一种基于线性相位反演的波前测量方法

摘要

一种基于线性相位反演的波前测量方法，根据光源波长、传感器的焦距、成像器件的像素大小等已知参数，定标得到的传感器的远场光强相对变化值与入射波前中各项泽尼克系数相对变化值间对应关系的复原矩阵；传感器使用前先用无像差理想平面光源定标，得到无像差时的远场图像作为定标基准图像；然后对包含待测畸变波前的入射光束进行测量，得到畸变波前条件下的远场图像，与基准图像两者相减得到光强分布的差值并按照事先约定形成一个光强差向量。将复原矩阵与光强差向量相乘得到待测波前畸变中包含的各项泽尼克系数值，从而测量出波前畸变。本发明能量利用率高、计算量小，计算速度快，因而可以应用于自适应光学等实时性要求较高的应用领域。

说明书

技术领域

本发明属于光学信息测量技术领域，涉及一种测量入射光束波前的方法，尤其涉及一种新型的基于线性相位反演的波前测量方法。

背景技术

在自适应光学、光学检测等应用领域，需要测量光束的波前。尤其是在自适应光学系统中，需要快速测量波前信息，用于波前的实时控制。目前发展了许多种测量波前的方法，如剪切干涉法、哈特曼法、相位反演法和曲率探测法等。这些方法各有优缺点，适用各自的应用场合，其中相位反演法和曲率探测法都是基于成像的波前测量方法，特别适合在天文自适应光学等应用领域使用。

通常把根据光学系统像面上光强分布信息得到入射波前相位信息的方法称为“相位反演(phase retrieval)”技术。最早由R.A.Gonsalves和R.Chidlaw在1979年出版的SPIE论文集第207卷第32-39页的论文“通过相位反演测量波前”中公布了一种相位反演波前测量方法(R.A.Gonsalves andR.Chidlaw，“Wavefront sensing by phase retrieval”.Proc.of SPIE，Vol.207，32-39，1979)。图1是相位反演波前测量方法的波前传感器的原理示意图。利用该方法需要同时记录一幅焦平面上的光束远场图像和一幅离焦的图像，并这样连续记录多帧图像，利用多帧图像之间的差异，通过迭代的方法计算出光束波前。

最早由F.Roddier在1988年出版的SPIE论文集第976卷第203-209页的论文“曲率探测：一种新的波前测量方法”中公布了一种曲率探测方法(F.Roddier，C.Roddier，N.Roddier，“Curvature sensing：a new wavefrontsensing method”，Proc.SPIE，vol.976，203-209，1988)。图2是曲率探测波前测量方法的波前传感器的原理示意图。该方法与上述的相位反演方法不同，利用焦点前后等距的两个离焦面上的远场图像与光束波前曲率间的关系，通过特定的方法计算出光束曲率，波前曲率是波前相位的二阶导数，根据波前曲率可以用特定的方法复原出波前相位。

北京理工大学的魏学业和俞信在1994年申请的中国专利“基于Zernike多项式的波前探测和重构方法”(申请日94.09.16，申请号94115172，公告日95.07.19，公告号1105449)，提出了一种基于泽尼克(Zernike)多项式的波前探测和重构方法。该方法运用R.Noll建议的泽尼克多项式表征经大气扰动的入瞳处的光学波前畸变；求出由两个离焦面上(前后等距)的光强分布决定的归一化泽尼克项在特定形状的探测器上的响应矩阵，由响应矩阵和入瞳处的波前在两个离焦面上的光强分布，求出入射波前泽尼克项的系数。

相位反演法需要多帧图像迭代计算，算法的计算量大，因而实时性不高，仅适合图像事后处理等应用场合。曲率探测法的计算方法相对简单，速度较快，适用自适应光学等实时性要求高的场合，但曲率探测法没有最后计算出波前。魏学业等提出的波前测量方法的基础也是曲率探测方法，该方法的波前传感器光学布局与曲率探测方法相同，但魏学业等提出的方法不以波前曲率为目的，而是直接将前后等距的两个离焦面上的远场图像与泽尼克多项式联系起来，比曲率探测法简洁方便。

以上这几种波前测量方法都利用了至少两幅图像，需要对入射光束分光后分别成像和探测。在天文自适应光学等应用领域，星体目标的入射光能量非常微弱，任何分光都将减少光能利用率，而且如果分光后的两个成像系统间存在差异(例如两个成像系统的性能不一致)，又会对波前探测结果带来附加误差。

发明内容

本发明的技术解决解决问题：克服现有技术的不足，提供一种基于线性相位反演的波前测量方法，该方法仅仅根据单幅远场图像利用线性相位反演技术测量出入射光束波前，光能利用率高，不会对波前探测结果带来附加误差，且计算量小，快速、实用性强。

本发明的技术解决方案：基于线性相位反演的波前测量方法，其特点在于通过以下技术措施实现：

(1)事先根据光源波长、传感器的焦距、成像器件的像素大小等已知参数，定标得到的传感器的远场光强相对变化值与入射波前中各项泽尼克系数相对变化值间对应关系的复原矩阵；

(2)传感器使用前，先用无像差理想平面光源定标，得到无像差时的远场图像作为定标基准图像，然后对包含待测畸变波前的入射光束进行测量，得到畸变波前条件下的远场图像；

(3)将上述得到的远场图像与基准图像两者相减得到光强分布的差值并按照事先约定形成一个光强差向量；

(4)将复原矩阵与光强差向量相乘得到待测波前畸变中包含的各项泽尼克系数值，从而测量出波前畸变。

因为本发明是一种根据光学系统像面上光强分布信息得到入射波前相位信息的方法，所以属于“相位反演”技术范畴；同时因为本方法中的相位反演过程由一个向量矩阵间的乘法完成，这是一种典型的线性运算过程，所以将这种相位反演算法称为“线性相位反演算法”，这是本发明的独创之处。

本发明的原理：运用波前像差测量领域通常采用的泽尼克(Zernike)多项式表征经大气扰动的入瞳处的光学波前畸变，待测像差的各阶泽尼克系数按照事先约定顺序(一般按照空间频率从低到高的顺序)排列为一个向量a。波前测量的目的就是得到待测像差对应的系数向量a的值；在一个成像光学系统中利用一个焦平面成像器件(如CCD相机)记录畸变波前的远场图像并利用图像采集卡将远场图像的两维光强分布信息采集到计算机中；事先对一个理想平面光源进行测量，记录下理想平面光源对应的成像光学系统的远场图像的两维光强分布，按照事先的约定展开为列向量，并记为I₀；利用同样的成像光学系统、成像器件、图像采集卡等记录下待测量畸变波前对应的远场图像的两维光强分布，同样按照事先的约定展开为列向量，并记为I；求出存在像差前后远场图像光强分布的相对变化，记为列向量ΔI＝I-I₀(或者ΔI＝I₀-I也可，根据事先约定)；根据光源波长、传感器的焦距、成像器件的像素大小等已知参数，事先定标得到的传感器的远场光强相对变化值ΔI与入射波前中各项泽尼克系数相对变化值Δa间对应关系的响应矩阵，对响应矩阵求逆得到复原矩阵R；根据关系Δa＝RΔI，利用向量矩阵乘法的线性运算得到Δa。因为理想平面波对应的泽尼克系数a₀＝0，所以这就是待测波前畸变中包含的各项泽尼克系数a＝Δa。通常得到泽尼克系数即认为测量出了波前畸变，因为根据复原出的各项泽尼克系数及各阶泽尼克多项式的定义，可以很方便地得到待测量波前畸变的具体值。

本发明有两个独到的关键步骤：一个关键步骤是利用一个理想平面光源对传感器光学系统的自身像差对应的远场光强分布进行定标。这个过程可以将传感器光学成像系统自身像差、CCD成像器件光电响应特性、图像采集卡传输变换特性等标定下来。之后的运算都用存在像差前后远场图像光强分布的相对值进行。只要传感器的以上特性参数等不变，对光强变化相对值进行的运算可以有效消除传感器成像光学系统自身像差等不利因素的影响。定标所用的理想平面光源在各种计量实验室内很容易得到。这一过程与哈特曼波前传感器的使用方法类似。哈特曼波前传感器在使用前都需要用理想平面光源进行定标。当然，理想是相对的，平面光源的质量优劣将决定波前传感器测量结果的准确度。

本发明的另一个关键步骤是确定传感器的远场光强相对变化值ΔI与入射波前中各项泽尼克系数相对变化值Δa间复原矩阵R的过程。

复原矩阵的确定方法有单极法和双极法之分，其中单极法的复原矩阵定标过程如下：

(1)首先根据光源波长、传感器的焦距、成像器件的像素大小等已知参数，得到考虑传感器的自身像差，但没有待测波前畸变时远场图像的光强分布，并按照事先的约定展开为列向量，记为I₀。

(2)根据光源波长、传感器的焦距、成像器件的像素大小等已知参数，得到待测波前畸变中仅第j项泽尼克多项式系数a_i不为零，其他各项泽尼克多项式系数均为零的情况下，对应的远场图像两维光强分布，并按照事先的约定展开为列向量，记为I_i。其中j＝1，2，3，...，P。P是欲复原的泽尼克多项式总项数。为了保证线性关系成立，需要各阶泽尼克系数的设定值较小，例如a_i＜0.5比较合适。

(3)与没有波前畸变时远场图像光强分布I₀相比，求出远场图像光强分布的相对变化并进行归一化处理，即求出单位泽尼克多项式系数变化引起的远场图像光强分布的相对变化，记为列向量ΔI_j＝(I_j-I₀)/a_j〔或者ΔI_j＝(I₀-I_j)/a_i也可，根据事先约定〕。

(4)将各个光强分布相对变化的列向量组合为一个响应矩阵D＝[ΔI₁，ΔI₂，...，ΔI_P]。

(5)定义一个由各项泽尼克系数组成的列向量a＝[a₁，a₂，...，a_P]。与没有波前畸变时理想情况下远场图像光强分布I₀相比，这些泽尼克系数组合成的波前畸变将引起远场图像光强分布的相对变化，并按照事先的约定展开为列向量ΔI。将以上过程表示为一个矩阵方程ΔI＝D×a；

(6)求解这个矩阵方程，将得到从光强分布的相对变化计算对应各项泽尼克系数的矩阵算法a＝R×ΔI，其中R为复原矩阵。注意没有待测像差时对应入射波前的泽尼克系数为零，即光强分布I₀对应的泽尼克系数为零，所以a即为待测波前畸变中包含的各项泽尼克系数。复原矩阵R的最小二乘法的求解结果是R＝(D^T×D)^-1D^T，上标T表示矩阵转置。但为了数值求解稳定可靠，通常采用矩阵伪逆的方法求解R＝D⁺，其中D⁺是D的伪逆矩阵。

双极法复原矩阵定标过程如下：

(1)首先根据光源波长、传感器的焦距、成像器件的像素大小等已知参数，得到考虑传感器的自身像差，但没有待测波前畸变时远场图像的光强分布，并按照事先的约定展开为列向量，记为I₀。

(2)根据光源波长、传感器的焦距、成像器件的像素大小等已知参数，分别得到波前畸变中其他各项泽尼克多项式系数均为零，仅第j项泽尼克多项式系数为a_i和-a_i不为零两种情况下，对应的远场图像两维光强分布，并按照事先的约定分别展开为列向量I_j1和I_j2。其中j＝1，2，3，...，P。P是欲复原的泽尼克多项式总项数。为了保证线性关系成立，需要各阶泽尼克系数的设定值较小，例如a_i＜0.5比较合适。

(3)求出以上两个远场图像光强分布的相对变化并进行归一化处理，即求出单位泽尼克多项式系数变化引起的远场图像光强分布的相对变化，记为列向量ΔI_j＝(I_j1-I_j2)/(2a_j)；

(4)将各个光强分布相对变化的列向量组合为一个响应矩阵D＝[ΔI₁，ΔI₂，...，ΔI_P]。

(5)定义一个由各项泽尼克系数组成的列向量a＝[a₁，a₂，...，a_P]；由这些泽尼克系数组合成的波前畸变将引起远场图像光强分布的相对变化，并按照事先的约定展开为列向量ΔI。将以上过程表示为一个矩阵方程ΔI＝D×a；

(6)求解这个矩阵方程，将得到从光强分布的相对变化计算对应各项泽尼克系数的方法a＝R×ΔI，其中R为复原矩阵。注意没有待测像差时对应入射波前的泽尼克系数为零，即光强分布I₀对应的泽尼克系数为零，所以a即为待测波前畸变中包含的各项泽尼克系数。复原矩阵R的最小二乘法的求解结果是R＝(D^T×D)^-1D^T，上标T表示矩阵转置。但为了数值求解稳定可靠，通常采用矩阵伪逆的方法求解R＝D⁺，其中D⁺是D的伪逆矩阵；

由于双极法同时考虑了像差系数为正数或负数的情况，更加接近实际场景，所以通常双极法得到的复原矩阵更加准确。

本发明所依据的基本理论原理推导如下：本发明的理论基础来源于入射光束焦平面上复振幅分布与入射孔径上复振幅分布间的物理原理和数学关系。

令 $>ver>>x>\to >>=>>(>x>,>y>)>>>s>代表入射孔径上正交分布(Cartesian)网格点，(\xi ，\eta )代表焦平面上的正交网格点。A(x，y)exp[i\phi (x，y)]代表入射孔径上的复振幅，其中A(x，y)为振幅分布，\phi (x，y)为相位分布。根据傅里叶光学原理，焦平面上的复振幅分布w(\xi ，\eta )与入射孔径上的复振幅间的关系为：$

$>>w>>(>\xi >,>\eta >)>>=>>>exp>[>i\pi >>(>>\xi >2>>+>>\eta >2>>)>>/>\lambda f>>i\lambda f>>>\int >>->\infty >>\infty >>>\int >>->\infty >>\infty >>A>>(>x>,>y>)>>exp>[>i\phi >>(>x>,>y>)>>]>exp>[>->>>i>2>\pi >>(>x\xi >+>y\eta >)>>>\lambda f>>]>dxdy>->->->>(>1>)>>>s>$

其中λ是波长，f是成像焦距。在通常的情况下，入射孔径上的光强分布是比较均匀的，即振幅分布A(x，y)是常数，其对成像的影响可以忽略。如果我们定义 $>ver>>u>\to >>=>>(>u>,>v>)>>=>>(>\xi >,>n>)>>/>\lambda f>,>>s>并且忽略(1)式中积分前的项，入射孔径和成像焦平面上的复振幅分布可以用二维傅里叶变换(Fourier transform)关系表示：$

w(u，v)＝F[Aexp[iφ(x，y)]]                        (2)

其中傅里叶变换关系为 $>>F>[>f>>(>x>,>y>)>>]>=>>\int >>->\infty >>\infty >>>\int >>->\infty >>\infty >>f>>(>x>,>y>)>>exp>[>->i>2>\pi >>(>xu>+>yv>)>>]>dxdy>.>>s>在离散状态下，用二维离散傅里叶变换(Discrete Fourier transform)代替连续域傅里叶变换：$

$>>w>>(>u>,>v>)>>=>>1>>N>2>>>>\Sigma >>x>=>0>>>N>->1>\; >>\Sigma >>y>=>0>>>N>->1>\; >Aexp>[>i\phi >>(>x>,>y>)>>]>exp>[>->i>2>\pi >>(>xu>+>yv>)>>/>N>]>->->->>(>3>)>>>s>$

同时，在入射光束的焦平面上利用一个成像探测器记录光斑强度分布：

$>>I>>(ver>>u>\to >>)>>=>|>w>>(ver>>u>\to >>)>>>|>2>>->->->>(>4>)>>>s>$

如果在入射孔径的相位分布上施加一个增量或变化量利用指数函数的近似关系，得到这时成像面上的复振幅分布为：

$>ver>>w>^>>>(ver>>u>\to >>)>>=>F>\{>Aexp>[>i\phi >>(ver>>x>\to >>)>>+>i\Delta \phi >>(ver>>x>\to >>)>>]>\}>\approx >F>\{>Aexp>[>i\phi >>(ver>>x>\to >>)>>]>·>[>1>+>i\Delta \phi >>(ver>>x>\to >>)>>]>\}>->->->>(>5>)>>>s>$

那么焦平面上复振幅分布的变化量与相位分布变化量间存在线性关系：

$>>\Delta w>>(ver>>u>\to >>)>>=ver>>w>^>>>(ver>>u>\to >>)>>->w>>(ver>>u>\to >>)>>=>F>\{>i\Delta \phi >>(ver>>x>\to >>)>>·>Aexp>[>i\phi >>(ver>>x>\to >>)>>]>\}>->->->>(>6>)>>>s>$

施加相位变化量后焦平面上的光强分布也存在一个变化量为：

$>>I>>(ver>>u>\to >>)>>+>\Delta I>>(ver>>u>\to >>)>>=>[>w>>(ver>>u>\to >>)>>+>\Delta w>>(ver>>u>\to >>)>>>]>*>>·>[>w>>(ver>>u>\to >>)>>+>\Delta w>>(ver>>u>\to >>)>>]>->->->>(>7>)>>>s>$

$>>\Delta I>>(ver>>u>\to >>)>>=>>w>>(ver>>u>\to >>>)>*>>>·>\Delta w>>(ver>>u>\to >>)>>+>·>>w>>(ver>>u>\to >>)>>·>\Delta w>>(ver>>u>\to >>>)>*>>>+>\Delta w>>(ver>>u>\to >>>)>*>>>·>\Delta w>>(ver>>u>\to >>)>>\approx >2>Re>[>w>>(ver>>u>\to >>>)>*>>>·>\Delta w>>(ver>>u>\to >>)>>]>->->->>(>8>)>>>s>$

其中星号表示复数的共轭，Re[.]表示复数项的实部。上式中忽略了二阶小量 $>>|>\Delta w>>(ver>>u>\to >>)>>>|>2>>\approx >0>.>>s>综合以上各式，得到结果：$

$>>\Delta I>>(ver>>u>\to >>)>>\approx >2>Re>\{>F>\{>Aexp>[>i\phi >>(ver>>u>\to >>)>>]>>\}>*>>·>F>\{>i\Delta \phi >>(ver>>u>\to >>)>>·>Aexp>[>i\phi >>(ver>>u>\to >>)>>]>\}>\}>->->->>(>9>)>>>s>$

上式说明焦平面上光强分布的变化量与入射孔径上相位分布的变化量间存在近似线性关系。这种线性关系可以用矩阵形式表示为：

ΔI＝H·ΔΦ                            (10)

其中光强分布变化量ΔI为(N²×1)维的向量，是把(N×N)的焦平面像素点展开为单列向量而成。相位分布变化量ΔΦ为(M²×1)维的向量，是把入射孔径上(M×M)的二维相位点阵列展开为单列向量而成。式中的H是(N²×M²)的线性矩阵。当入射孔径和焦平面的对应关系确定后，H矩阵的元素可以事先计算或测量确定。根据线性方程，当M＝N时，已知光强分布变化量求解相位分布变化量的过程为：

ΔΦ＝H^-1·ΔI                           (11)

在求解过程中，有两个重要的约束条件。其一是相位变化量的总和为零：

$>>>\Sigma >>n>=>1>>>N>2>>>\Delta \Phi >>(>n>)>>=>0>->->->>(>12>)>>>s>$

这个约束条件也可以理解为孔径上的相位平均值为零，避免求解过程中的波前平移问题。另一个约束条件是光强分布变化量的总和为零，因为焦平面上光斑的总能量守恒：

$>>>\Sigma >>n>=>1>>>N>2>>>\Delta I>>(>n>)>>=>0>->->->>(>13>)>>>s>$

根据以上(11)式就可以从焦平面上的光强分布进行波前反演。但这种算法很不现实。首先，计算量和存储量巨大。如果要从100×100的光强分布复原出100×100的相位分布，就需要计算和存储10⁴×10⁴的巨大矩阵。其次，直接复原出每一个点的相位值没有必要。根据模式波前复原的原理，只需要计算出一系列固定波前模式的系数，即可复原出波前。波前畸变可以用一系列波前模式的线性叠加表示：

$>>\phi >>(>x>,>y>)>>=>>\Sigma >>i>=>1>>P>>>a>i>>>M>i>>>(>x>,>y>)>>->->->>(>14>)>>>s>$

其中a_i为模式系数，M_i(x，y)为波前模式。这里采用波前传感器领域中常用的泽尼克多项式，P是模式阶数。波前相位分布的变化量与各阶波前模式系数的变化量Δa_i间存在线性关系：

$>>\Delta \phi >>(>x>,>y>)>>=>>\Sigma >>i>=>1>>P>>\Delta >>a>i>>>M>i>>>(>x>,>y>)>>->->->>(>15>)>>>s>$

上式可以用矩阵形式表示为：

ΔΦ＝A·Δa                                  (16)

其中模式系数变化量Δa为(P×1)维的向量，A为(M²×P)的长方矩阵。根据(10)式，易得各阶波前模式系数的变化量与焦平面上光强分布变化量间也存在线性关系：

ΔI＝H·A·Δa＝D·Δa                        (17)

其中D＝HA一般为长方矩阵，在本发明中称为响应矩阵。那么从光强分布变化量计算波前泽尼克系数变化量的过程为：

Δa＝R·ΔI                                   (18)

其中R是该传感器的泽尼克模式复原矩阵。最小二乘法的求解结果是R＝(D^T×D)^-1D^T，上标T表示矩阵转置。但为了数值求解稳定可靠，通常采用奇异值分解(SVD)的方法求解矩阵伪逆R＝D⁺，其中D⁺是D的伪逆矩阵。

因为没有待测像差时对应入射波前的泽尼克系数为零，所以待测波前畸变中包含的各项泽尼克系数a＝Δa。得到泽尼克系数后即可复原出入射口径中任意多个点上的波前相位。整个波前测量过程被简化为一个向量矩阵乘法运算。这种线性运算特别适合用现代的DSP(数字信号处理)技术实时快速完成。

本发明与现有技术相比有如下优点：

(1)本发明的波前测量方法中，只需要在定标时得到一幅基准图像，然后在含有波前畸变的入射光束进行测量过程中，仅仅需要测量对应的单幅远场图像即可完成波前过程，不需要对入射光束进行全口径分光(如曲率波前传感器)或子孔径分光(如哈特曼波前传感器)。这一点对星体目标天文观测的自适应光学等入射光强非常微弱的应用领域特别有用，可以节省宝贵的入射光能量，提高光能利用率。

(2)本发明的波前测量方法中，基准图像和复原矩阵的定标过程考虑并消除了波前传感器成像光学系统自身像差的影响，而传感器光学系统自身像差在实际应用场合下是不可避免的，所以本发明具有较高的实用性。

(3)本发明的波前测量方法中，波前复原过程简化为一个简单的向量和矩阵乘法运算，这种线性运算特别适合用现代的DSP(数字信号处理)技术实时快速完成。相对其他波前测量技术的迭代计算过程，本发明的计算量小，因而计算速度快。本发明的波前测量方法可以应用于自适应光学等实时性要求较高的应用领域。

附图说明

图1传统相位反演波前测量方法的波前传感器的原理示意图；

图2现有技术的曲率探测波前测量方法的波前传感器的原理示意图；

图3为本发明的根据单幅远场图像用线性相位反演技术进行入射光束波前测量的波前传感器原理示意图。

具体实施方式

如图3所示，实现本发明的方法采用的波前传感器由衍射成像光学系统、焦平面成像器件(如CCD相机)、图像采集卡、计算机组成，运用波前像差测量领域通常采用的泽尼克多项式表征经大气扰动的入瞳处的光学波前畸变，待测像差的各阶泽尼克系数按照事先约定顺序(一般按照空间频率从低到高的顺序)排列为一个向量a，波前测量的目的就是得到待测像差对应的系数向量a的值。

待测波前畸变φ(x，y)经过衍射成像光学系统后在焦平面上成像，焦平面附近放置一个CCD相机记录畸变波前的远场图像，利用图像采集卡将远场图像的两维光强分布信息采集到计算机中。S(x，y)为这个成像系统自身的像差。最常见的光学成像系统像差为离焦像差，为反演出的波前畸变，参考平面光源用于标定波前传感器自身像差。

本发明的具体测量过程如下：

(1)传感器使用前需要根据光源波长、传感器的焦距、成像器件的像素大小等已知参数，事先定标得到的传感器的远场光强相对变化值ΔI与入射波前中各项泽尼克系数相对变化值Δa间对应关系的响应矩阵D，对响应矩阵D求逆得到复原矩阵R。在测量响应矩阵的过程中，一般采用更加准确的双极法。

(2)传感器使用前还需要用一个理想的参考平面光源对传感器的自身像差、CCD相机靶面像素大小和光电响应灵敏度、图像采集卡的转换特性等参数进行标定，得到参考平面波光源的图像，按照事先的约定展开为列向量，并记为I₀；定标完后将参考光源移开。利用同样的成像光学系统、成像器件、图像采集卡等记录下待测量畸变波前对应的远场图像的两维光强分布，同样按照事先的约定展开为列向量，并记为I。

(3)求出存在像差前后远场图像光强分布的相对变化，记为列向量ΔI＝I-I₀(或者ΔI＝I₀-I也可，根据事先约定)。

(4)根据关系Δa＝RΔI，利用向量矩阵乘法的线性运算得到Δa。因为理想平面波对应的泽尼克系数a₀＝0，所以这就是待测波前畸变中包含的各项泽尼克系数a＝Δa，通常得到泽尼克系数即认为测量出了波前畸变。因为根据复原出的各项泽尼克系数及各阶泽尼克多项式的定义，可以很方便地得到待测量波前畸变的具体值。

在得到泽尼克响应矩阵过程中，传感器成像系统自身的像差非常重要。任何一个传感器系统都有一个固有像差，并且需要事先标定。例如哈特曼传感器就需要事先测量自身像差造成的子孔径光斑偏移量，并以此为将来测量的零点。成像波前反演传感器的自身像差可以自由设置，例如可以通过自由调整成像面的位置或透镜的位置改变离焦像差(defocus)的大小。前面所述参考平面波的成像分布I₀中包括了传感器自身像差S(x，y)的影响。传感器自身像差S(x，y)的大小和形式对复原矩阵和波前反演传感器性能的影响很大。当传感器自身像差改变后，需要重新测量复原矩阵。