一种提高混药装置混药浓度稳态精度的实时控制方法

摘要

本发明一种提高混药装置混药浓度稳态精度的实时控制方法，该方法具体如下4个步骤：步骤一：获得药液流量和水流量传递函数的一阶惯性延迟表达式；步骤二：导出被控对象在PI(比例积分)控制器作用下稳态振荡幅度的关系表达式；步骤三：确定PI控制器参数Kc和τi对稳态振荡幅度a的影响机理；步骤四：调节PI控制器参数，对控制系统被控量——药液流量和水流量的稳态振荡幅度进行调节。本发明构思科学、巧妙，经过实验验证，自适应和实时性强，为混药浓度的精密控制过程提供了一种操作简便、快速、低成本的稳态精度提高方法，为实际工业控制系统的精密控制提供了一条新的途径。

说明书

技术领域

本发明涉及一种提高混药装置混药浓度稳态精度的实时控制方法。该方法能实现通过动 态调整控制器参数来提高混药浓度的稳态控制精度。属于智能化装备与控制领域。

背景技术

与传统的预混药方式相比，在线混药的特点是药箱和水箱分离，工作时通过混药装置在 线混药。在线混药装置可以实现农药浓度根据病虫害的严重程度按需变化，在病虫害严重区 域提高药液浓度，在病虫害较轻区域降低药液浓度，达到根据病虫害程度按需混药。

在线混药是当前提高农药利用率、减小环境污染的最有效手段之一，也是提高农药使用 安全性的最有效手段之一。药水混合比的动态检测和稳定控制是在线混药装置保证喷雾浓度 均匀稳定的关键，考虑到喷雾机组作业过程中药水混合比一般在1:300～1:500之间，因此，对 农药的小流量高精度检测是在线混药装置应用到实际作业过程中必须解决的一个核心问题， 尤其是目前市场上尚未见到能对农药小流量检测的体积流量计，一些科里奥利质量流量计虽 能对农药流量进行检测，但高精度的传感器价格很高，因此目前必须寻求农药的低成本、高 精度计量手段。

在现有技术中，申请人未发现通过动态调整控制器参数提高混药浓度的稳态控制精度的 混药装置，如果能通过动态调整控制器参数，在不增加任何硬件成本和不改变硬件结构情况 下使稳态控制精度得到提高，具有一定现实意义。对相近技术现有专利进行检索时发现，申 请号为200510041334.4的中国专利1《一种喷雾机构药与水分离的方法》公开了喷雾机中农 药和水分离的方法，在该方法中预先将农药和水分别存放在带有刻度的容器中，对农药和水 进行精确计量。专利2(申请号为200810027898)公开了一种《变量喷雾自动混药装置》，该 装置考虑一种或多种农药单独或同时喷施、喷雾浓度实时变化的情况；专利3(申请号为 201010132393.3)公开了《一种自动混药装置》，该装置包括射流部分和螺旋部分，其特点是： 农药和水分离单独存放，并利用负压和湍流混合原理实现农药和水的自动快速均匀混合，但 该装置无法实现对药和水精确计量，无法实现对药水混合比的精确控制，而药水混合比在实 际喷雾过程中直接关系到对病虫害防治效果的一下重要指标，直接关系到喷雾效果的实现， 当实际药水混合比小于所要求混合比时，药液浓度太小，达不到防治病虫害目的，反之，药 液浓度过大，不仅对作物造成损伤，还会造成环境污染。专利4(申请号为201210585002.2) 公开了《一种车载式混药装置》，主要考虑药液和水分开存储并实现在线均匀快速混合，但 仍不能够控制药水混合比；专利5(申请号为99228118.0)公开了一种利用正压和负压原理进行 药水混合的《混药装置》，该装置主要包括盛水瓶、药液袋和混药液组成，在混药器上设置 了注水孔和吸液孔，工作时盛放在药液袋中的农药经过混药器上缩颈部分时产生负压，注水 孔产生正压，在正负压共同作用下使得农药从药液袋进入混药装置实现药、水混合。专利6(申 请号为201310670806.7)公开了一种《植保机械喷药系统动态比例混药装置》，考虑采用药水 二次混合的混药方式，即将药和水在初混箱进行初次混合，然后通过比例混药泵将初混液和 水吸入喷施管道进行二次混合(难于准确控制药水混合比)。专利7(申请号为200920202638.8) 公开了一种《喷雾机用机械蠕动式混药装置》，该装置将柱塞泵曲轴与安装在凸轮上的滚柱 形状的压辊采用同一动力轴带动，使柱塞泵和蠕动管的流量同步变化，试图实现定比动态混 药，但该装置只能适用于固定药水混合比的情况，不能对药水混合比比进行改变。上述专利 中大多通过溢流阀对水流量和压力进行控制，通过高精度流量传感装置和高精度控制阀对药 液流量进行测控，通过控制水流量和药液流量对混药浓度进行控制，申请人未发现通过动态 调整控制器参数提高混药浓度的稳态控制精度的混药装置。

混药装置中对水流量和药液流量精密控制就需要有相应的高精度的传感器和执行机构， 高精度传感器和执行机构一方面价格高，另一方面无论多高精度的传感器和执行机构，由于 实际控制系统受执行机构和传感器死区及分辨率的影响使得各个被控量在达到稳态时并不能 准确的稳定在设定值，而是在平衡位置附近以一定幅度一定周期波动，各个被控量的稳态振 荡幅度、振荡周期和振荡相位这3个参数并不相同，这3个参数波动情况的不同会产生不同的 稳态控制精度，如果通过动态调整控制器参数使各个被控量的稳态振荡幅度降低，从而获得 较高的稳态控制精度，这种在不增加任何硬件成本和不改变硬件结构情况下使稳态控制精度 得到提高的方法，具有一定现实意义。由混药浓度计算公式：

$D=\frac{Q_p}{Q_p+Q_w}---\left(1\right)$

式(1)中，D为混药浓度；Q_p和Q_w分别为药液流量和水流量，mL/min。

由式(1)可知，混药浓度的控制是通过对药液流量和水流量的控制实现的，其精度取决 于Q_p和Q_w的控制精度。然而，由于执行机构和测量传感器分辨率的限制，导致在到达稳态 平衡状态时，Q_p和Q_w在平衡位置以一定周期波动，若两流量中其中一个在正半周期，而另 一个处于负半周期，从而导致混药浓度误差增大。如果达到稳态平衡时，气体温度和压力以 同周期、同相位的形式振荡，则Q_p/Q_w变化较小，即Q_p和Q_w稳态波动对混药浓度影响较小， 如果能通过一定方法使药液流量和水流量按照同周期、同相位的的形式振荡，这样即可使混 药浓度的稳态控制精度提高。

为了弥补现有技术的不足，本发明提出一种提高混药装置混药浓度稳态精度的实时控制 方法，旨在混药浓度控制系统达到稳态平衡时，通过对控制器参数的自整定来使被控量Q_p和 Q_w以同周期、同相位的形式振荡，从而提高混药浓度的控制精度。一种提高混药装置混药浓 度稳态精度的实时控制方法的特点在于：在系统达到稳态平衡时，通过对控制器参数进行在 线调整，从而提高控制系统中混药浓度的控制精度。

发明内容

针对实际控制系统受执行机构和传感器死区及分辨率的限制使得各个被控量在达到稳态 时并不能准确的稳定在设定值，而是在平衡位置附近以一定幅度一定周期波动，本发明提供 了一种提高混药装置混药浓度稳态精度的实时控制方法，它在不增加任何硬件成本和不改变 硬件结构情况下通过对控制器参数的自整定来使被控量稳态振荡幅度减小，从而混药浓度的 稳态控制精度得到提高，为需要高精度混药浓度测量和控制的场合提供了成本低、有效的自 动控制方法。

一种提高混药装置混药浓度稳态精度的实时控制方法，该方法具体步骤如下：

步骤一：获得药液流量和水流量传递函数的一阶惯性延迟表达式；

实际控制系统中，药液流量和水流量控制系统可表示成一阶惯性延迟系统或通过模型降 阶方法简化为一阶惯性延迟系统，一阶延时惯性过程传递函数可表示为：

$G\left(s\right)=\frac{{\mathrm{ke}}^{-\mathrm{\theta s}}}{\mathrm{\tau s}+1}---\left(2\right)$

其中，k为放大倍数，τ为时间常数，θ为系统延迟；

通过阶跃响应实验，可确定(2)中的k、τ和θ3个参数的值，即获得被控系统的一阶惯 性延迟系统的传递函数表达式；

步骤二：导出被控对象在PI(比例积分)控制器作用下稳态振荡幅度的关系表达式；

(1)稳态振荡幅度的表达式的导出

受限制(低)输入分辨率的反馈控制会导致极限环；对输入分辨率的一个简单的代表就是 使用一个被量化的输入；量化器的输出为：

u_q＝q·round(u/q)     (3)

其中，u和u_q分别为量化器的输入和输出；q为量化步长，这里量化器代表受限的执行 机构分辨率；round为取整函数；

带有量化器的反馈系统中，G(s)为控制对象(过程)传递函数，K(s)为控制器，y和r分 别为过程输出和参考输入，u为被控量；由于执行器低分辨率导致了阶梯式的输入，从而使 得控制对象输出y以幅度a(从波谷到波峰的总幅度)在平衡位置震荡；

含有量化器的反馈系统中，若控制器中有积分作用存在，则极限环是不可避免的；

稳态时，输出y的平均值等于参考输入r，即y_ss＝r，对应的输入

$u_{\mathrm{ss}}=\frac{y_{\mathrm{ss}}}{G\left(0\right)}=\frac{r}{G\left(0\right)}---\left(4\right)$

其中G(0)为过程的稳态增益，由于测量噪声的存在，一般情况下，u_ss不可能正好等于量 化器级别q_i，则量化器输出u_q必然至少在两个量化器级间震荡；

假定该过程由周期性持续输入u(t)信号激励；该信号由不带迟滞环的继电器产生；其中 q₁、q₂为极限值，t₁为u_q保持q₁的时间，T为振荡周期(T＝t₁+t₂)，该信号可表示为频域上一 系列时延项；不失一般性，假定q₂＝0，q₁＝q，则：

$u_q\left(s\right)=\frac{q}{s}(1-e^{-t_{1}s}+e^{-\mathrm{Ts}}-e^{-(t_1+T)s}+e^{-2\mathrm{Ts}}-e^{-(t_1+2T)s}+...)---\left(5\right)$

将此信号作用到式(2)表示的过程，输出信号会出现震荡；震荡的最大(小)值存在于集合 $t=\left\{t\right|t=t_1+\mathrm{mT}+\theta ,\forall m\in N\},$最小(大)值存在于集合$t=\left\{t\right|t=\mathrm{mT}+\theta ,\forall m\in N\};$在 θ+T＜t＜θ+t₁+T范围内最大值为

$y\left(s\right)=\frac{k{e}^{-\mathrm{\theta s}}}{\mathrm{\tau s}+1}\frac{q}{s}(1-e^{-t_{1}s}+e^{-\mathrm{Ts}})---\left(6\right)$

转换到时域得

$y\left(t\right)=\mathrm{kq}(1-e^{-(t-\theta -T)/\tau }+e^{-(t-\theta -t_1)/\tau }+e^{-(t-\theta )/\tau })---\left(7\right)$

这样，最大(小)值为

$y(t_1+T+\theta )=\mathrm{kq}(1-e^{-t_1/\tau }+e^{-T/\tau }+e^{-(t_1+T)/\tau })---\left(8\right)$

因此，最大(小)值可扩展为

$y_{\mathrm{ext}1}=\mathrm{kq}(1-e^{-t_1/\tau }+e^{-T/\tau }+e^{-(t_1+T)/\tau }+e^{-2T/\tau }+...)---\left(9\right)$

即

$y_{\mathrm{ext}1}=\mathrm{kq}(1-e^{-t_1/\tau })(1+e^{-T/\tau }+e^{-2T/\tau }+e^{-3T/\tau }...)---\left(10\right)$

当n→∞时，(e^-T/τ)ⁿ→0，式(9)的有限和为

$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{m=0}{\overset{n}{\Sigma }}{\left(e^{-T/\tau }\right)}^m=\frac{1}{1-e^{-T/\tau }}---\left(11\right)$

则

$y_{\mathrm{ext}1}=\mathrm{kq}\frac{1-e^{-t_1/\tau }}{1-e^{-T/\tau }}---\left(12\right)$

同样地，可导出在θ+t₁+T＜t＜θ+2T范围内最大值：

$y_{\mathrm{ext}2}=-\mathrm{kq}\frac{e^{-T/\tau }(1-e^{-t_1/\tau })}{1-e^{-T/\tau }}---\left(13\right)$

震荡幅度a＝y_ext1-y_ext2，即

$a=\mathrm{kq}\frac{1-e^{-t_1/\tau }+e^{-T/\tau }-e^{-(T-t_1)/\tau }}{1-e^{-T/\tau }}---\left(14\right)$

式(14)中a依赖于t₁和T，为此必须确定它们的值；

(2)t₁和T的导出

u(s)＝K(s)[r(s)-y(s)]     (15)

其中$K\left(s\right)=K_c\left(\frac{{\tau }_{I}s+1}{{\tau }_{I}s}\right),$r(s)＝r₀/s，y(s)＝G(s)u_q(s)，$G\left(s\right)=\frac{{\mathrm{ke}}^{-\mathrm{\theta s}}}{\mathrm{\tau s}+1};$

$u_q\left(s\right)=\frac{q_2}{s}+\frac{q_1-q_2}{s}(e^{-t_{0}s}-e^{-(t_0+t_1)s})---\left(16\right)$

考虑PI控制器，将式(16)代入(15)，并转换成时域形式，则有

$\left(\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-k{q}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-\theta )/\tau })+t-\theta ]+k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-t_0-\theta )/\tau })+t-t_0-\theta ]-\\ k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-t_0-t_1-\theta )/\tau })+t-t_0-t_1-\theta ]\end{array}\right)---\left(17\right)$

当θ<t<t₀+θ时，

$u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-\theta )/\tau })+t-\theta \left]\right\}---\left(18\right)$

在区间t₀+θ<t<t₀+t₁+θ，

$\left(\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-\theta )/\tau })+t-\theta ]+\\ k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-t_0-\theta )/\tau })+t-t_0-\theta ]\}\end{array}\right)---\left(19\right)$

同样地，对于区间t₀+t₁+θ<t<t₀+t₁+t₂+θ，

$\left(\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-\theta )/\tau })+t-\theta ]+k(q_1-q_2)\\ [({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-t_0-\theta )/\tau })+t-t_0-\theta ]-k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-t_0-t_1-\theta )/\tau })+t-t_0-t_1-\theta ]\}\end{array}\right)---\left(20\right)$

上式中，$u\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}(n+1/2)(q_1-q_2)& r_0\ge 0\\ -(n+1/2)(q_1-q_2)& r_0<0\end{array}\right)$

其中

$n=\mathrm{round}\left(\frac{u\left(t\right)}{q_1-q_2}\right)---\left(21\right)$

其中round为取整函数；

将t＝t₀，t＝t₀+t₁，t＝t₀+t₁+t₂分别代入式(18)，(19)，(20)得：

$u\left(t_0\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t_0+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-\theta )/\tau })+t_0-\theta \left]\right\}---\left(22\right)$

$\left(\begin{array}{c}u(t_0+t_1)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t_0+t_1+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_0+t_1-\theta )/\tau })+t_0+t_1-\theta ]+\\ k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_1-\theta )/\tau })+t_1-\theta ]\}\end{array}\right)---\left(23\right)$

$\left(\begin{array}{c}u(t_0+t_1+t_2)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_0+t_1+t_2-\theta )/\tau })+t_0+t_1+t_2-\theta ]+\\ k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_1-\theta )/\tau })+t_1-\theta ]-k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_2-\theta )/\tau })+t_2-\theta ]\}\end{array}\right)---\left(24\right)$

由于u(t₀)＝u(t₀+t₁)＝u(t₀+t₁+t₂)，结合式(22)～(24)，得：

$(r_0-{\mathrm{kq}}_2)t_1-k(q_1-q_2)\theta -{\mathrm{kq}}_1({\tau }_I-\tau )(e^{-(t_0-\theta )/\tau }-e^{-(t_0+t_1-\theta )/\tau })+k(q_1-q_2)({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_1-\theta )/\tau })=0---\left(25\right)$

$\left(\begin{array}{c}(r_0-{\mathrm{kq}}_1)t_2+k(q_1-q_2)\theta -{\mathrm{kq}}_1({\tau }_I-\tau )(e^{-(t_0+t_1-\theta )/\tau }-e^{-(t_0+t_1++t_2-\theta )/\tau })+\\ k(q_1-q_2)({\tau }_I-\tau )(e^{-(t_1-\theta )/\tau }-e^{-(t_1+t_2-\theta )/\tau })-k(q_1-q_2)({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_2-\theta )/\tau })=0\end{array}\right)---\left(26\right)$

特别地，当τ＝τ_I时，式(18)～(20)可分别变为：

$u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1(t-\theta )\}---\left(27\right)$

$u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-k{q}_1[(t-\theta )]+k(q_1-q_2)(t-t_0-\theta )\}---\left(28\right)$

$u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1(t-\theta )+k(q_1-q_2)(t-t_0-\theta )-k(q_1-q_2)(t-t_0-t_1-\theta )\}---\left(29\right)$

由于u(t₀)＝u(t₀+t₁)＝u(t₀+t₁+t₂)，将t＝t₀，t＝t₀+t₁+t₂，t＝t₀+t₁分别代入式(27)，(28)，(29)并求 解得：

$t_1=\frac{k(q_1-q_2)\theta }{r_0-k{q}_2}---\left(30\right)$

$t_2=\frac{k(q_1-q_2)\theta }{k{q}_1-r_0}---\left(31\right)$

$T=t_1+t_2=k(q_1-q_2)\theta (\frac{1}{k{q}_1-r_0}+\frac{1}{r_0-k{q}_2})---\left(32\right)$

当τ≠τ_I时，对式(22)～(24)进行数值求解，可得到t₁，t₂和T，然后代入式(14)即可求得被 控系统稳态振荡幅度a；

步骤三：确定PI控制器参数Kc和τ_I对稳态振荡幅度a的影响机理；

通过实验和仿真确定Kc和τ_I对稳态振荡幅度a的影响规律，为稳态过程中通过适当调节 Kc和τ_I降低稳态振荡幅度a，提高稳态控制精度奠定基础；

步骤四：调节PI控制器参数，对控制系统被控量——药液流量和水流量的稳态振荡幅度 进行调节。

本发明所具有的有益效果是：

(1)为实际工业控制系统的混药浓度精密控制过程提供了一种操作简便、快速、低成本 的稳态精度提高方法，在不增加硬件成本情况下，使被控对象控制精度大大提高。

(2)实时性强。本发明提供的稳态精度调节方法是实时在线调整，具有很强实时性。

(3)自适应能力强。该方法可适用于PI控制器作用下的任何一阶惯性延迟系统(或可简 化为一阶惯性延迟系统的过程)，不依赖于具体控制对象参数。

(4)成本低。稳态控制精度的提高并没有通过更换更高分辨率的执行机构和传感器(高 分辨率的执行机构和传感器，价格高)，因此本发明具有低成本的功效。

附图说明

图1喷雾机混药装置结构示意图；

图2平滑信号量化示意图；

图3含有量化器的反馈系统示意图；

图4含有量化器的反馈系统响应曲线图；

图5输入信号曲线图；

图6振荡幅度a随Kc的变化示意图；

图7振荡幅度a随τ_I的变化示意图；

各图的符号说明如下：

1-水箱；2-水泵；3-水比例溢流阀；4-水流量传感器；5-喷雾压力传感器；6-喷施流量传感器； 7-高速开关电磁阀；8-喷头；9-过滤器；10-单向阀；11-差压传感器；12-药液流量调节阀；13- 药液比例溢流阀；14-药液注入泵；15-药箱；16-控制器；17-拖拉机动力输出轴；18-水泵输 入轴转速传感器；19-机组前进速度霍尔传感器；20-车载计算机；

u：量化器输入(即控制器输出)；u_q：量化器输出；r：参考输入；y：被控量输出；K： 控制器传递函数；G：被控对象传递函数；a：被控对象稳态振荡幅度；T：振荡周期；q₁和q₂为量化器的两个相邻量化水平；t₁：在一个振荡周期内u_q保持在q₂的时间；t₂：在一个振荡 周期内u_q保持在q₁的时间；t₀：暂态过程时间；K_c：PI控制器增益系数；τ_I：PI控制器积 分时间常数。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例对本发明作进一步的说明，但本发明的保护范围并不限于此。

步骤一：获得药液流量和水流量传递函数的一阶惯性延迟表达式。

预先将水和药液分别存放在水箱(1)和药箱(15)中，通过控制器(16)设置混药浓度 和喷雾量，在拖拉机动力输出轴(17)的作用下，与拖拉机动力输出轴连接的水泵(2)将水 泵入喷雾机的主管道，在水泵转速一定时，通过控制器控制输入到水比例溢流阀(3)的电压 信号来控制水比例溢流阀的溢流量，从而实现对进入喷雾机主管道的水流量的控制；同时， 启动药液注入泵(14)并待其稳定在一定转速后，通过改变药液流量调节阀(12)的开度对 进入主管道的药流量进行精确控制，进入喷雾机主管道的水和药液在主管道均匀混合后，药 水混合液经过各个喷杆区的高速开关电磁阀(7)和喷头(8)的组合喷出。分别以输入到水 比例溢流阀(3)的电压或电流信号为输入量，以进入喷雾机主管道的水流量为输出量，建立 水流量控制系统的数学模型；分别以输入到药液流量调节阀(12)的电压或电流信号为输入 量，以进入喷雾机主管道的药液流量为输出量，建立药液流量控制系统的数学模型。

药液流量和水流量控制系统可表示成一阶惯性延迟系统或通过模型降阶方法简化为一阶 惯性延迟系统，一阶延时惯性过程传递函数可表示为：

$G\left(s\right)=\frac{{\mathrm{ke}}^{-\mathrm{\theta s}}}{\mathrm{\tau s}+1}---\left(2\right)$

其中，k为放大倍数，τ为时间常数，θ为系统延迟。

通过阶跃响应实验，可确定(2)中的k、τ和θ3个参数的值，即获得被控系统的一阶惯 性延迟系统的传递函数表达式。

步骤二：导出系统在PI(比例积分)控制器作用下稳态振荡幅度的关系表达式。

(1)稳态振荡幅度的表达式的导出

受限制或低输入分辨率的反馈控制会导致极限环，如图2所示。量化器的输出为

u_q＝q·round(u/q)     (3)

其中，u和u_q分别为量化器的输入和输出；q为量化步长，这里的量化器代表受限的执 行机构分辨率；round为取整函数。

图3为带有量化器的反馈系统，其中G(s)为控制对象(过程)传递函数，K(s)为控制器， y和r分别为过程输出和参考输入，u为被控量。由于执行器低分辨率导致了阶梯式的输入， 从而使得控制对象输出y以幅度a(从波谷到波峰的总幅度)在平衡位置震荡，如图4。

对于如图3所示的含有量化器的反馈系统。若控制器中有积分作用存在，则极限环是不 可避免的。

稳态时，输出y的平均值y_ss等于参考输入r，即y_ss＝r，对应的输入

$u_{\mathrm{ss}}=\frac{y_{\mathrm{ss}}}{G\left(0\right)}=\frac{r}{G\left(0\right)}---\left(4\right)$

其中G(0)为过程的稳态增益，u_ss为控制器平均值，由于测量噪声的存在，一般情况下， u_ss不可能正好等于量化器级别q_i，量化器输出u_q必然至少在两个量化器级间震荡。

假定式(1)表示的过程由图5所示的周期性持续输入u(t)信号激励。该信号由不带迟滞环 的继电器产生。其中q₁、q₂为极限值，t₁为u_q保持q₁的时间，T为振荡周期(T＝t₁+t₂)，该信 号可表示为频域上一系列时延项。不失一般性，假定q₂＝0，q₁＝q，则：

$u_q\left(s\right)=\frac{q}{s}(1-e^{-t_{1}s}+e^{-\mathrm{Ts}}-e^{-(t_1+T)s}+e^{-2\mathrm{Ts}}-e^{-(t_1+2T)s}+...)---\left(5\right)$

将此信号作用到式(2)表示的过程，输出信号会出现震荡。震荡的最大(小)值存在于集合 $t=\left\{t\right|t=t_1+\mathrm{mT}+\theta ,\forall m\in N\},$最小(大)值存在于集合$t=\left\{t\right|t=\mathrm{mT}+\theta ,\forall m\in N\}.$在 θ+T＜t＜θ+t₁+T范围内最大值为

$y\left(s\right)=\frac{k{e}^{-\mathrm{\theta s}}}{\mathrm{\tau s}+1}\frac{q}{s}(1-e^{-t_{1}s}+e^{-\mathrm{Ts}})---\left(6\right)$

转换到时域得

$y\left(t\right)=\mathrm{kq}(1-e^{-(t-\theta -T)/\tau }+e^{-(t-\theta -t_1)/\tau }+e^{-(t-\theta )/\tau })---\left(7\right)$

这样，最大(小)值为

$y(t_1+T+\theta )=\mathrm{kq}(1-e^{-t_1/\tau }+e^{-T/\tau }+e^{-(t_1+T)/\tau })---\left(8\right)$

因此，最大(小)值可扩展为

$y_{\mathrm{ext}1}=\mathrm{kq}(1-e^{-t_1/\tau }+e^{-T/\tau }+e^{-(t_1+T)/\tau }+e^{-2T/\tau }+...)---\left(9\right)$

即

$y_{\mathrm{ext}1}=\mathrm{kq}(1-e^{-t_1/\tau })(1+e^{-T/\tau }+e^{-2T/\tau }+e^{-3T/\tau }...)---\left(10\right)$

当n→∞时，(e^-T/τ)ⁿ→0，式(10)的有限和为

$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{m=0}{\overset{n}{\Sigma }}{\left(e^{-T/\tau }\right)}^m=\frac{1}{1-e^{-T/\tau }}---\left(11\right)$

则

$y_{\mathrm{ext}1}=\mathrm{kq}\frac{1-e^{-t_1/\tau }}{1-e^{-T/\tau }}---\left(12\right)$

同样地，可导出在θ+t₁+T＜t＜θ+2T范围内最大值：

$y_{\mathrm{ext}2}=-\mathrm{kq}\frac{e^{-T/\tau }(1-e^{-t_1/\tau })}{1-e^{-T/\tau }}---\left(13\right)$

振荡幅度a＝y_ext1-y_ext2，即

$a=\mathrm{kq}\frac{1-e^{-t_1/\tau }+e^{-T/\tau }-e^{-(T-t_1)/\tau }}{1-e^{-T/\tau }}---\left(14\right)$

式(14)中a依赖于t₁和T，为此必须确定t₁和T的值。

(2)t₁和T的导出

由图3可知，

u(s)＝K(s)[r(s)-y(s)]     (15)

其中为PI控制器传递函数，K_c和τ_I分别为PI控制器的放大倍数和积分 时间常数，r(s)＝r₀/s(r₀为控制器输入)，y(s)＝G(s)u_q(s)，

$u_q\left(s\right)=\frac{q_2}{s}+\frac{q_1-q_2}{s}(e^{-t_{0}s}-e^{-(t_0+t_1)s})---\left(16\right)$

考虑PI控制器，将式(16)代入(15)，并转换成时域形式，则有

$\left(\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-k{q}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-\theta )/\tau })+t-\theta ]+k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-t_0-\theta )/\tau })+t-t_0-\theta ]-\\ k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-t_0-t_1-\theta )/\tau })+t-t_0-t_1-\theta ]\end{array}\right)---\left(17\right)$

当θ<t<t₀+θ时，

$u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-\theta )/\tau })+t-\theta \left]\right\}---\left(18\right)$

在区间t₀+θ<t<t₀+t₁+θ，

$\left(\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-\theta )/\tau })+t-\theta ]+\\ k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-t_0-\theta )/\tau })+t-t_0-\theta ]\}\end{array}\right)---\left(19\right)$

同样地，对于区间t₀+t₁+θ<t<t₀+t₁+t₂+θ，

$\left(\begin{array}{c}u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-\theta )/\tau })+t-\theta ]+k(q_1-q_2)\\ [({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-t_0-\theta )/\tau })+t-t_0-\theta ]-k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-t_0-t_1-\theta )/\tau })+t-t_0-t_1-\theta ]\}\end{array}\right)---\left(20\right)$

上式中，$u\left(t\right)=\left(\begin{array}{cc}(n+1/2)(q_1-q_2)& r_0\ge 0\\ -(n+1/2)(q_1-q_2)& r_0<0\end{array}\right)$

其中：

$n=\mathrm{round}\left(\frac{u\left(t\right)}{q_1-q_2}\right)---\left(21\right)$

其中round为取整函数。

将t＝t₀，t＝t₀+t₁，t＝t₀+t₁+t₂分别代入式(18)，(19)，(20)得：

$u\left(t_0\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t_0+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t-\theta )/\tau })+t_0-\theta \left]\right\}---\left(22\right)$

$\left(\begin{array}{c}u(t_0+t_1)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t_0+t_1+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_0+t_1-\theta )/\tau })+t_0+t_1-\theta ]+\\ k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_1-\theta )/\tau })+t_1-\theta ]\}\end{array}\right)---\left(23\right)$

$\left(\begin{array}{c}u(t_0+t_1+t_2)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_0+t_1+t_2-\theta )/\tau })+t_0+t_1+t_2-\theta ]+\\ k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_1-\theta )/\tau })+t_1-\theta ]-k(q_1-q_2)[({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_2-\theta )/\tau })+t_2-\theta ]\}\end{array}\right)---\left(24\right)$

由于u(t₀)＝u(t₀+t₁)＝u(t₀+t₁+t₂)，结合式(22)～(24)，得：

$(r_0-{\mathrm{kq}}_2)t_1-k(q_1-q_2)\theta -{\mathrm{kq}}_1({\tau }_I-\tau )(e^{-(t_0-\theta )/\tau }-e^{-(t_0+t_1-\theta )/\tau })+k(q_1-q_2)({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_1-\theta )/\tau })=0---\left(25\right)$

$\left(\begin{array}{c}(r_0-{\mathrm{kq}}_1)t_2+k(q_1-q_2)\theta -{\mathrm{kq}}_1({\tau }_I-\tau )(e^{-(t_0+t_1-\theta )/\tau }-e^{-(t_0+t_1++t_2-\theta )/\tau })+\\ k(q_1-q_2)({\tau }_I-\tau )(e^{-(t_1-\theta )/\tau }-e^{-(t_1+t_2-\theta )/\tau })-k(q_1-q_2)({\tau }_I-\tau )(1-e^{-(t_2-\theta )/\tau })=0\end{array}\right)---\left(26\right)$

特别地，当τ＝τ_I时，式(18)～(20)可分别变为：

$u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1(t-\theta )\}---\left(27\right)$

$u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-k{q}_1[(t-\theta )]+k(q_1-q_2)(t-t_0-\theta )\}---\left(28\right)$

$u\left(t\right)=\frac{\mathrm{Kc}}{{\tau }_I}\{r_0(t+{\tau }_I)-{\mathrm{kq}}_1(t-\theta )+k(q_1-q_2)(t-t_0-\theta )-k(q_1-q_2)(t-t_0-t_1-\theta )\}---\left(29\right)$

由于u(t₀)＝u(t₀+t₁)＝u(t₀+t₁+t₂)，将t＝t₀，t＝t₀+t₁+t₂，t＝t₀+t₁分别代入式(27)，(28)，(29) 并求解得：

$t_1=\frac{k(q_1-q_2)\theta }{r_0-k{q}_2}---\left(30\right)$

$t_2=\frac{k(q_1-q_2)\theta }{k{q}_1-r_0}---\left(31\right)$

$T=t_1+t_2=k(q_1-q_2)\theta (\frac{1}{k{q}_1-r_0}+\frac{1}{r_0-k{q}_2})---\left(32\right)$

当τ≠τ_I时，对式(22)～(24)进行数值求解，可得到t₁，t₂和T。

步骤三：确定PI控制器参数K_c和τ_I对稳态振荡幅度的影响机理。

通过实验和仿真结果表明：1)如图6，Kc对振荡幅度a的调节作用很小或无影响，但其影响 被控制系统的暂态性能，因此Kc不用于调节振荡幅度a；2)如图7，在满足被控系统稳定性 前提下，随着τ_I的增大，振荡幅度a减小，但τ_I增加到一定程度后，随着τ_I的增大，振荡幅 度a减小幅度变小，表明τ_I对a的调节作用也是有限的。由此可得出如下调节规则：增大τ_I使 振荡幅度a减小，实现对a的在线调整，当τ_I增大对a不明显时，调整过程结束。

步骤四：采用稳定边界法确定PI控制器初始参数，待控制对象达到稳态后，通过调整K_c和τ_I对控制系统被控量——药液流量和水流量的稳态振荡幅度进行调节，以使稳态振荡幅度 最小。

本发明一种提高混药装置混药浓度稳态精度的实时控制方法在不改变任何硬件的情况下 为精密控制过程提供了一种操作简便、快速、低成本的稳态精度提高方法，为实际工业控制 系统的精密控制提供了一条新的途径。

所述实施例为本发明的优选的实施方式，但本发明并不限于上述实施方式，在不背离本 发明的实质内容的情况下，本领域技术人员能够做出的任何显而易见的改进、替换或变型均 属于本发明的保护范围。