一种基于最小区域的零件圆柱度误差评定方法

摘要

本发明公布了一种基于最小区域的零件圆柱度误差评定方法，该方法首先测量并获取被测圆柱面上测点坐标；然后给出圆柱的初始参数，查询被测要素与误差包容区域接触的测点，剔除无效接触点，在保持包容区域与有效接触点接触的条件下，根据测点的相对位置，对包容区域进行平移变动、旋转变动或尺寸变动，计算包容区域的变动量，并查询下一个接触点。然后再根据需要剔除无效接触点，再对包容区域进行变动……直到满足判别准则，输出圆柱度误差以及圆柱参数的最优值。本发明可准确计算出满足最小区域的圆柱度误差及圆柱参数最优值。

说明书

技术领域

本发明属于精密计量与计算机应用领域，具有涉及一种基于最小区域的 零件圆柱度误差评定方法，其可用于各种情况下圆柱形几何产品的合格性检 测，并为加工工艺的改进提供指导。

背景技术

尺寸误差、形位误差(形状误差和位置误差的简称)直接影响产品质量、 装配及其使用寿命，快速、准确地计算零件误差，具有重要的意义。圆柱是 机械零件中最常见的几何要素之一，其精度对产品的质量、性能以及使用寿 命具有重要的影响，而圆柱度是圆柱形零件的主要技术指标。目前，圆柱度 误差评定方法包括最小二乘圆柱法、最小区域圆柱法、最大内接圆柱法和最 小外接圆柱法。上述各种方法的计算结果差别很大，导致产品的误收或误废， 严重影响产品的成本与质量。

根据国际标准ISO/1101的规定，零件误差计算以最小区域法为仲裁方 法。在相同的硬件检测条件下，应用最小区域计算零件误差，可提高检测设 备的检测精度。最小区域圆柱法，属于不可微复杂最优化问题，目前，国内 外学者主要采用传统优化方法、智能算法、计算几何方法等。这些方法由于 存在计算稳定性差、计算效率低、对采点数量有限制、计算结果难以达到精 确解等缺陷，导致最小区域法很难在实际检测中应用。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是提供一种基于最小区域的零件圆柱度误差 评定方法，其不仅提高了圆柱度误差评定精度，而且算法稳定性好、计算效 率高，可以推广应用于其它形状误差评定中。

为解决上述问题，本发明是通过以下方案实现的：

本发明一种基于最小区域的零件圆柱度误差评定方法，包括如下步骤：

步骤1：将被测圆柱置于测量平台上，在测量空间直角坐标系中测量并 获取圆柱表面上的测点p_i(x_i,y_i,z_i)，其中i=1,2,…,n，n代表测点数目且为 正整数；所有测点p_i(x_i,y_i,z_i)形成测点集{p_i}；

步骤2：随机给出圆柱的参数，即圆柱轴线L的方向矢量V^C；并对步骤1 所得测点p_i(x_i,y_i,z_i)进行坐标系的变换，使坐标系z轴正向平行于圆柱轴线L 的方向矢量V^C，测点p_i(x_i,y_i,z_i)坐标变换后，忽略测点的z坐标，得到测点坐 标P_i(X_i,Y_i)；所有测点P_i(X_i,Y_i)形成测点集{P_i}；

步骤3：在测点集{P_i}中的任意取出3个测点，并计算3个测点组成三角 形的外接圆的圆心O^R，作为迭代的初始值；

步骤4：依次计算测点集{P_i}中各测点到圆心O^R的距离；并分别记录测点 集{P_i}中各测点到圆心O^R的最大距离和最小距离所对应的测点，所记录的最 小距离对应的测点形成误差包容区域的低值接触点集合，所记录的最大距离 对应的测点形成误差包容区域的高值接触点集合；

步骤5：判断误差包容区域的低值接触点集合中是否只有1个低值接触 点；

如果低值接触点的数量为1，则该低值接触点为低值有效接触点，此时 包容区域平移的方向矢量V_T等于圆心O^R坐标减去低值有效接触点坐标；首先 计算测点P_i和低值有效接触点连线的垂直中分线，然后计算中分线与过圆心 O^R且方向矢量为V_T的直线的交点，即为包容区域平移变动到内边界与P_i接触 时虚拟圆心的位置O_i；遍历所有的非接触点，计算对应的O_i，并计算O_i到圆 心O^R的距离，所有非接触点对应的|O^RO_i|组成集合{|O^RO_i|}；在集合{|O^RO_i|}中， 剔除V_T与O^RO_i异向的元素，然后查询集合中的最小值，即为包容区域的平移 变动量S；通过包容区域移动量S以及移动方向矢量V_T，重新计算圆心的坐 标O^R，并转到步骤4；

如果低值接触点的数量大于1，则跳转到步骤6；

步骤6：判断误差包容区域的低值接触点集合中低值接触点的数量是否 等于2；

如果低值接触点的数量为2，则这2个低值接触点为低值有效接触点； 此时还需对高值接触点集合中的高值接触点进行判断，若高值接触点集合中 有1个高值接触点则该高值接触点为高值有效接触点；若有2个或2个以上 的高值接触点，则判断这些高值接触点是否分布在2个低值接触点连线的两 侧，若满足则跳转到步骤10，否则查询高值接触点中距离低值有效接触点连 线最近的高值接触点，即为有效高值接触点，计算包容区域的平移变动方向 V_T，等于低值接触点连线的中点到圆心O^R的矢量方向移动，调整V_T，计算其 中1个有效低值接触点到有效高值接触点的方向矢量V'，若V'与V_T的点积小 于0，则将-V_T赋值给V_T；跳转到步骤8；

如果低值接触点的数量大于2，跳转到步骤7；

步骤7：判断误差包容区域的低值接触点集合中是否能找到2个低值接 触点，满足高值接触点集合中的高值接触点和其余的低值接触点分别分布在 这2个低值接触点连线的两侧；

如果能够找到满足上述条件的2个低值接触点，则查寻到的这2个低值 接触点为有效接触点，应用步骤6中低值接触点的数量为2的方法，查询高 值接触点集合中的有效高值接触点，并计算包容区域的平移变动矢量V_T；

如果不能找到满足上述条件的2个低值接触点，则跳转到步骤10；

步骤8：分别连接测点集{P_i}中的低值有效接触点与所有非接触测点，并 分别求解其垂直平分线，计算垂直平分线与过圆心O^R且方向矢量为V_T的直线 的交点集合然后，分别连接测点集{P_i}中的高值有效接触点与所有非接 触测点，并分别求解其垂直平分线，计算垂直平分线与过圆心O^R且方向矢量 为V_T的直线的交点集合

步骤9：分别确定包容区域变动到与测点集{P_i}中各个非接触点接触时圆 心O_i坐标；若则圆心O_i坐标取否则，圆心O_i坐标取遍历所有的非接触点，计算各个非接触点对应的O_i坐标，并计算O_i到O^R的距 离|O^RO_i|，得到集合{|O^RO_i|}；在集合{|O^RO_i|}中，剔除V_T与O^RO_i异向的对应元素， 然后计算集合{|O^RO_i|}中的最小值，最小值即为包容区域的变动量S；通过变动 量S及V_T，重新计算圆心O^R的坐标，然后跳转到步骤4；

步骤10：进行与步骤2中相逆的坐标变换，将测点坐标还原到原始值， 并分别计算圆心O^R变换后的坐标P₀^C；其中坐标P₀^C为圆柱轴线L上的一点，根 据该坐标P₀^C和步骤2中给出的圆柱轴线L的方向矢量V^C，即可确定圆柱轴线 L；

步骤11：依次计算实际圆柱上即测点集{p_i}中的各个测点到圆柱轴线L的 距离；并分别记录测点集{p_i}中各测点到圆柱轴线L的最大距离和最小距离， 同时将该最大距离减去该最小距离的值作为圆柱度误差T_C；所记录的最小距 离对应的测点形成包容区域的低值接触点集合，所记录的最大距离对应 的测点形成包容区域的高值接触点集合；

步骤12：如果包容区域的高值接触点集合中的高值接触点的数量等于2 且包容区域的低值接触点集合中的低值接触点的数量等于2；则对高值接触 点和低值接触点进行的坐标转换，使圆柱轴线L的方向矢量V^C与z轴平行后， 对高值接触点和低值接触点按其z轴坐标进行由小到大的排序，使P₁^U、P₂^U的 z轴坐标递增，使P₁^D、P₂^D的z轴坐标递增，则包容区域的旋转方向矢量为 ;设置包容区域绕或旋转的微量旋转调 整量σ的初始值；否则，跳转到步骤15；

步骤13：首先计算V^C绕或旋转σ角度后的矢量方向V^C'，即旋转后 圆柱轴线L'的方向矢量；然后将4个接触点即步骤12中所述的包容区域的高 值接触点集合中的2个高值接触点和包容区域的低值接触点集合中的2个低 值接触点，投影在垂直于V^C'的平面内，并分别计算高值接触点投影连线的垂 直平分线、低值接触点投影连线的垂直平分线，然后计算两垂直平分线的交 点P₀^C'，该交点位于旋转后的圆柱轴线L'上；

步骤14：计算出所有非接触点到圆柱轴线L'的距离{d_i}，并计算高值接 触点到圆柱轴线L'的距离R_max，低值接触点到圆柱轴线L'的距离R_min；如果 R_min≤min{d_i}且max{d_i}≤R_max，则表示变动量不足，旋转角度σ变为2σ；否则， 表示变动过大，有测点超出包容区域，旋转角度σ变为σ2；

判断σ前后两次的迭代值之差是否小于设定的σ误差允许值；若σ前后两 次的迭代值之差小于设定的σ误差允许值，则说明找到了第5个接触点，则 将V^C'、P₀^C'分别赋值给V^C、P₀^C，即为圆柱轴线L方向矢量与圆柱轴线L上一 点，并跳转到步骤11；若σ前后两次的迭代值之差大于或等于设定的σ误差 允许值，则跳转到步骤13；

步骤15：判断高值接触点和低值接触点的数量之和是否为5；如果数量 为之和5，则进行尺寸变动，并确定尺寸变动量ε的初始值，即跳转到步骤 16；若数量之和不等于5，则跳转到步骤18；

步骤16：计算同轴圆柱面间距离为T_C-ε时的包容区域的参数；设尺寸 变动后圆柱轴线L''的方向矢量为V^C''(a,b,1)，轴线上一点为P₀^C''(x₀,y₀,0)，圆 柱的半径为R，根据低值接触点与圆柱轴线的距离关系，

低值接触点满足以下方程：

${(x_j^D-x_0)}^2+{(y_j^D-y_0)}^2+{z_j^D}^2-{[a(x_j^D-x_0)+b(y_j^D-y_0)+z_j^D]}^2-(a^2+b^2+1)R=0$

高值接触点满足以下方程：

${(x_i^U-x_0)}^2+{(y_i^U-y_0)}^2+{z_i^U}^2-[a(x_i^U-x_0)+b(y_i^U-y_0)+z_i^U]-(a^2+b^2+1)(R+T_C-ϵ)=0$

以上两式中，j=1,…,n^D，i=1,…,n^U，n^U为高值接触点的数量，n^D为低值 接触点的数量，ε和T_C为已知参数；

以a、b、x₀、y₀、R未知量，建立五元非线性方程组，通过方程组求解， 可以得到变动后的圆柱轴线L''；

步骤17：计算出所有非接触点到圆柱轴线L''的距离{d_i'}；如果 min{d_i'}>R且max{d_i'}<R+T_C-ε，则表示变动量不足，尺寸变动量ε变为2ε； 否则，表示变动过大，其余测点超出包容区域，尺寸变动量ε变为ε2；

判断ε前后两次的迭代值之差是否小于设定的ε误差允许值，若ε前后两 次的迭代值之差小于设定的ε误差允许值，则说明找到第6个接触点，将L''的 参数赋值给包容区域的轴线L，并判断是否满足判别准则；若满足则跳转到 步骤19，若不满足判别准则跳转到步骤2；若ε前后两次的迭代值之差大于 或等于设定的ε误差允许值，则跳转到步骤16；

步骤18：判断高值接触点和低值接触点的数量之和是否大于等于6；

若高值接触点和低值接触点的数量之和大于等于6，则以接触点集合中5 个为一个组合，继续进行尺寸变动操作，即以其中一个组合为计算对象，根 据与步骤16和17中的试探性微量调整的方式确定同轴圆柱面间距离的变动 量ε的大小；如果ε小于设定的ε误差允许值，则判断是否满足判别准则，如 果满足则跳转到步骤19，否则换一个组合，重新计算ε，重新进行判断，依 次迭代下去；如果ε大于设定的误差允许值，跳转到步骤11；

若高值接触点和低值接触点的数量小于6，跳转到步骤11；

步骤19：输出圆柱度误差TC、圆柱的半径R以及圆柱的轴线L的参数。

上述方法中，在测量空间直角坐标系中测量并获取圆柱表面上的测点的 个数n的取值范围为5≤n≤100000。

上述方法中，所述旋转角度σ误差允许值介于10^-6-10^-4之间。

上述方法中，所述尺寸变动量ε误差允许值介于10^-5-10^-4之间。

本发明另一种基于最小区域的零件圆柱度误差评定方法，包括如下步骤：

步骤1：将被测圆柱置于测量平台上，在测量空间直角坐标系中测量并 获取圆柱表面上的测点p_i(x_i,y_i,z_i)，其中i=1,2,…,n，n代表测点数目且为 正整数；所有测点p_i(x_i,y_i,z_i)形成测点集{p_i}；

步骤2：随机给出圆柱的参数，即圆柱轴线L的方向矢量V^C；并对步骤1 所得测点p_i(x_i,y_i,z_i)进行坐标系的变换，使坐标系z轴正向平行于圆柱轴线L 的方向矢量V^C，测点p_i(x_i,y_i,z_i)坐标变换后，忽略测点的z坐标，得到测点坐 标P_i(X_i,Y_i)；所有测点P_i(X_i,Y_i)形成测点集{P_i}；

步骤3：在测点集{P_i}中的任意取出3个测点，并计算3个测点组成三角 形的外接圆的圆心O^R，作为迭代的初始值；

步骤4：依次计算测点集{P_i}中各测点到圆心O^R的距离；并分别记录测点 集{P_i}中各测点到圆心O^R的最大距离和最小距离所对应的测点，所记录的最 小距离对应的测点形成误差包容区域的低值接触点集合，所记录的最大距离 对应的测点形成误差包容区域的高值接触点集合；

步骤5：判断误差包容区域的高值接触点集合中是否只有1个高值接触 点；

如果高值接触点的数量为1，则该高值接触点为高值有效接触点，此时 设包容区域平移的方向矢量V_T等于高值有效接触点坐标减去圆心O^R坐标；首 先计算测点P_i和高值有效接触点的连线的垂直中分线，然后计算垂直中分线 与过圆心O^R且方向矢量为V_T的直线的交点，即为包容区域平移变动到外边界 与P_i接触时虚拟圆心的位置O_i；遍历所有的非接触点，计算对应的O_i，并计 算O_i到圆心O^R的距离，所有非接触点对应的|O^RO_i|组成集合{|O^RO_i|}；在集合 {|O^RO_i|}中，剔除V_T与O^RO_i异向的对应元素，然后查询集合{|O^RO_i|}中的最小值， 即为包容区域的平移变动量S；通过包容区域移动量S以及移动方向矢量V_T， 重新计算圆心的坐标O^R，并转到步骤4；

如果高值接触点的数量大于1，则跳转到步骤6；

步骤6：判断误差包容区域的高值接触点集合中高值接触点的数量是否 等于2；

如果高值接触点的数量为2，则这2个高值接触点为高值有效接触点； 此时还需对低值接触点集合中的低值接触点进行判断，若低值接触点集合中 有1个低值接触点则该低值接触点为低值有效接触点；若有2个或2个以上 的低值接触点，则判断这些低值接触点是否分布在2个高值接触点连线的两 侧，若满足则跳转到步骤10，否则查询低值接触点中距离高值有效接触点连 线最近的低值接触点，即为有效低值接触点，此时包容区域的平移变动方向V_T等于高值接触点连线的中点减去圆心O^R坐标，调整V_T，计算其中1个有效高 值接触点到有效低值接触点的方向矢量V'，若V'与V_T的点积小于0，则将-V_T赋值给V_T；跳转到步骤8；

如果高值接触点的数量大于2，跳转到步骤7；

步骤7：判断误差包容区域的高值接触点集合中是否能找到2个高值接 触点，满足低值接触点集合中的低值接触点和其余的高值接触点分别分布在 这2个高值接触点连线的两侧；

如果能够找到满足上述条件的2个高值接触点，则查寻到的这2个高值 接触点为有效接触点，应用步骤6中高值接触点的数量为2的方法，查询低 值接触点集合中的有效低值接触点，并计算包容区域的平移变动矢量V_T；

如果不能找到满足上述条件的2个高值接触点，则跳转到步骤10；

步骤8：分别连接测点集{P_i}中的低值有效接触点与所有非接触测点，并 分别求解其垂直平分线，计算垂直平分线与过圆心O^R且方向矢量为V_T的直线 的交点集合然后，分别连接测点集{P_i}中的高值有效接触点与所有非接 触测点，并分别求解其垂直平分线，计算垂直平分线与过圆心O^R且方向矢量 为V_T的直线的交点集合

步骤9：分别确定包容区域变动到与测点集{P_i}中各个非接触点接触时圆 心O_i坐标；若则圆心O_i坐标取否则，圆心O_i坐标取遍历所有的非接触点，计算各个非接触点对应的O_i坐标，并计算O_i到O^R的距 离|O^RO_i|，得到集合{|O^RO_i|}；在集合{|O^RO_i|}中，剔除V_T与O^RO_i异向的对应元素， 然后计算集合{|O^RO_i|}中的最小值，最小值即为包容区域的变动量S；通过变动 量S及V_T，重新计算圆心O^R的坐标，然后跳转到步骤4；

步骤10：进行与步骤2中相逆的坐标变换，将测点坐标还原到原始值， 并分别计算圆心O^R变换后的坐标P₀^C；其中坐标P₀^C为圆柱轴线L上的一点，根 据该坐标P₀^C和步骤2中给出的圆柱轴线L的方向矢量V^C，即可确定圆柱轴线 L；

步骤11：依次计算实际圆柱上即测点集{p_i}中的各个测点到圆柱轴线L的 距离；并分别记录测点集{p_i}中各测点到圆柱轴线L的最大距离和最小距离， 同时将该最大距离减去该最小距离的值作为圆柱度误差T_C；所记录的最小距 离对应的测点形成包容区域的低值接触点集合，所记录的最大距离对应 的测点形成包容区域的高值接触点集合；

步骤12：如果包容区域的高值接触点集合中的高值接触点的数量等于2 且包容区域的低值接触点集合中的低值接触点的数量等于2；则对高值接触 点和低值接触点进行的坐标转换，使圆柱轴线L的方向矢量V^C与z轴平行后， 对高值接触点和低值接触点按其z轴坐标进行由小到大的排序，使P₁^U、P₂^U的 z轴坐标递增，使P₁^D、P₂^D的z轴坐标递增，则包容区域的旋转方向矢量为 ;设置包容区域绕或旋转的微量旋转调 整量σ的初始值；否则，跳转到步骤15；

步骤13：首先计算V^C绕或旋转σ角度后的矢量方向V^C'，即旋转后 圆柱轴线L'的方向矢量；然后将4个接触点即步骤12中所述的包容区域的高 值接触点集合中的2个高值接触点和包容区域的低值接触点集合中的2个低 值接触点，投影在垂直于V^C'的平面内，并分别计算高值接触点投影连线的垂 直平分线、低值接触点投影连线的垂直平分线，然后计算两垂直平分线的交 点P₀^C'，该交点位于旋转后的圆柱轴线L'上；

步骤14：计算出所有非接触点到圆柱轴线L'的距离{d_i}，并计算高值接 触点到圆柱轴线L'的距离R_max，低值接触点到圆柱轴线L'的距离R_min；如果 R_min≤min{d_i}且max{d_i}≤R_max，则表示变动量不足，旋转角度σ变为2σ；否则， 表示变动过大，有测点超出包容区域，旋转角度σ变为σ2；

判断σ前后两次的迭代值之差是否小于设定的σ误差允许值；若σ前后两 次的迭代值之差小于设定的σ误差允许值，则说明找到了第5个接触点，则 将V^C'、P₀^C'分别赋值给V^C、P₀^C，即为圆柱轴线L方向矢量与圆柱轴线L上一 点，并跳转到步骤11；若σ前后两次的迭代值之差大于或等于设定的σ误差 允许值，则跳转到步骤13；

步骤15：判断高值接触点和低值接触点的数量之和是否为5；如果数量 为之和5，则进行尺寸变动，并确定尺寸变动量ε的初始值，即跳转到步骤 16；若数量之和不等于5，则跳转到步骤18；

步骤16：计算同轴圆柱面间距离为T_C-ε时的包容区域的参数；设尺寸 变动后圆柱轴线L''的方向矢量为V^C''(a,b,1)，轴线上一点为P₀^C''(x₀,y₀,0)，圆 柱的半径为R，根据低值接触点与圆柱轴线的距离关系，

低值接触点满足以下方程：

${(x_j^D-x_0)}^2+{(y_j^D-y_0)}^2+{z_j^D}^2-{[a(x_j^D-x_0)+b(y_j^D-y_0)+z_j^D]}^2-(a^2+b^2+1)R=0$

高值接触点满足以下方程：

${(x_i^U-x_0)}^2+{(y_i^U-y_0)}^2+{z_i^U}^2-[a(x_i^U-x_0)+b(y_i^U-y_0)+z_i^U]-(a^2+b^2+1)(R+T_C-ϵ)=0$

以上两式中，j=1,…,n^D，i=1,…,n^U，n^U为高值接触点的数量，n^D为低值 接触点的数量，ε和T_C为已知参数；

以a、b、x₀、y₀、R未知量，建立五元非线性方程组，通过方程组求解， 可以得到变动后的圆柱轴线L''；

步骤17：计算出所有非接触点到圆柱轴线L''的距离{d_i'}；如果 min{d_i'}>R且max{d_i'}<R+T_C-ε，则表示变动量不足，尺寸变动量ε变为2ε； 否则，表示变动过大，其余测点超出包容区域，尺寸变动量ε变为ε2；

判断ε前后两次的迭代值之差是否小于设定的ε误差允许值，若ε前后两 次的迭代值之差小于设定的ε误差允许值，则说明找到第6个接触点，将L''的 参数赋值给包容区域的轴线L，并判断是否满足判别准则；若满足则跳转到 步骤19，若不满足判别准则跳转到步骤2；若ε前后两次的迭代值之差大于 或等于设定的ε误差允许值，则跳转到步骤16；

步骤18：判断高值接触点和低值接触点的数量之和是否大于等于6；

若高值接触点和低值接触点的数量之和大于等于6，则以接触点集合中5 个为一个组合，继续进行尺寸变动操作，即以其中一个组合为计算对象，根 据与步骤16和17中的试探性微量调整的方式确定同轴圆柱面间距离的变动 量ε的大小；如果ε小于设定的ε误差允许值，则判断是否满足判别准则，如 果满足则跳转到步骤19，否则换一个组合，重新计算ε，重新进行判断，依 次迭代下去；如果ε大于设定的误差允许值，跳转到步骤11；

若高值接触点和低值接触点的数量小于6，跳转到步骤11；

步骤19：输出圆柱度误差T_C、圆柱的半径R以及圆柱的轴线L的参数。

上述方法中，在测量空间直角坐标系中测量并获取圆柱表面上的测点的 个数，即n介于5-100000。

上述方法中，所述旋转角度σ误差允许值介于10^-6-10^-4之间。

上述方法中，所述尺寸变动量ε误差允许值介于10^-5-10^-4之间。

与现有技术相比，本发明公布了一种基于最小区域的零件圆柱度误差评 定方法，该方法首先测量并获取被测圆柱面上测点坐标；然后给出圆柱的初 始参数，查询被测要素与误差包容区域接触的测点，剔除无效接触点，在保 持包容区域与有效接触点接触的条件下，根据测点的相对位置，对包容区域 进行平移变动、旋转变动或尺寸变动，计算包容区域的变动量，并查询下一 个接触点。然后再根据需要剔除无效接触点，再对包容区域进行变动……直 到满足判别准则，输出圆柱度误差以及圆柱参数的最优值。本发明可准确计 算出满足最小区域的圆柱度误差及圆柱参数最优值。本发明依据圆柱自身的 特征，在圆柱度误差优化的方向上，对包容区域进行相应平移变动、旋转变 动或平移变动，最终计算出圆柱度误差最优值和圆柱参数最优值。

附图说明

图1最小区域圆柱度计算流程。

图2最小区域圆度的计算效果图。

图3最小区域圆柱度的计算效果图。

具体实施方式

实施例1：（本实施例在步骤4-7中通过先查询两个低值接触点后查询两 个高值接触点的方式实现）

一种基于最小区域的零件圆柱度误差评定方法，如图1所示，包括如下 步骤：

步骤1：将被测圆柱置于测量平台上，在测量空间直角坐标系中测量并 获取圆柱表面上的测点p_i(x_i,y_i,z_i)，其中i=1,2,…,n，n代表测点数目且为 正整数；所有测点p_i(x_i,y_i,z_i)形成测点集{p_i}；在本实施例中，在测量空间直 角坐标系中测量并获取圆柱表面上的测点的个数n的取值范围为5≤n≤ 100000。

在进行实际测量时，若测量平台采用的是直角坐标测量仪器，则可以直 接获得圆柱表面上的测点的直角坐标p_i(x_i,y_i,z_i)，若测量平台采用的是极坐标 测量仪器，则可以先测量直接获得圆柱表面上的测点的极坐标pi(ρ_i,θ_i,z_i)，然 后再通过极坐标p_i(ρ_i,θ_i,z_i)转换为直角坐标p_i(x_i,y_i,z_i)；

步骤2：随机给出圆柱的参数，即圆柱轴线L的方向矢量V^C；并对步骤1 所得测点p_i(x_i,y_i,z_i)进行坐标系的变换，使坐标系z轴正向平行于圆柱轴线L 的方向矢量V^C，测点p_i(x_i,y_i,z_i)坐标变换后，忽略测点的z坐标，得到测点坐 标P_i(X_i,Y_i)；所有测点P_i(X_i,Y_i)形成测点集{P_i}；

步骤3：在测点集{P_i}中的任意取出3个测点，并计算3个测点组成三角 形的外接圆的圆心O^R，作为迭代的初始值；

步骤4：依次计算测点集{P_i}中各测点到圆心O^R的距离；并分别记录测点 集{P_i}中各测点到圆心O^R的最大距离和最小距离所对应的测点，所记录的最 小距离对应的测点形成误差包容区域的低值接触点集合，所记录的最大距离 对应的测点形成误差包容区域的高值接触点集合；

步骤5：判断误差包容区域的低值接触点集合中是否只有1个低值接触 点；

如果低值接触点的数量为1，则该低值接触点为低值有效接触点，此时 包容区域平移的方向矢量V_T等于圆心O^R坐标减去低值有效接触点坐标；首先 计算测点P_i和低值有效接触点连线的垂直中分线，然后计算中分线与过圆心 O^R且方向矢量为V_T的直线的交点，即为包容区域平移变动到内边界与P_i接触 时虚拟圆心的位置O_i；遍历所有的非接触点，计算对应的O_i，并计算O_i到圆 心O^R的距离，所有非接触点对应的|O^RO_i|组成集合{|O^RO_i|}；在集合{|O^RO_i|}中， 剔除V_T与O^RO_i异向的元素，然后查询集合中的最小值，即为包容区域的平移 变动量S；通过包容区域移动量S以及移动方向矢量V_T，重新计算圆心的坐 标O^R，并转到步骤4；

如果低值接触点的数量大于1，则跳转到步骤6；

步骤6：判断误差包容区域的低值接触点集合中低值接触点的数量是否 等于2；

如果低值接触点的数量为2，则这2个低值接触点为低值有效接触点； 此时还需对高值接触点集合中的高值接触点进行判断，若高值接触点集合中 有1个高值接触点则该高值接触点为高值有效接触点；若有2个或2个以上 的高值接触点，则判断这些高值接触点是否分布在2个低值接触点连线的两 侧，若满足则跳转到步骤10，否则查询高值接触点中距离低值有效接触点连 线最近的高值接触点，即为有效高值接触点，计算包容区域的平移变动方向 V_T，等于低值接触点连线的中点到圆心O^R的矢量方向移动，调整V_T，计算其 中1个有效低值接触点到有效高值接触点的方向矢量V'，若V'与V_T的点积小 于0，则将-V_T赋值给V_T；跳转到步骤8；

如果低值接触点的数量大于2，跳转到步骤7；

步骤7：判断误差包容区域的低值接触点集合中是否能找到2个低值接 触点，满足高值接触点集合中的高值接触点和其余的低值接触点分别分布在 这2个低值接触点连线的两侧；

如果能够找到满足上述条件的2个低值接触点，则查寻到的这2个低值 接触点为有效接触点，应用步骤6中低值接触点的数量为2的方法，查询高 值接触点集合中的有效高值接触点，并计算包容区域的平移变动矢量V_T；

如果不能找到满足上述条件的2个低值接触点，则跳转到步骤10；

步骤8：分别连接测点集{P_i}中的低值有效接触点与所有非接触测点，并 分别求解其垂直平分线，计算垂直平分线与过圆心O^R且方向矢量为V_T的直线 的交点集合然后，分别连接测点集{P_i}中的高值有效接触点与所有非接 触测点，并分别求解其垂直平分线，计算垂直平分线与过圆心O^R且方向矢量 为V_T的直线的交点集合

步骤9：分别确定包容区域变动到与测点集{P_i}中各个非接触点接触时圆 心O_i坐标；若则圆心O_i坐标取否则，圆心O_i坐标取遍历所有的非接触点，计算各个非接触点对应的O_i坐标，并计算O_i到O^R的距 离|O^RO_i|，得到集合{|O^RO_i|}；在集合{|O^RO_i|}中，剔除V_T与O^RO_i异向的对应元素， 然后计算集合{|O^RO_i|}中的最小值，最小值即为包容区域的变动量S；通过变动 量S及V_T，重新计算圆心O^R的坐标，然后跳转到步骤4；

步骤10：进行与步骤2中相逆的坐标变换，将测点坐标还原到原始值， 并分别计算圆心O^R变换后的坐标P₀^C；其中坐标P₀^C为圆柱轴线L上的一点，根 据该坐标P₀^C和步骤2中给出的圆柱轴线L的方向矢量V^C，即可确定圆柱轴线 L；

步骤11：依次计算实际圆柱上即测点集{p_i}中的各个测点到圆柱轴线L的 距离；并分别记录测点集{p_i}中各测点到圆柱轴线L的最大距离和最小距离， 同时将该最大距离减去该最小距离的值作为圆柱度误差T_C；所记录的最小距 离对应的测点形成包容区域的低值接触点集合，所记录的最大距离对应 的测点形成包容区域的高值接触点集合；

步骤12：如果包容区域的高值接触点集合中的高值接触点的数量等于2 且包容区域的低值接触点集合中的低值接触点的数量等于2；则对高值接触 点和低值接触点进行的坐标转换，使圆柱轴线L的方向矢量V^C与z轴平行后， 对高值接触点和低值接触点按其z轴坐标进行由小到大的排序，使P₁^U、P₂^U的 z轴坐标递增，使P₁^D、P₂^D的z轴坐标递增，则包容区域的旋转方向矢量为 ;设置包容区域绕或旋转的微量旋转调 整量σ的初始值；

否则，跳转到步骤15；

步骤13：首先计算V^C绕或旋转σ角度后的矢量方向V^C'，即旋转后 圆柱轴线L'的方向矢量；然后将4个接触点即步骤12中所述的包容区域的高 值接触点集合中的2个高值接触点和包容区域的低值接触点集合中的2个低 值接触点，投影在垂直于V^C'的平面内，并分别计算高值接触点投影连线的垂 直平分线、低值接触点投影连线的垂直平分线，然后计算两垂直平分线的交 点P₀^C'，该交点位于旋转后的圆柱轴线L'上；

步骤14：计算出所有非接触点到圆柱轴线L'的距离{d_i}，并计算高值接 触点到圆柱轴线L'的距离R_max，低值接触点到圆柱轴线L'的距离R_min；如果 R_min≤min{d_i}且max{d_i}≤R_max，则表示变动量不足，旋转角度σ变为2σ；否则， 表示变动过大，有测点超出包容区域，旋转角度σ变为σ2；

判断σ前后两次的迭代值之差是否小于设定的σ误差允许值，在本实施 例中，旋转角度σ误差允许值介于10^-6-10^-4之间。若σ前后两次的迭代值之差 小于设定的σ误差允许值，则说明找到了第5个接触点，则将V^C'、P₀^C'分别 赋值给V^C、P₀^C，即为圆柱轴线L方向矢量与圆柱轴线L上一点，并跳转到步 骤11；若σ前后两次的迭代值之差大于或等于设定的σ误差允许值，则跳转 到步骤13；

步骤15：判断高值接触点和低值接触点的数量之和是否为5；如果数量 为之和5，则进行尺寸变动，并确定尺寸变量ε的初始值，即跳转到步骤16； 若数量之和不等于5，则跳转到步骤18；

步骤16：计算同轴圆柱面间距离为T_C-ε时的包容区域的参数；设尺寸 变动后圆柱轴线L''的方向矢量为V^C''(a,b,1)，轴线上一点为P₀^C''(x₀,y₀,0)，圆 柱的半径为R，根据低值接触点与圆柱轴线的距离关系，

低值接触点满足以下方程：

${(x_j^D-x_0)}^2+{(y_j^D-y_0)}^2+{z_j^D}^2-{[a(x_j^D-x_0)+b(y_j^D-y_0)+z_j^D]}^2-(a^2+b^2+1)R=0$

高值接触点满足以下方程：

${(x_i^U-x_0)}^2+{(y_i^U-y_0)}^2+{z_i^U}^2-[a(x_i^U-x_0)+b(y_i^U-y_0)+z_i^U]-(a^2+b^2+1)(R+T_C-ϵ)=0$

以上两式中，j=1,…,n^D，i=1,…,n^U，n^U为高值接触点的数量，n^D为低值 接触点的数量，ε和T_C为已知参数；

以a、b、x₀、y₀、R未知量，建立五元非线性方程组，通过方程组求解， 可以得到变动后的圆柱轴线L''；

步骤17：计算出所有非接触点到圆柱轴线L''的距离{d_i'}；如果 min{d_i'}>R且max{d_i'}<R+T_C-ε，则表示变动量不足，尺寸变量ε变为2ε；否 则，表示变动过大，其余测点超出包容区域，尺寸变量ε变为ε2；

判断ε前后两次的迭代值之差是否小于设定的ε误差允许值，在本实施例 中，尺寸变动量ε误差允许值介于10^-5-10^-4之间。若ε前后两次的迭代值之差 小于设定的ε误差允许值，则说明找到第6个接触点，将L''的参数赋值给包 容区域的轴线L，将各个高值接触点分别代入下式，

[cosθ,sinθ,zcosθ,zsinθ]^T

其中θ为对应高值接触点相对轴线的相位角，从而得到每个高值接触点 对应的将各个低值接触点分别代入上式，从而得到每个低值接触点对应 的构成下列判别函数，

$J=\underset{{\Omega }_1}{\min }\underset{k=1}{\overset{6}{\Sigma }}{y}_k$

Ω₁是由下列不等式组确定的可行域：

$\left(\begin{array}{cc}\underset{i=1}{\overset{n^U}{\Sigma }}{\lambda }_i{\bar{\alpha }}_i-\underset{j=1}{\overset{n^D}{\Sigma }}{\mu }_j{\underset{‾}{\alpha }}_j+y=0& \\ \underset{i=1}{\overset{n^U}{\Sigma }}{\lambda }_i+y_5=1& \\ \underset{j=1}{\overset{n^D}{\Sigma }}{\mu }_j+y_6=1& \\ {\lambda }_i\ge 0& i=1,···n^U\\ {\mu }_j\ge 0& j=1,···n^D\\ y_k\ge 0& k=1,···6\end{array}\right)$

上式中：第一个约束是矢量方程，0表示4维的零列向量，第二、三个 约束为数值方程，判断是最优解判别值J是否等于0，如果等于0说明满足判 别准则跳转到步骤19，若不满足判别准则跳转到步骤2；若ε前后两次的迭 代值之差大于或等于设定的ε误差允许值，则跳转到步骤16；

步骤18：判断高值接触点和低值接触点的数量之和是否大于等于6；

若高值接触点和低值接触点的数量之和大于等于6，则以接触点集合中5 个为一个组合，继续进行尺寸变动操作，即以其中一个组合为计算对象，根 据与步骤16和17中的试探性微量调整的方式确定同轴圆柱面间距离的变动 量ε的大小；如果ε小于设定的ε误差允许值，则判断是否满足判别准则，如 果满足则跳转到步骤19，否则换一个组合，重新计算ε，重新进行判断，依 次迭代下去；如果ε大于设定的误差允许值，跳转到步骤11；

若高值接触点和低值接触点的数量小于6，跳转到步骤11；

步骤19：输出圆柱度误差T_C、圆柱的半径R以及圆柱的轴线L的参数。

以下通过实验实例，说明本发明所公布方法计算的有效性。

实验对象1：最小区域圆度计算

在测量平台上，在回转体零件某截面上获取12个测点，测点坐标如表1 所示。圆的投影平面的法向矢量为(-0.0009231,0.0003947,0.9999995)。应用 本发明所公布的方法，计算出圆半径为8.0848mm，圆度为0.0165mm，计算 的效果如图2所示，第1、8号测点为高值接触点、11号测点为低值接触点， 满足交叉准则，为最优解。

应用海克斯康三坐标测量仪的配套软件计算的结果为0.0170mm。本发明 计算结果较优。

表1圆的测点坐标

实验对象2：最小区域圆柱度计算

表2圆柱的测点坐标

在测量平台上，在圆柱体零件表面上获取20点，测点坐标如表2所示。

应用本发明所公布的方法，计算出圆柱为12.5163mm，圆柱度为0.0143mm。 圆柱轴线方向矢量(0.9999,0.0113,0.0010)，圆柱轴线上一点坐标为(-3.2280, 332.4948,-518.2626)。计算的效果如图3示，第1、3、10、18号测点为高值 接触点，第2、4、19号测点为低值接触点。分别计算高值接触点、低值接触 点的α映射，并计算最优解的判别值J，经计算J=2.3753e-009，满足判别准 则，计算出的圆柱参数及圆柱度误差为最优解。

海克斯康三坐标测量仪的配套软件计算的结果为0.0149mm。通过对比可 知，本发明所公布的方法较优。

实施例2：（本实施例在步骤4-7中通过先查询两个高值接触点后查询两 个低值接触点的方式实现）

一种基于最小区域的零件圆柱度误差评定方法，包括如下步骤：

执行应用实施例1中的步骤1到步骤3；

步骤4：依次计算测点集{P_i}中各测点到圆心O^R的距离；并分别记录测点 集{P_i}中各测点到圆心O^R的最大距离和最小距离所对应的测点，所记录的最 小距离对应的测点形成误差包容区域的低值接触点集合，所记录的最大距离 对应的测点形成误差包容区域的高值接触点集合；

步骤5：判断误差包容区域的高值接触点集合中是否只有1个高值接触 点；

如果高值接触点的数量为1，则该高值接触点为高值有效接触点，此时 设包容区域平移的方向矢量V_T等于高值有效接触点坐标减去圆心O^R坐标；首 先计算测点P_i和高值有效接触点的连线的垂直中分线，然后计算垂直中分线 与过圆心O^R且方向矢量为V_T的直线的交点，即为包容区域平移变动到外边界 与P_i接触时虚拟圆心的位置O_i；遍历所有的非接触点，计算对应的O_i，并计 算O_i到圆心O^R的距离，所有非接触点对应的|O^RO_i|组成集合{|O^RO_i|}；在集合 {|O^RO_i|}中，剔除V_T与O^RO_i异向的对应元素，然后查询集合{|O^RO_i|}中的最小值， 即为包容区域的平移变动量S；通过包容区域移动量S以及移动方向矢量V_T， 重新计算圆心的坐标O^R，并转到步骤4；

如果高值接触点的数量大于1，则跳转到步骤6；

步骤6：判断误差包容区域的高值接触点集合中高值接触点的数量是否 等于2；

如果高值接触点的数量为2，则这2个高值接触点为高值有效接触点； 此时还需对低值接触点集合中的低值接触点进行判断，若低值接触点集合中 有1个低值接触点则该低值接触点为低值有效接触点；若有2个或2个以上 的低值接触点，则判断这些低值接触点是否分布在2个高值接触点连线的两 侧，若满足则跳转到步骤10，否则查询低值接触点中距离高值有效接触点连 线最近的低值接触点，即为有效低值接触点，此时包容区域的平移变动方向V_T等于高值接触点连线的中点减去圆心O^R坐标，调整V_T，计算其中1个有效高 值接触点到有效低值接触点的方向矢量V'，若V'与V_T的点积小于0，则将-V_T赋值给V_T；跳转到步骤8；

如果高值接触点的数量大于2，跳转到步骤7；

步骤7：判断误差包容区域的高值接触点集合中是否能找到2个高值接 触点，满足低值接触点集合中的低值接触点和其余的高值接触点分别分布在 这2个高值接触点连线的两侧；

如果能够找到满足上述条件的2个高值接触点，则查寻到的这2个高值 接触点为有效接触点，应用步骤6中高值接触点的数量为2的方法，查询低 值接触点集合中的有效低值接触点，并计算包容区域的平移变动矢量V_T；

如果不能找到满足上述条件的2个高值接触点，则跳转到步骤10；

然后执行实施例1中的步骤8到步骤19。