}\·\frac{x^4}{{\left(4n\right)}^2{(4n+2)}^2}$$B_0=\frac{x^2}{4}$

$C_0=\frac{x}{2}$

$D_n=-D_{n-1}\·\frac{x^4}{{\left(4n\right)}^2{(4n+2)}^2(4n+4)}$$D_0=\frac{x^3}{16}$

根据经验：

当x＜7时，取n＝5

7≤x＜13时，取n＝8

13≤x＜20时，取n＝13

20≤x＜30时，取n＝17

30≤x＜40时，取n＝20

可以得到有5位有效数字的结果。

R_c和L_c表达式中的u和δ应分别采用绞线的实际值，或采用厂家提供的直流电阻来代替上式的；另外，δ可根据绞线的有效面积和直流电阻求出。

本发明由于采用一种具有较高的Carson数值积分法来实现线路单长参数计算，它不仅具有明确的对应物理意义，与此同时，通过相模变换可以方便地得到对称分量法需要得到的数据量。本发明是一种实现高精度和更广频率的计算的输电系统线路单长参数的确定方法。

附图说明：

图1为本发明输电线路的几何参数示意图；

图2为本发明输电线路的计算模型。

具体实施方式：

实施例：

本发明线路单长参数计算方法如下：

基本阻抗矩阵Z可表示为

Z＝R+jωL

其中R＝R_e+R_c

L＝L_i+L_e+L_c

式中：

L_i——理想电感矩阵，是认为导线是理想导体且是一条理想几何线(即直径0)，并认为大地为理想导体情况下导线的自感和互感。

L_e，R_e——大地修正电感矩阵和电阻矩阵，是考虑大地电阻影响的修正项，它们都是频率的函数。

L_c，R_c——导体修正电感矩阵和电阻矩阵，即导体的内阻抗，它不仅计及导线的直流电阻和内电感，也反映了趋肤效应的影响，因而也是频率的函数。L_C，R_C也是对角矩阵。

下面把参数计算的步骤归纳如下：

(1)几何参数的预处理：

计算基本电位系数矩阵P和理想电感矩阵L_i需要一个仅由线路几何参数决定的矩阵B。对于图1的线路结构来说，B是一个4阶方阵。

若以1、2分别表示两相导线，3、4表示架空地线，则B的元素为：

$b_{\mathrm{ij}}=\ln \frac{D_{\mathrm{ij}}}{d_{\mathrm{ij}}}$i，j＝1，2，3，4(1)

式中D_ij------为i导线到j导线的镜像之间的距离。

d_ij------当i≠j时，为i，j导线间的距离；

当i＝j时，为单导线的半径r₀或多分裂导线的等效半径r；

$r=\sqrt[n]{r_0{s}^{n-1}M},$$M=\frac{n}{{\left[2\sin \right(\mathrm{\π}/n\left)\right]}^{n-1}}---\left(2\right)$

其中n为分裂根数，r₀为每个单导线半径，s为分裂导线间的距离。长度单位均为米。

D_ij，d_ij的意义参见输电线路几何参数示意图。从图1中还可以看出，由于有d₁₃＝d₃₁，D₃₂＝D₂₃等关系，B是一个对称矩阵。

计算大地修正电阻和修正电感中的Carson积分，还要预先计算各导线到自身镜像的连线与该导线到其它导线的镜像的连线之间的夹角θ₃₂，见图1。所有这些角构成一个四阶方程Θ，其主对角线元素全部为零，它也是一个对称阵。

(2)基本电位系数矩阵P，电容C和理想电感矩阵Li：

基本电位系数矩阵P为：

$P=\frac{1}{2\mathrm{\π}{\mathrm{\ϵ}}_0}B---\left(3\right)$

其中ε₀------空气的介电常数(法/米)

电容C的求解将在后面进行消元过程中求解。

理想电感矩阵L_i为：

$L_i=\frac{u_0}{2\mathrm{\π}}B---\left(4\right)$

其中u₀------空气的导磁率(4π×10^-7亨/米)。

(3)大地修正电感矩阵L_e和电阻矩阵R_e：

$R_e=\frac{\mathrm{\ω}{u}_0}{2\mathrm{\π}}\left\{2E\right\}---\left(5\right)$

$L_e=\frac{u_0}{2\mathrm{\π}}\left\{2F\right\}---\left(6\right)$

其中ω为角频率，E和F分别由Carson积分的实部和虚部构成的4阶方阵。Carson积分为

$J(r,\mathrm{\θ})=E+\mathrm{jF}=\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}(\sqrt{t^2+j}-t)e^{-\mathrm{tr}\cos \mathrm{\θ}}\cos \left(\mathrm{tr}\sin \mathrm{\θ}\right)\mathrm{dt}$这里的r，θ是Carson积分的两个变量。θ即为前面的夹角矩阵的各元素。而r由下面定义：

$r_{\mathrm{ij}}=\sqrt{\frac{\mathrm{\ω}{u}_0}{{\mathrm{\ρ}}_0}}{D}_{\mathrm{ij}}---\left(8\right)$

这里ρ₀------土壤的电阻率(欧*米)

Carson积分可用数值方法求得：

通用的计算方法为：

$E_{\mathrm{ij}}=\frac{\mathrm{\π}}{8}(1-S4)+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{2}{\mathrm{\γ}{r}_{\mathrm{ij}}}\right)S2+\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}S1-\frac{S5}{\sqrt{2}}+\frac{S6}{2}+\frac{S7}{\sqrt{2}}$

(9)

$F_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ln \left(\frac{2}{\mathrm{\γ}{r}_{\mathrm{ij}}}\right)(1-S4)-\frac{1}{2}{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}S3+\frac{S5}{\sqrt{2}}-\frac{\mathrm{\πS}2}{8}+\frac{S7}{\sqrt{2}}-\frac{S8}{2}$

(10)

式中γ＝1.7811，是Euler常数。

$S_1=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_n\sin (4n+2){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$$S_2=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_n\cos (4n+2){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$

$S_3=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{c}_n\sin (4n+4){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$$S_4=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{c}_n\cos (4n+4){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$

$S_5=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{e}_n\cos (4n+1){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$$S_6=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{g}_n{a}_n\cos (4n+2){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$

$S_7=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{f}_n\cos (4n+3){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$$S_8=\underset{n=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{h}_n{c}_n\cos (4n+4){\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ij}}$

S1～S8表达式中的系数又分别为：

$a_n=\frac{-a_{n-1}}{2n{(2n+1)}^2(2n+2)}{\left(\frac{r_{\mathrm{ij}}}{2}\right)}^4$$a_0=\frac{{r_{\mathrm{ij}}}^2}{8}$

$c_n=\frac{-c_{n-1}}{(2n+1){(2n+1)}^2(2n+3)}{\left(\frac{r_{\mathrm{ij}}}{2}\right)}^4$$b_0=\frac{{r_{\mathrm{ij}}}^4}{192}$

$e_n=\frac{-e_{n-1}}{(4n-1){(4n+1)}^2(4n+3)}{r_{\mathrm{ij}}}^4$$e_0=\frac{r_{\mathrm{ij}}}{3}$

$f_n=\frac{-f_{n-1}}{(4n+1){(4n+3)}^2(4n+5)}{r_{\mathrm{ij}}}^4$$f_0=\frac{{r_{\mathrm{ij}}}^3}{45}$

$g_n=g_{n-1}+\frac{1}{4n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{4n+4}$$g_0=\frac{5}{4}$

$h_n=h_{n-1}+\frac{1}{4n+2}+\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{4n+6}$$h_0=\frac{5}{3}$

当r_ij≤5时，n取5已能得到5位有效数字的结果。

(4)导体修正电感矩阵Lc和电阻矩阵Rc

导体修正阻抗对于单导线和分裂导线时不相同的。但分裂导线的内阻抗可以认为是几个单导线并联形成的。因此下面仅介绍单导线的修正电感Lc和修正电阻Rc。

单导线导体的内阻抗表达式为：

$Z_c=\frac{K}{2\mathrm{\π}{r}_0\mathrm{\δ}}\·\frac{J_0\left(K{r}_0\right)}{J_1\left(K{r}_0\right)},$$K=\sqrt{-\mathrm{j\ωu\δ}}---\left(11\right)$

这里u是导体之磁导率，δ是导体之电导率，r₀为导体之半径，ω为角频率。

若令$x=\sqrt{\mathrm{\ωu\δ}}\·r_0---\left(12\right)$

则$Z_c=\frac{\sqrt{-j}x}{2\mathrm{\π}{r_0}^2\mathrm{\δ}}\·\frac{J_0\left(\sqrt{-j}x\right)}{J_1\left(\sqrt{-j}x\right)}=\frac{x}{2}\·\frac{1}{\mathrm{\π}{r_0}^2\mathrm{\δ}}\·\frac{J_0\left(\sqrt{-j}x\right)}{\sqrt{j}{J}_1\left(\sqrt{-j}x\right)}$

令$J_0\left(\sqrt{-j}x\right)=b{r}_0\left(x\right)+\mathrm{jb}{i}_0\left(x\right)$

$\sqrt{j}{J}_1\left(\sqrt{-j}x\right)=b{r}_1\left(x\right)+\mathrm{jb}{i}_1\left(x\right)$

则$R_c=\frac{x}{2}\·\frac{b{r}_0\left(x\right)b{r}_1\left(x\right)+b{i}_0\left(x\right)b{i}_1\left(x\right)}{b{r_1}^2\left(x\right)+b{i_1}^2\left(x\right)}\·\left(\frac{1}{\mathrm{\π}{r_0}^2\mathrm{\δ}}\right)---\left(13\right)$

$L_c=\frac{4}{x}\·\frac{b{i}_0\left(x\right)b{r}_1\left(x\right)-b{r}_0\left(x\right)b{i}_1\left(x\right)}{b{r_1}^2\left(x\right)+b{i_1}^2\left(x\right)}\·\left(\frac{u}{8\mathrm{\π}}\right)---\left(14\right)$

因为$J_0\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^k{(x/2)}^{2k}}{k!\·k!}$

$J_1\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^k{(x/2)}^{2k+1}}{k!\·(k+1)!}$

因此$J_0\left(\sqrt{-j}x\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n}}{\left(2n\right)!\left(2n\right)!}+j\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n+2}}{(2n+1)!(2n+1)!}$

$\sqrt{j}{J}_1\left(\sqrt{-j}x\right)=\frac{x}{2}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n}}{\left(2n\right)!(2n+1)!}+j\frac{x}{2}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n+2}}{(2n+1)!(2n+2)!}$

故${\mathrm{br}}_0\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n}}{\left(2n\right)!\left(2n\right)!}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{A}_n$

$b{i}_0\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n+2}}{(2n+1)!(2n+1)!}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{B}_n$

$b{r}_1\left(x\right)=\frac{x}{2}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n}}{\left(2n\right)!(2n+1)!}=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{C}_n$

$b{i}_1\left(x\right)=\frac{x}{2}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^n{(x/2)}^{4n+2}}{(2n+1)!(2n+2)!}=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{D}_n$

各项的递推公式为

$A_n=-A_{n-1}\·\frac{x^4}{{\left(4n\right)}^2{(4n-2)}^2}$A₀＝1

$B_n=-B_{n-1}\·\frac{x^4}{{\left(4n\right)}^2{(4n+2)}^2}$$B_0=\frac{x^2}{4}$

$C_n=-C_{n-1}\·\frac{x^4}{{\left(4n\right)}^2(4n-2)(4n+2)}$$C_0=\frac{x}{2}$

$D_n=-D_{n-1}\·\frac{x^4}{{\left(4n\right)}^2{(4n+2)}^2(4n+4)}$$D_0=\frac{x^3}{16}$

根据经验：

当x＜7时，取n＝5

7≤x＜13时，取n＝8

13≤x＜20时，取n＝13

20≤x＜30时，取n＝17

30≤x＜40时，取n＝20

可以得到有5位有效数字的结果。

R_c和L_c表达式中的u和δ应分别采用绞线的实际值，也可采用厂家提供的直流电阻来代替上式的。另外，δ可根据绞线的有效面积和直流电阻求出。

根据上述方法，具体线路单长参数计算实例如下：

导线选用LGJQ-300×4，直径23.7毫米，4分裂，裂相距离45厘米，直流电阻0.0994欧/公里，地线选用GJ-70，直径11毫米，直流电阻2.2欧/公里，土壤电阻率100欧*米，杆塔参数如图3所示，以下采用上述单长参数计算方法经消元得到的计算结果与PSCAD/EMTDC单长串联阻抗和并联导纳结果对比：

表1  单长串联阻抗、并联导纳比较

  程序计算结果  pscad计算结果  误差分析  (％)  频率f＝50HIZ  串联阻抗矩阵(欧/米)  串联阻抗矩阵(欧/米)  电阻  电抗

  0.1137E-03+j0.4968E-03  0.8830E 04+j0.2209E-03  0.1152E-03+j0.4998E-03  0.8989E-04+j0.2240E-03  1.3  0.6  0.8830E-04+j0.2209+E-03  0.1137E-03+j0.4968E-03  0.8989E-04+j0.2240E-03  0.1152E-03+j0.4998E-03  1.77  1.38  并联导纳矩阵(1/欧米)  并联导纳矩阵(1/欧米)  导纳  j0.3613E-08  -j 0.5098E-09  j0.3618E-08  -j0.5106E-09  0.14  -j0.5098E-09  j0.3613E-08  -j0.5106E-09  j0.3618E-08  0.16  频率f＝1000HZ  串联阻抗矩阵(欧/米)  串联阻抗矩阵(欧/米)  电阻  电抗  0.5505E-03+j0.7490E-02  0.4908E-03+j0.2033E-02  0.5569E-03+j0.7516E-02  0.4975E-03+j0.2057E-02  1.15  0.35  0.4908E-03+j0.2033E-02  0.5505E-03+j0.7490E-02  0.4975E-03+j0.2057E-02  0.5569E-03+j0.7516E-02  1.35  1.17  并联导纳矩阵(1/欧米)  并联导纳矩阵(1/欧米)  导纳  j0.7227E-07  -j0.1020E-07  j0.7237E-07  -j0.1021E-07  0.14  -j0.1020E-07  j0.7227E-07  -j0.1021E-07  j0.7237E-07  0.1  频率f＝2500HZ  串联阻抗矩阵(欧/米)  串联阻抗矩阵(欧/米)  电阻  电抗  0.1054E-02+j0.1823E-01  0.9578E-03+j0.4635E-02  0.1072E-02+j0.1829E-01  0.9770E-03+j0.4688E-02  1.68  0.11  0.9578E-03+j0.4635E-02  0.1054E-02+j0.1823E-01  0.9770E-03+j0.4688E-02  0.1072E-02+j0.1829E-01  1.97  0.16  并联导纳矩阵(1/欧米)  并联导纳矩阵(1/欧米)  导纳  j0.1807E-06  -j0.2549E-07  j0.1809E-06  -j0.2553E-07  0.11  -j0.2549E-07  j0.1807E-06  -j0.2553E-07  j0.1809E-06  0.16

上述表1列写了频率从50Hz至2500Hz采用本发明中单长线路参数计算方法与PSCAD/EMTDC中对应频率线路参数单长串联阻抗矩阵和并联导纳矩阵的比较，由此可见用该方法，误差都在2％以内，具有很高的精度。