一般情况下确定主动土压力合力和压力合力作用点的方法

摘要

本发明公开了一般情况下确定主动土压力合力和压力合力作用点的方法，1)挡土墙及墙后土体几何要素的确定；2)墙体土体物理力学参数的确定；3)确定土体滑动面与坡面曲线交点处X坐标x

说明书

技术领域

本发明涉及主动土压力的计算，具体指一种一般情况下确定主动土压力合力和压力合力作用点的方法，本方法适用于交通、水利、市政、建筑等部门中刚性挡土墙的设计计算，属于岩土工程技术领域。

背景技术

挡土墙上土压力的计算是经典的土力学课题，通常采用朗肯土压力理论和库仑土压力理论来进行分析。Coulomb土压力理论是法国学者Coulomb于1773年在其力学论文论极大和极小法则在建筑力学中的应用中提出的，距今已200多年了，由于其概念简洁，使用方便，现在仍在重力式挡土结构设计中和工程界得到广泛应用。

目前多个规范均采用库仑土压力理论或采用修正的库仑土压力理论计算刚性挡土墙的土压力大小及合力作用点，并作相应的挡墙设计计算。库仑土压力理论假定极限状态时，墙后土体形成一滑动土楔体，通过其静力平衡条件求得土压力合力。库仑主动土压力及修正的库仑土压力计算公式只适用于墙后土体坡面为倾斜平面，坡面上作用有均布荷载的刚性挡土墙情况。但在实际工程中，往往墙后土体坡面不平整，坡面上的荷载也不一定均布，这种情况对于主动土压力的大小和作用点位置有显著的影响，因此，研究一种符合实际的主动土压力计算方法，对于科学合理地指导挡土墙的设计，具有重要的现实意义。

发明内容

针对上述库仑土压力计算方法的不足，本发明的目的是提供一种一般情况下确定主动土压力合力和压力合力作用点的方法，本库仑主动土压力计算方法适合于挡墙墙背倾斜，墙后为黏性土体，坡面起伏，且有非均匀超载等一般情况，这些一般情况往往是我们实际中遇到最多的情形。

本发明的技术方案是这样实现的：

一般情况下确定主动土压力合力和压力合力作用点的方法，按如下步骤进行，

(1)挡土墙及墙后土体几何要素的确定；包括挡土墙墙背倾斜角α，墙高H，墙后土体坡面起伏情况，用y＝g(x)拟合；

(2)墙体土体物理力学参数的确定；包括墙后土体的重度γ，内摩擦角φ及内聚力c，挡土墙墙背与填土土体之间的摩擦角δ；

(3)以墙后处于极限平衡状态的滑楔体OAB为研究对象，假设该滑楔体OAB与墙顶的交点为A，与墙踵的交点为O，与坡面曲线交点为B；以O为坐标原点建立坐标系，交点A的X轴坐标为x₂；确定滑楔体OAB滑动面与坡面曲线交点B的X轴坐标x₁；X轴坐标x₁是以下方程的根：

f(x)＝m₁x²+m₂x-m₃＝0

其中：m₁＝[aa₁(n₁+n₂)+a₁(1-n₁n₂)+γa]/2；

m₂＝ab₁(n₁+n₂)+b₁(1-n₁n₂)+c(a-n₂)；

$>m_3={\int }_{x_2}^{x_1}[\mathrm{\gamma g}\left(x\right)+q\left(x\right)]\mathrm{dx}-{\int }_{x_2}^0\mathrm{\gamma kxdx};$>

n₁＝tanφ，n₂＝1/tan(α-δ)；

$>a=g\left(x\right)/x,a_1=\gamma \frac{n_1-a}{1+{n_1}^2};$>

b₁＝σ(x)-a₁x；

$>\sigma \left(x\right)=\frac{c+\mathrm{\lambda c}-\mathrm{\gamma c}{g}^{\prime }\left(x\right)+\mathrm{\lambda q}\left(x\right)}{\lambda (1-n_1{n}_2)+g^{\prime }\left(x\right)(1+{\mathrm{\lambda n}}_1+{\mathrm{\lambda n}}_2)-n_1};$>

$>\lambda =\frac{n_1-a}{1+n_1+n_2-n_1{n}_2};$>

上几式中q(x)为作用在坡面上表面的非均布荷载，σ(x)为作用在滑动面上的法向应力。

(4)计算主动土压力合力；根据下式计算主动土压力合力E_a：

$>E_a=[a_1(a-n_1)x_1^2/2+b_1{x}_1-{\mathrm{cx}}_1]/\sin (\alpha -\delta )$>

(5)计算主动土压力合力作用点；根据下式计算主动土压力合力作用点：

$>H_0=\frac{{\int }_0^{x_1}(\sigma \sqrt{1+a^2}\sqrt{x^2(1+a^2)}+\gamma {\mathrm{ax}}^2-\mathrm{qx})\mathrm{dx}+{\int }_{x_2}^0{\mathrm{kx}}^2\mathrm{dx}-{\int }_{x_2}^{x_1}\mathrm{\gamma gxdx}}{E_a\cos \delta /\sin \alpha }$>

上式中H₀为主动土压力合力作用点至墙踵的垂直距离，根据H₀即可确定主动土压力合力在挡土墙上的作用点。

步骤(3)中的非线性方程采用割线法求解，具体步骤如下：

1)给定迭代次数N和精度控制量eps；

2)如果迭代次数大于N，则结束，否则执行步骤3)；

3)选定两初始值x₀，x₁，x₀取y＝tan(π/4+φ/2)x与y＝g(x)交点处的X坐标，x₁取

y＝tan(π/4-φ/2)x与y＝g(x)交点处的X坐标；

4)计算$>x_k=x_0-\frac{x_1-x_0}{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}f\left(x_1\right);$>

5)若|x_k-x₀|＜eps，则x₁＝x_k，输出x₁、a、a₁、λ、b₁，程序结束，否则执行6)；

6)令x₀＝x₁，x₁＝x_k，转向步骤2)。

本发明符合实际的主动土压力计算方法，主动土压力的大小和作用点位置确定准确和可靠，对于科学合理地指导挡土墙的设计，具有重要的现实意义。

附图说明

图1-本发明主动土压力计算模型图。

具体实施方式

本发明具体过程如下：

(1)挡土墙及墙后土体几何要素的确定；

(2)墙体土体物理力学参数的确定；

(3)确定土体滑动面与坡面曲线交点处X坐标x₁；

(4)计算主动土压力合力；

(5)计算主动土压力合力作用点；

步骤(1)中的几何要素包括挡土墙墙背倾斜角α，墙高H，墙后土体坡面起伏用y＝g(x)拟合，见图1。图中极限平衡状态下土体滑面用曲线y＝s(x)表示，q(x)为作用在坡面上表面的非均布荷载，E_a为作用在墙背上的主动土压力，σ(x)、τ(x)分别为作用在滑动面上的法向、切向应力。

步骤(2)中通过取样和实验手段或详细地勘资料，确定墙后土体的重度γ，内摩擦角φ及内聚力c，挡土墙墙背与填土土体之间的摩擦角δ。

步骤(3)中土体滑动面与坡面曲线交点处X坐标x₁是以下方程的根：

f(x)＝m₁x²+m₂x-m₃＝0

其中：m₁＝[aa₁(n₁+n₂)+a₁(1-n₁n₂)+γa]/2

m₂＝ab₁(n₁+n₂)+b₁(1-n₁n₂)+c(a-n₂)

$>m_3={\int }_{x_2}^{x_1}[\mathrm{\gamma g}\left(x\right)+q\left(x\right)]\mathrm{dx}-{\int }_{x_2}^0\mathrm{\gamma kxdx}$>

n₁＝tanφ，n₂＝1/tan(α-δ)

$>a=g\left(x\right)/x,a_1=\gamma \frac{n_1-a}{1+{n_1}^2}$>

b₁＝σ(x)-a₁x

$>\sigma \left(x\right)=\frac{c+\mathrm{\lambda c}-\mathrm{\gamma c}{g}^{\prime }\left(x\right)+\mathrm{\lambda q}\left(x\right)}{\lambda (1-n_1{n}_2)+g^{\prime }\left(x\right)(1+{\mathrm{\lambda n}}_1+{\mathrm{\lambda n}}_2)-n_1}$>

$>\lambda =\frac{n_1-a}{1+n_1+n_2-n_1{n}_2}$>

步骤(3)中的非线性方程采用割线法求解，具体步骤如下：

1)给定迭代次数N和精度控制量eps；

2)如果迭代次数大于N，则结束，否则执行3)

3)选定两初始值x₀，x₁。x₀取y＝tan(π/4+φ/2)x与y＝g(x)交点处的X坐标，x₁取

y＝tan(π/4-φ/2)x与y＝g(x)交点处的X坐标；

4)计算$>x_k=x_0-\frac{x_1-x_0}{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}f\left(x_1\right)$>

5)若|x_k-x₀|<eps,则x₁＝x_k,输出x₁、a、a₁、λ、b₁，程序结束，否则执行6)；

6)令x₀＝x₁，x₁＝x_k，转向2)

步骤(4)根据下式计算主动土压力合力：

$>E_a=[a_1(a-n_1)x_1^2/2+b_1{x}_1-{\mathrm{cx}}_1]/\sin (\alpha -\delta )$>

步骤(5)根据下式计算主动土压力合力作用点：

$>H_0=\frac{{\int }_0^{x_1}(\sigma \sqrt{1+a^2}\sqrt{x^2(1+a^2)}+\gamma {\mathrm{ax}}^2-\mathrm{qx})\mathrm{dx}+{\int }_{x_2}^0{\mathrm{kx}}^2\mathrm{dx}-{\int }_{x_2}^{x_1}\mathrm{\gamma gxdx}}{E_a\cos \delta /\sin \alpha }$>

上式中H₀为土压力作用点至墙踵的垂直距离。

步骤(3)、(4)、(5)的理论推导如下：

取墙后处于极限平衡状态的滑楔体OAB作为研究对象，根据力的平衡方程:

由∑X＝0得：

$>E_a\sin (\alpha -\delta )+{\int }_0^{x_1}\mathrm{\tau dx}-{\int }_0^{x_1}\sigma s^{\prime }\mathrm{dx}=0---\left(1\right)$>

由∑Y＝0得：

$>\left(\begin{array}{c}{E}_a\cos (\alpha -\delta )+{\int }_0^{x_1}\tau s^{\prime }\mathrm{dx}+{\int }_0^{x_1}\mathrm{\sigma dx}-{\int }_0^{x_1}\mathrm{qdx}\\ -{\int }_{x_2}^0[\gamma (g-\mathrm{kx})+q]\mathrm{dx}-{\int }_0^{x_1}\gamma (g-s)\mathrm{dx}=0\end{array}\right)---\left(2\right)$>

上两式中s′＝ds/dx,x₁为点B的X坐标，x₂为点A的X坐标，x₂＝-H/tanα。设在滑面上法向应力σ(x)和切向应力τ(x)服从Mohr-Coulomb破坏准则即：

τ＝c+σtanφ                  (3)

考察(1)、(2)、(3)式，主动土压力E_a为自变量函数σ(x)和滑面s(x)的泛函极值问题。

由式(1)得泛函  $>J=E_a\sin (\alpha -\delta )={\int }_0^{x_1}{F}_0\mathrm{dx}---\left(4\right)$>

其中F₀＝s′σ-n₁σ-c，n₁＝tanφ

由式(2)得约束条件：$>{\int }_0^{x_1}{F}_1\mathrm{dx}={\int }_{x_2}^0[\gamma (g-\mathrm{kx})+q]\mathrm{dx}=\mathrm{const}---\left(5\right)$>

其中F₁＝n₂(s′σ-n₁σ-c)+s′σn₁+σ+γs-γg+s′c-q,n₂＝ctan(α-δ),k＝-tan(α)

因式(5)等式右边为一定值，上述泛函极值为等周问题。

根据欧拉定理，用拉格朗日乘子法构造如下的泛函J*，使上述条件极值问题转化为无约束的泛函极值问题：

$>J^{*}={\int }_0^{x_1}\mathrm{Fdx}---\left(6\right)$>

F＝F₀+λF₁＝s′σ-n₁σ-c+λ[n₂(s′σ-n₁σ-c)+s′σn₁+σ+γs-γg+s′c-q]

F为辅助函数，λ为拉格朗日乘子。依据等周问题极值存在的必要条件，滑面方程y＝s(x)及沿滑面分布的法向应力σ(x)必须满足欧拉微分方程、边界条件及可动边界处的横截条件：

(1)辅助函数F的Euler微分方程：

$>\frac{\partial F}{\partial \sigma }-\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\partial F}{\partial {\sigma }^{\prime }}\right)=0---\left(7\right)$>

$>\frac{\partial F}{\partial s}-\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\partial F}{\partial s^{\prime }}\right)=0---\left(8\right)$>

(2)积分约束方程：同式(5)

(3)边界条件：

固定边界条件：s(0)＝0           (9)

可动边界条件：s(x₁)＝g(x₁)        (10)

x₁为B点X坐标

(4)可动边界处的横截条件：

$>(F-s^{\prime }\frac{\partial F}{{\partial s}^{\prime }}+g^{\prime }\frac{\partial F}{{\partial s}^{\prime }}){|}_{x=x_1}=0---\left(11\right)$>

由式(7)，可以得到：

$>s^{\prime }=a=\frac{{\mathrm{\lambda n}}_1{n}_2+n_1-\lambda }{1+{\mathrm{\lambda n}}_1+{\mathrm{\lambda n}}_2}---\left(12\right)$>

上式因λ、n₁、n₂均为定值，故滑面为一斜率为a斜面。考虑边界条件，则滑面方程为：

y＝s(x)＝ax          (13)

其中a除了满足式(12)外，还要满足可动边界条件，即

a＝g(x₁)/x₁         (14)

由式(8)，可以得到：

$>{\sigma }^{\prime }=a_1=\frac{\mathrm{\gamma \lambda }}{1+{\mathrm{\lambda n}}_1+{\mathrm{\lambda n}}_2}---\left(5\right)$>

同样上式也为一定值，沿滑面的法向应力σ呈线性分布，即：

σ＝a₁x+b₁            (16)

由式(12)可得：

$>\lambda =\frac{n_1-a}{1+n_1+n_2-n_1{n}_2}---\left(17\right)$>

将上式带入式(15)可得：

$>a_1=\gamma \frac{n_1-a}{1+{n_1}^2}---\left(18\right)$>

由横截条件式(11)可得：

$>\sigma \left(x_1\right)=\frac{c+\mathrm{\lambda c}-{\mathrm{\lambda cg}}^{\prime }\left(x_1\right)+\mathrm{\lambda q}\left(x_1\right)}{\lambda (1-n_1{n}_2)+g^{\prime }\left(x_1\right)(1+{\mathrm{\lambda n}}_1+{\mathrm{\lambda n}}_2)-n_1}---\left(19\right)$>

将上式带入式(16)：

b₁＝σ(x₁)-a₁x₁              (20)

上面(14)～(20)各式中，只要确定未知数x₁，其余各参量都能确定，而x₁取决于积分约束条件式(5)。

由以上讨论可知，积分约束条件式(5)是以一个未知量x₁的方程，令：

$>f\left(x_1\right)={\int }_0^{x_1}{F}_1\mathrm{dx}-{\int }_{x_2}^0[\gamma (g-\mathrm{kx})+q]\mathrm{dx}=0$>

展开得：

$>G\left(x_1\right)=m_1{x}_1^2+m_2{x}_1-m_3=0---\left(21\right)$>

其中

m₁＝[aa₁(n₁+n₂)+a₁(1-n₁n₂)+γa]/2

m₂＝ab₁(n₁+n₂)+b₁(1-n₁n₂)+c(a-n₂)

$>m_3={\int }_{x_2}^{x_1}[\mathrm{\gamma g}\left(x\right)+q\left(x\right)]\mathrm{dx}-{\int }_{x_2}^0\mathrm{\gamma kxdx}$>

求出x₁后，由式(14)、式(18)和式(20)得到滑面函数s(x)和及沿滑面分布的法向应力σ(x)，最后由式(4)求出主动土压力合力。

在确定了主动土压力大小后，主动土压力合力作用点位置可根据滑动体OAB的力矩平衡求出。

由∑M_O＝0得：

$>H_0=[{\int }_0^{x_1}(\sigma \sqrt{1+a^2}\sqrt{x^2(1+a^2}+\gamma {\mathrm{ax}}^2-\mathrm{qx})\mathrm{dx}+{\int }_{x_2}^0{\mathrm{kx}}^2\mathrm{dx}-{\int }_{x_2}^{x_1}\mathrm{\gamma gxdx}]\sin \alpha /E_a\cos \delta ---\left(22\right)$>

上式中H₀为土压力作用点至墙踵的垂直距离。

下面结合算例进一步说明本发明：

为了验证本发明的合理性及正确性，取墙高4米，填土重度18kN/m³,分别对c＝0和c≠0情况下的计算结果与上述改进的库仑公式计算结果进行对比，见表1。从计算结果的对比可以看出，当c＝0时，土压力计算结果与库仑理论的计算结果是完全一致的，当c≠0时，计算结果与用改进的库仑公式计算结果也是基本一致的。但力作用点位置并非总是作用在墙高的1/3处。

考虑墙后土体坡面起伏，g(x)用一倾斜斜线加一个正弦函数来模拟，非均匀超载q(x)一正弦函数加一常数来模拟，见表2。其他参数为c＝8、α＝70°、δ＝15°从计算结果可以看出，坡面的起伏以及坡面超载的不均匀性对主动土压力合力和作用点的影响是不能忽视的。

表1 本文方法与库仑理论的计算结果对比

表2 坡面起伏和非均匀超载下计算结果

最后需要说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管申请人参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，只要不脱离本技术方案的宗旨和范围，均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。