一种利用功能梯度材料减轻齿轮重量的方法

摘要

本发明公开了利用功能梯度材料减轻齿轮重量的方法，该方法根据齿轮的受力情况确定FGM齿轮的材料分布形式，并结合FGM的性能参数确定FGM齿轮的材料分布函数形式；然后，根据材料分布函数形式建立多目标优化模型；接着，在有限元分析软件里建模、设置边界条件和参数，运用实验设计方法得出全局静态灵敏度，最后，根据全局静态灵敏度对多目标优化模型进行求解，使求解的设计变量所对应的齿轮性能最优；本发明方法利用FGM对齿轮进行优化设计，以材料分布函数的系数作为设计变量进行微观参数设计，而不改变齿轮的尺寸、模数和齿数等宏观参数，在保持轮齿正常工作性能的情况下大大降低齿轮的重量，同时也可以降低制造齿轮的材料成本。

说明书

技术领域

本发明属于齿轮优化设计技术领域，具体涉及一种利用功能梯度材料减轻齿轮重量的方法。

背景技术

齿轮是机械中广泛应用的传动零件之一，具有功率范围大、传动效率高、传动比准确和使用寿命长等特点。现代齿轮传动正朝着高速重载而轻量化的方向发展，齿轮重量的降低，不仅可使整个设备的重量减小，也可使齿轮的固有频率降低，从而降低啮合的噪声。尤其对于大型传动系统而言，齿轮的重量的减小，对于减少传动件的无用功耗和起动制动能耗是非常有实用价值的。因此在保证可靠性的前提下，实现齿轮的重量优化设计就具有非常重要的意义。关于齿轮的减重设计，国内外开展了许多相关研究。但大部分已有的齿轮重量优化方法，都是以齿轮的齿数、模数和齿宽等参数作为设计变量。而由于齿轮所特有的复杂形式和几何特征，在齿轮设计时会存在大量的设计参数，而且要把齿轮参数的改变对齿轮系、传动系统以及整个设备的影响考虑进去，增加了优化问题的复杂度。

功能梯度材料(Functionally Graded Material,FGM)是根据全新的材料设计概念而开发的一种新型材料，材料的组成和它的微观结构，材料的成分和组织等从表面到其内部不是均一的，而是在某个方向上逐渐连续变化的，即形成梯度分布，从而得到单一或复合功能渐变的非均质材料。这类材料因其内部成分和结构的变化，它的性能也是连续变化的，这种变化的性能正是满足了不同工作环境对材料的要求；而且在实际应用中，往往希望所设计的零件既具有大的强度和刚度，又有较小的重量、体积或价格，而FGM是由不同密度和价格的材料组成，为降低整体零件的重量和价格提供了新的途径。通过优化FGM的微观材料分布，可以得到相应的宏观零件性能，如储能密度、重量和力学特性等。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的是提供一种利用功能梯度材料减轻齿轮重量的方法，将FGM应用在齿轮上，通过优化材料分布降低齿轮重量，即以材料分布函数的系数作为设计变量而不改变齿轮的尺寸、模数和齿数等参数，形成较简单的优化问题，能够较大程度上降低齿轮的重量以及制造齿轮的材料成本。

实现本发明的技术方案如下：

一种利用功能梯度材料减轻齿轮重量的方法，具体步骤为：

步骤一、根据齿轮的受力情况确定FGM齿轮的材料分布形式；

步骤二、根据FGM的性能参数以及材料分布形式确定FGM齿轮的材料分布函数形式：其中，齿轮上任意一点的材料组分是该点到外齿廓曲面距离d的函数，a_0、a₁及a₂为设计变量；

步骤三、根据材料分布函数形式建立多目标优化模型；

minf(a₀，a₁，a₂)，δ(a₀，a₁，a₂)

s.t.0≤a₀+a₁d+a₂d²≤1

σ(a₀，a₁，a₂)≤σ₀

其中，f(a₀,a₁,a₂)为FGM齿轮的重量函数，δ(a₀,a₁,a₂)为FGM齿轮的最大变形量函数，σ(a₀,a₁,a₂)为FGM齿轮的最大弯曲应力函数，σ₀为许用应力，min表示使目标函数f(a₀,a₁,a₂)和δ(a₀,a₁,a₂)达到最小值，s.t.表示约束；

步骤四、对多目标优化模型进行求解，使求解得到的设计变量(a₀,a₁,a₂)所对应的FGM齿轮性能最优。

进一步地，本发明步骤四的具体过程为：

步骤41、根据材料分布形式，在有限元分析软件ANSYS WORKBENCH中建立FGM齿轮模型，根据齿轮的受力情况设置边界条件并根据FGM的性能参数设置相应的材料参数；

步骤42、生成多组设计变量(a₀,a₁,a₂)，基于所述FGM齿轮模型，进行有限元计算得出与各组设计变量对应的FGM齿轮的最大变形量和最大弯曲应力；

步骤43、通过对步骤五中的设计变量、最大变形量和最大弯曲应力进行分析，得出全局静态灵敏度；

步骤44、根据全局静态灵敏度对多目标优化模型进行求解，使求解的设计变量(a₀,a₁,a₂)所对应的齿轮的重量和最大变形量最小，且最大弯曲应力不超过许用应力；

步骤45、根据求解的设计变量(a₀,a₁,a₂)得到最优的FGM齿轮的材料分布函数，完成齿轮的优化设计。

有益效果：本发明方法利用FGM对齿轮进行优化设计，以材料分布函数的系数作为设计变量进行微观参数设计，而不改变齿轮的尺寸、模数和齿数等宏观参数，从而形成较简单的优化问题，在保持轮齿正常工作性能的情况下大大降低齿轮的重量。另外也可以降低制造齿轮的材料成本。

附图说明

图1为本发明实施方式的FGM齿轮的材料分布形式图；

图2为按照本发明建立的FGM轮齿模型图；

图3为采用FGM轮齿的齿轮整体模型图；

图4为边界条件加载示意图；

图5为实施例中FGM的最优材料分布函数曲线；

图6为实施例中FGM弹性模量E和泊松比μ随距离d的变化曲线。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对本发明进行详细描述。

本发明提供了一种利用功能梯度材料减轻齿轮重量的方法，具体实施方式为：

步骤一、根据齿轮的受力情况确定FGM齿轮的材料分布形式；

FGM的基本设计思想是：根据具体的工作情况和要求，选择使用两种(或多种)具有不同性能的材料，通过连续地改变两种材料的组成和结构，使其内部界面模糊化，从而得到功能逐渐变化的非均质材料，以减小和克服结合部位的性能不匹配因素。因此在确定FGM分布形式之前，要先分析齿轮的具体工作情况。

在进行轮齿的弯曲疲劳强度计算时，常把轮齿作为矩形截面的悬臂梁，运用材料力学方法对齿面接触强度和齿根弯曲强度进行设计和校核。因此在考虑FGM轮齿上的材料分布形式时，把轮齿视为矩形截面的悬臂梁，再参照空心型钢或工字钢能较合理地利用材料强度的特点，直观的想法是合理分布轮齿上的材料，使其能实现类似于空心型钢或工字钢的功能。因此FGM齿轮的材料分布形式为：以齿轮的齿廓曲面为参考，齿轮上任意一点的材料组分是该点到外齿廓曲面距离d的函数，即如图1。FGM轮齿的三维模型如图2所示。FGM齿轮的整体模型如图3所示。

步骤二、根据FGM的性能参数以及材料分布形式确定FGM齿轮的材料分布函数形式：其中，齿轮上任意一点的材料组分是该点到外齿廓曲面距离d的函数，a_0、a₁及a₂为设计变量；

FGM的性能参数分析为现有技术，以下对其简单说明：

根据非均匀材料力学，在某一处FGM的体积模量K、剪切模量G、弹性模量E和泊松比μ的关系为：

$>\frac{K}{G}=\frac{2(1-\mu )}{3(1-2\mu )},K=\frac{E}{3(1-2\mu )}---\left(1\right)$>

由(1)式可得到：

$>E=\frac{9\mathrm{KG}}{3K+G},\mu =\frac{3K-2G}{6K+2G}---\left(2\right)$>

而关于体积模量K、剪切模量G的计算，有以下公式：

其中，K₁，K₂分别为两种材料的体积模量，G₁，G₂分别为两种材料的剪切模量，分别是两种材料的体积分数，且满足：

对于式中的K₁，K₂，G₁和G₂，与材料的弹性模量和泊松比有关，用下式计算：

$>K_1=\frac{E_1}{3(1-2{\mu }_1)},K_2=\frac{E_2}{3(1-2{\mu }_2)}---\left(6\right)$>

$>G_1=\frac{E_1}{2(1+{\mu }_1)},G_2=\frac{E_2}{2(1+{\mu }_2)}---\left(7\right)$>

式中E₁，E₂分别为两种材料的弹性模量，μ₁，μ₂分别为两种材料的泊松比。

此外，基于Voight的等应变假设的线性混合律，计算FGM的密度：

其中ρ₁，ρ₂是组成FGM的两种材料的密度。

上式(1)—(8)均为现有技术，根据以上式(1)—(8)的联立计算，就可以计算出FGM的弹性模量E，泊松比μ和密度ρ。根据密度ρ，可以得出FGM齿轮的重量；根据弹性模量E和泊松比μ，对FGM齿轮进行有限元分析，可以得到轮齿的最大弯曲应力和最大变形量。

由式(6)、(7)可以看出，当组成FGM的两种材料确定后，即E₁，E₂和μ₁，μ₂的值确定后，K₁，K₂，G₁和G₂的值也就确定了，那么由式(3)、(4)可知体积模量K、剪切模量G的值是关于材料体积分数的函数，又由(2)式可以看出弹性模量E和泊松比μ是关于体积模量K、剪切模量G的函数，因此最终得知FGM的弹性模量E，泊松比μ和密度ρ是关于体积分数的函数。而又由也可以说FGM的弹性模量E和泊松比μ是关于体积分数的函数。接下来对进行说明，为了使公式简洁一般用表示。

在FGM的表示中，材料的体积分数一般是以研究点到参考点的距离d为变量的函数，称为材料分布函数。目前各个研究者提出的材料分布函数有许多种形式，如多项式函数，指数函数和幂函数等。根据泰勒定理，

$>f\left(x\right)=f\left(a\right)+f^{\prime }\left(a\right)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }\left(a\right)}{2!}{(x-a)}^2+...+\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}{(x-a)}^n+...---\left(9\right)$>

可知指数函数、幂函数和三角函数等都可以利用泰勒公式展开为多项式函数，而且多项式函数不仅能有效地描述材料的分布情况，而且便于对材料物性参数的计算与分析，因此本发明将利用多项式函数来表示FGM的材料分布函数，又因为FGM齿轮的材料分布形式为：因此根据FGM的性能参数以及材料分布形式确定FGM齿轮的材料分布函数形式：

综上所述，在两种材料类型确定的情况下，FGM的弹性模量E和泊松比μ最终是和材料分布函数的系数a₀，a₁，a₂，...，a_n和次数n有关的。本发明以二次多项式作为材料分布函数进行齿轮的设计优化。即

在对FGM的有限元分析中，用多层堆积来近似FGM中的材料变化。将FGM分成多层，各层材料是均质的，但层与层之间的材料组分和材料性能参数是不同的，即对FGM模型进行离散化处理。为了简化d的定义域，采用归一化方法将其限定在0-1之间，如式(12)。

$>d=\frac{d-d_{\min }}{d_{\max }-d_{\min }}=\frac{(L-1)\mathrm{\Delta d}-d_{\min }}{d_{\max }-d_{\min }}---\left(12\right)$>

其中d_min，d_max分别是d的最小值和最大值，一般情况下有d_min＝0；L为要计算的位置所在的层数，L＝1,2,…,n，n是总层数；Δd为每层的厚度。

因此可以确定设计模型的设计变量为a₀，a₁，a₂。

步骤三、根据材料分布函数形式建立多目标优化模型；

该步骤的具体过程如下：

由于齿轮的啮合误差而造成的运载、噪音和胶合破坏等问题，齿轮传动速度和载荷的提高受到了一定限制。引起啮合误差主要原因之一，是齿轮的轮齿受载后弹性变形引起齿副在传动过程中啮合位置的瞬时变化；另外，在工程实际中经常遇到齿根断裂等故障，这是由于齿轮在受载啮合时，齿根部位受到较大的弯曲应力，在循环载荷下产生疲劳裂纹，最终引起轮齿折断破坏。所以要同时要求齿轮的最大变形量和最大弯曲应力小于许用值。事实上FGM齿轮的许用应力也是材料体积分数的函数，为了简化问题，选取安全系数最高的许用应力值σ₀。

结合以上分析，多目标优化模型可以表示为：

minf(a₀，a₁，a₂)，δ(a₀，a₁，a₂)

s.t.0≤a₀+a₁d+a₂d²≤1

σ(a₀，a₁，a₂)≤σ₀

其中，距离d的取值由式(12)得到，f(a₀,a₁,a₂)为FGM齿轮的重量函数，δ(a₀,a₁,a₂)为FGM齿轮的最大变形量函数，σ(a₀,a₁,a₂)为FGM齿轮的最大弯曲应力函数，σ₀为许用应力，min表示使目标函数f(a₀,a₁,a₂)和δ(a₀,a₁,a₂)达到最小值，s.t.表示对材料分布函数和FGM齿轮的最大弯曲应力函数σ(a₀,a₁,a₂)进行约束，使得即a₀+a₁d+a₂d²的值在[0，1]范围内，使得FGM齿轮的最大弯曲应力函数σ(a₀,a₁,a₂)的值不大于σ₀。

步骤四、对多目标优化模型进行求解，使求解得到的设计变量(a₀,a₁,a₂)所对应的FGM齿轮性能最优。

步骤四的具体过程为：

步骤41、根据材料分布形式，在ANSYS WORKBENCH中的Model模块中建立FGM齿轮模型。根据齿轮的受力情况设置边界条件(即约束和载荷)：对齿轮进行静力分析，可知需施加足够的约束来保证齿轮模型不产生刚体位移，因此在齿轮孔处进行固定约束；把均布载荷(载荷大小根据齿轮副具体的工作状况进行计算)沿着齿轮啮合线(即啮合的两个齿轮基圆的内公切线)的方向，均匀加载到轮齿上，如图4所示。然后根据对FGM的性能参数分析设置相应的材料参数，方法如下：在ANSYS WORKBENCH的参数管理器中，对FGM齿轮模型中每一层的弹性模量、泊松比和密度进行参数化，并将步骤二中的式(1)—(8)输入管理器中，从而建立弹性模量、泊松比和密度与设计变量a₀，a₁，a₂之间的关系；将最大变形量(Total Deformation Maximum)和质量(Geometry Mass)也设置为参数。对于给定的一组设计变量值a₀，a₁，a₂，软件能够自动计算出与其相对应的FGM轮齿中每一层的弹性模量、泊松比和密度，进而可以计算出相应的最大变形量和质量。这样，通过ANSYS WORKBENCH软件的参数管理器，就可以对上述所有参数进行统一管理，为后面的有限元计算和全局静态灵敏度做好准备。

步骤42、通过ANSYS WORKBENCH中的实验设计(Design of Experiment,DOE)模块，计算生成多组设计变量(a₀,a₁,a₂)，基于步骤四中的FGM齿轮模型、设置的边界条件和设置的材料参数，进行有限元计算得出与各组设计变量相应的FGM轮齿的最大变形量和最大弯曲应力，对于最大变形量和最大弯曲应力的计算，仍然在DOE模块中进行；

步骤43、在ANSYS WORKBENCH中的DOE模块中，当步骤五的计算完成后，软件会自动对上述不同的设计变量和相应的最大变形量和最大弯曲应力进行相关分析，得出全局的静态灵敏度，即全局灵敏度分析，分析结果保存在软件系统内部。通过全局静态灵敏度，能够确定各设计变量对模型性能的整体影响，即a₀，a₁，a₂对多目标优化函数f(a₀,a₁,a₂)和δ(a₀,a₁,a₂)的影响。

步骤44、利用ANSYS WORKBENCH中的目标驱动优化(Goal DrivenOptimization，GDO)分析模块，根据全局静态灵敏度对多目标优化模型进行求解，使求解的设计变量所对应的齿轮的重量和轮齿最大变形量均为最小，且最大弯曲应力不超过许用应力。

步骤45、根据求解的设计变量(a₀,a₁,a₂)得到最优的FGM齿轮的材料分布函数，完成齿轮的优化设计。

自此，就实现了在保证齿轮正常工作性能的前提下，实现齿轮的重量优化设计，减轻了齿轮的重量。

实施例

汽车行业是油耗大户，降低汽车重量，可使油耗减少，尾气排放量也会减少，从而可以减少对环境的污染。因此如何减轻汽车的重量在全球越来越受到汽车工业和环保部门的重视。其中一种降低汽车整体重量的有效途径就是减小汽车变速器齿轮的重量。本发明以汽车变速器齿轮为例，用所提方法进行齿轮的轻量化设计，说明本方法的具体实现过程。

首先确定组成FGM齿轮的材料。超硬铝7A04可用来制作轻质齿轮，然而这种铝不能传递太大力矩和冲击，否则会在键槽位或齿根部位疲劳开裂，且耐磨性能以及强度虽然比普通铝强很多，但与钢材相比仍然较差。20CrMnTiH的硬度较高，可以改善齿轮的表面接触强度和摩擦强度，但是密度较大，采用其制造的齿轮重量也较大。因此选择7A04超硬铝和20CrMnTiH组成FGM齿轮并进行优化设计。这样既保证了零件的主要性能，又实现了零件的轻量化。

在本实例中，所选取的汽车变速器齿轮的主要参数如下：齿轮的模数为4mm，齿数z＝20，压力角为20°；组成功能梯度材料齿轮的材料是7A04，其弹性模量E₁＝72GPa，泊松比μ₁＝0.33，密度ρ₁＝2.8g/cm³；和20CrMnTiH，弹性模量E₂＝207GPa，泊松比μ₂＝0.25，密度ρ₁＝7.8g/cm³；经计算得，齿轮啮合时作用于齿面接触线上的法向载荷Fn＝2000N。因此通过有限元软件ANSYS来计算时，把2000N的载荷均匀加载到以齿轮啮合线为中心的一个面上。取许用应力σ₀＝305MPa。

每层厚度Δd＝0.5。d_min＝0，d_max＝4，此处总层数n＝9。因此根据式(12)可得对于每一层d的离散取值如表1。

表1 距离d的离散值

在本设计中，要求齿轮的受载变形量和质量均要小，属于多目标优化设计，两个优化目标(质量和最大变形量)往往不能同时达到最优。因此决定在ANSYSWorkbench中采用目标驱动优化(Goal Driven Optimization，GDO)进行多目标优化设计，设置目标函数质量为最小；在所选取的汽车变速器齿轮中，为了保证齿轮的正常工作，要求最大变形量不超过2×10^-6m。然后进行优化设计，最终得到基于目标函数设置的3个推荐最优解，如表2所示。

表2 基于目标的候选设计表

可以看出，A方案下的齿轮质量和最大变形量均最小，因此选择A方案作为最优结果，即a₀＝0.33741，a₁＝0.46134，a₂＝-0.73923，最小质量为16.423kg，变形为1.9339×10^-6m。最优的材料分布函数(如附图5)为

FGM弹性模量E和泊松比μ随距离d的变化趋势如图6所示。每层中FGM的弹性模量E和泊松比μ的离散值如表3。

表3 各层弹性模量E和泊松比μ的离散值

当a₀＝0,a₁＝0,a₂＝0，也就是当整个齿轮只采用单一的20CrMnTiH材料时，分析部分的重量为239.37N，变形为1.8402×10^-6m。最优重量164.23N，变形为1.9339×10^-6m。即重量降低了31.39％，变形增加了5.72％，且没有超过所规定的最大变形量2×10^-6m。也就是说，所提方法实现了在保持轮齿正常工作性能的情况下，大大降低了齿轮的重量。另外，价格方面，20CrMnTiH材料的价格是7A04材料价格的两倍左右，因此采用FGM齿轮也能充分利用材料，大大降低齿轮的材料成本。

综上所述，以上仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。