平面二次包络环面蜗杆传动蜗轮滚刀齿廓建模方法

摘要

本发明涉及一种平面二次包络环面蜗杆传动蜗轮滚刀齿廓建模方法，包括以下步骤：1）给定初始设计参数；2）求起始端对应的

说明书

技术领域

本发明涉及一种平面二次包络环面蜗杆传动蜗轮滚刀齿廓建模方法。

背景技术

目前平面二次包络环面蜗杆传动蜗轮滚刀齿廓模型需要通过建立平面二次包络环面蜗杆传动蜗轮滚刀基本蜗杆实体模型，然后通过切除多余实体的方法获得，这种方法需事先建立蜗轮滚刀基本蜗杆的实体模型，建模步骤繁琐，且模型精度差。目前尚缺乏一种能直接建立平面二次包络环面蜗杆传动蜗轮滚刀齿廓模型的方法。

如图1是平面二次包络环面蜗杆传动直槽蜗轮滚刀，它包括滚刀甲螺旋面10、滚刀乙螺旋面9、滚刀齿顶圆弧面1和滚刀齿根圆弧面11。图2是蜗轮滚刀的一个刀齿，刀齿上包括一个主切削刃5、两个副切削刃6和8、一个前刀面7，一个主后刀面3和两个副后刀面2和4。蜗轮滚刀的轴向齿廓也即是指轴向上一排滚刀的所有切削刃及截平面与滚刀齿根圆弧面形成的截廓。

基于坐标变换、空间啮合原理推导出如下形式的平面二次包络环面蜗杆传动蜗轮滚刀基本蜗杆的齿面参数方程，蜗轮滚刀基本蜗杆是指还未进行开槽，铲背工序的蜗轮滚刀。

甲齿面方程：

乙齿面方程：

其中，和是齿面上接触点在与母平面相固联坐标系中的坐标参数，母平面是蜗轮滚刀基本蜗杆的产形面，和是蜗轮滚刀基本蜗杆和母平面分别绕自身轴线转过的角度，且，是传动比的倒数，，为压力角，为蜗轮齿数，为中心距，为主基圆半径，为母平面倾角，、和是齿面上点的三维坐标参数，和是自变量。

根据方程（1）和方程（2）如果直接给定自变量和的确定的取值范围，那么可以求出蜗轮滚刀基本蜗杆齿面上一系列点坐标，但是这些点不能实现全部控制在设计尺寸边界内，且无法根据这些点在同一截平面上描出蜗轮滚刀的轴向齿廓。过蜗轮滚刀基本蜗杆的轴线作一截平面，与蜗轮滚刀基本蜗杆齿面的交线即是蜗轮滚刀的两条副切削刃6和8。要获得滚刀两条副切削刃上点坐标，可联立齿面方程和截平面方程，然后给定限制条件圆环面半径，得一非线性方程组。但是此非线性方程组的解不唯一，在截平面上，每个齿上都可找到一个满足圆环面半径为的点，如图3所示，故普通的解非线性方程组的方法如牛顿下山法等难以求解其根。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种平面二次包络环面蜗杆传动蜗轮滚刀齿廓建模方法，该方法无需建立实体模型，易于实现，建模成本低，建模精度高。

为实现上述目的，本发明的技术方案是：一种平面二次包络环面蜗杆传动蜗轮滚刀齿廓建模方法，包括以下步骤：

（1）给定初始设计参数，包括中心距、传动比、母平面倾角、齿顶圆弧半径和齿根圆弧半径；

（2）求起始端对应的和：对于水平放置的蜗轮滚刀基本蜗杆，以蜗轮滚刀基本蜗杆右端作为起始端，沿螺旋线方向，左侧齿面定义为甲齿面，右侧齿面定义为乙齿面，右端面与乙齿面齿根圆弧线的交点对应的和即为起始端的和；采用黄金分割法求解：首先给定搜索区间，其中小于工作起始角，在基础上加上工作半角，在搜索区间内，每次给定值，求出满足圆环面半径为齿根圆弧半径的值，判断此和值确定的点是否在右端面上，满足圆环面半径为齿根圆弧半径的值的求解也采用黄金分割法；求出起始端的点坐标后，采用反三角函数求出起始端对应的值；

（3）求甲齿面上点坐标：与乙齿面上点相对应，甲齿面上点满足夹角和齿根圆弧半径，求点坐标即求点对应的和值，具体做法为：首先采用黄金分割法求出满足的值，搜索求解时，每次给定值，求出此值下满足的值，将此和值代入齿面方程，求出点坐标，然后判断是否满足；给定值，求满足的值时，同样利用黄金分割法；最后求出满足的值，以及此值下满足的即是甲齿面上点对应的和值；

（4）判断点坐标是否在滚刀工作范围内，若在，转步骤（5），若不在，转步骤（8）；

（5）求甲齿面上点坐标：采用与甲齿面上点坐标相同求法，但将满足圆环面半径由齿根圆弧半径换成齿顶圆弧半径，求与乙齿面上点相对应的甲齿面上点坐标；

（6）求和中间点坐标：和中间点指与和在同一截平面上且位于和中间的一系列离散点；和是截平面与一个齿单侧面交线的两个端点，此交线上单调变化，将分段取值后，求出满足条件的，即可得此交线上的一系列点、、……、，至此完成一条甲齿面对应的蜗轮滚刀副切削刃上点坐标求解；

（7）不断修改值，即变换截平面，并转步骤（3），求出一系列截平面与蜗轮滚刀基本蜗杆甲齿面的交线，也即完成甲齿面的建模；

（8）修正末端，并求此下、以及中间点的坐标：当超出滚刀工作范围，修正最后一次求得的，然后按步骤（3）、步骤（5）和步骤（6）的方法求出末端、以及中间点的坐标；末端的求解方法与步骤（2）中起始端的求解方法相同，需满足的条件是左端面和齿根圆弧半径，此处搜索区间的上限和下限分别是最后一次超出滚刀工作范围对应的值和其前一个对应的值；

（9）逐步求出与甲齿面相同下乙齿面上、及中间点的坐标：乙齿面上、及中间点的坐标与甲齿面上的求法相同，但省去了起始端和末端的求解；至此完成蜗轮滚刀副切削刃上点坐标的求解；

（10）求齿根圆弧面上点坐标：齿根圆弧面是一段圆弧绕蜗轮滚刀基本蜗杆的回转轴线旋转一周而成的完整曲面，曲面方程为：

其中为中心距，是齿根圆弧半径，、和是齿根圆弧面上点的三维坐标参数，和是自变量；给定可求出，从变化可得以为半径的一个圆，变化可得沿轴线方向的一系列圆，这些圆构成了滚刀基本蜗杆的齿根圆弧面，相同对应的点即为同一截平面与齿根圆弧面交线上的点；

（11）求主切削刃上点坐标：主切削刃是截平面与齿顶圆弧面相交而成的不连续的交线段，齿顶圆弧面与齿根圆弧面一样也是一个圆弧面，但是仅是被甲、乙齿面所夹的部分，齿顶圆弧面的曲面方程为：

其中为中心距，是齿顶圆弧半径，、和是齿顶圆弧面上点的三维坐标参数，和是自变量，和的几何意义与齿根圆弧面的和相同；由步骤（1）~（9）知，已求出图中的和点坐标，已知和点坐标，通过齿顶圆弧面方程反求其对应的值，即和；由于是在同一截平面上，截平面与齿顶圆弧面交线上每一点对应的值都相等，即或点对应的；已知，取和之间的一系列值，代入齿顶圆弧面方程即得一系列点坐标，这些点构成了和之间的齿顶圆弧线段；利用该方法，求出沿螺旋线方向的一些列齿顶圆弧线段，这些线段即为蜗轮滚刀的主切削刃；

（12）建立蜗轮滚刀的轴向齿廓模型：根据上述步骤所求得的蜗轮滚刀的主、副切削刃上点坐标及齿根圆弧面在轴向上的点坐标，分捡并重排各值下各坐标，加上两端的直线段，绘制各值对应的蜗轮滚刀轴向齿廓；

（13）建立蜗轮滚刀基本蜗杆的曲面模型：根据以上所求点坐标，并绘制蜗轮滚刀基本蜗杆两端面和起始端与末端使甲乙齿面封闭所需的端面，建立蜗轮滚刀基本蜗杆的曲面模型。

本发明的有益效果是解决了目前平面二次包络环面蜗杆传动蜗轮滚刀齿廓模型获取困难的问题，避开了先建立蜗轮滚刀基本蜗杆实体模型这一步，通过编程，运行即可得所要轴向齿廓，也即其刃口。该建模方法由于基于相应的齿面方程，建立的平面二次包络环面蜗杆传动蜗轮滚刀齿廓模型精确实用，且模型精度可根据需要调整，避免了建立蜗轮滚刀实体后再切除获得蜗轮滚刀齿廓的步骤，具有较高的实用价值。

附图说明

图1是现有平面二次包络环面蜗杆传动直槽蜗轮滚刀的示意图。

图2是图1蜗轮滚刀的一个刀齿的示意图。

图3是过蜗轮滚刀基本蜗杆轴线的截平面上满足圆环面半径为的点具有多个解的情况示意图。

图4是与母平面相固联的坐标系的示意图。

图5是母平面与滚刀基本蜗杆齿面接触线上一点P随、变化，在蜗轮滚刀基本蜗杆齿面上得到的曲线示意图。

图6是本发明水平放置的蜗轮滚刀基本蜗杆模型示意图。

图7是图6中蜗轮滚刀基本蜗杆模型起始端的局部示意图。

图8是在坐标系中，在至区间变化的示意图。

图9是在坐标系中，在至区间变化的示意图。

图10是齿根圆弧面的示意图。

图11是已知和点坐标，通过齿顶圆弧面方程反求其对应的和的示意图。

图12是一值对应的蜗轮滚刀轴向齿廓的示意图。

图13是另一值对应的蜗轮滚刀轴向齿廓的示意图。

图14是本发明建立的蜗轮滚刀基本蜗杆的曲面模型的示意图。

具体实施方式

滚刀基本蜗杆的齿面上每一点对应一个确定的和，求蜗轮滚刀的两副切削刃上的点坐标，也即求每一点对应的和。和的几何意义可参照图4，是与母平面相固联的坐标系，为母平面与滚刀基本蜗杆齿面接触线上一点，点在坐标系中坐标为，为坐标轴和的夹角。当固定，变化，可得对应的一系列点，这些点组成一条连续曲线，也即母平面在转过角度的情况下，与蜗轮滚刀基本蜗杆齿面的接触线，如图5所示曲线。当固定，变化，得到的是一条沿齿长方向的螺旋线，如图5所示曲线。基于这样的变化规律，参考图6，给定，可找到一值，此和确定点，且满足过点和蜗轮滚刀基本蜗杆轴线的半截面与正向的夹角为，当夹角为时，情况亦相同。给定，可找到一值，使此和确定的点满足圆环面半径。

基于以上的分析，本发明平面二次包络环面蜗杆传动蜗轮滚刀齿廓建模方法，包括以下步骤：

（1）给定初始设计参数，包括中心距、传动比、母平面倾角、齿顶圆弧半径和齿根圆弧半径等基本参数；

（2）求起始端对应的和：参照图6和图7，对于水平放置的蜗轮滚刀基本蜗杆，以蜗轮滚刀基本蜗杆右端作为起始端，沿螺旋线方向，左侧齿面定义为甲齿面，右侧齿面定义为乙齿面，右端面与乙齿面齿根圆弧线的交点对应的和即为起始端的和；采用黄金分割法求解：首先给定搜索区间，其中小于工作起始角，在基础上加上工作半角，在搜索区间内，每次给定值，求出满足圆环面半径为齿根圆弧半径的值，判断此和值确定的点是否在右端面上，满足圆环面半径为齿根圆弧半径的值的求解也采用黄金分割法，这样就形成了黄金分割法的嵌套；求出起始端的点坐标后，采用反三角函数求出起始端对应的值；

（3）求甲齿面上点坐标：如图7，与乙齿面上点相对应，甲齿面上点满足夹角和齿根圆弧半径，求点坐标即求点对应的和值，要唯一、有序的解出点坐标需合理控制搜索区间；具体做法为：首先采用黄金分割法求出满足的值，搜索求解时，每次给定值，求出此值下满足的值，将此和值代入齿面方程，求出点坐标，然后判断是否满足；给定值，求满足的值时，同样利用黄金分割法；最后求出满足的值，以及此值下满足的即是甲齿面上点对应的和值；

在步骤（3）中，给定值搜索满足的值时，需事先求出有解的搜索区间，所述有解的搜索区间的求解方法为：如图8、图9所示，线表示过点和蜗轮滚刀基本蜗杆轴线的半截面在平面内的投影绕原点沿顺时针方向转到所转过的角度为；、与意义相同，不同之处是所过点是分别取和时所得点和，，代表搜索区间的大小；是的搜索区间，当的值在至变化区间时，才是有解的搜索区间；一定范围内，当，所得至的变化区间没有包括时，那么，此时判断是否是有解区间比较容易，若满足，则是有解区间；当至的变化区间包括时，由于此时落在第四象限，所以，此时要判断是否是有解区间情况将比较复杂，将整个变化区间分成两部分，一部分称为的临域区间，另一部分称为其他区间，求有解的搜索区间也分为两种情况，一种是在的临域区间内，一种是在其他区间内；当在其他区间内，若满足，则为有解区间，否则，则为无解区间；当在临域区间内，首先当在内，若且则是有解区间，或者满足，也是有解区间，其他则为无解区间；当在内，若且则是有解区间，或者满足，也是有解区间，其他则为无解区间；至此，可以判断一个给定的区间是否是满足时有解的搜索区间；

对于求起始端点时，取步骤（2）所求并适当减去一定值作为，，减去一定值是出于保守的考虑，保证当前搜索区间在所求有解区间的前面；判断是否是有解区间，若不是，则将赋给，，继续判断；以第一次判断到是有解区间作为最后要求的有解的搜索区间；对于不是起始端的，取上一个齿廓对应的并减去一定值，；有解区间判断方法与前述相同。

（4）判断点坐标是否在滚刀工作范围内，若在，转步骤（5），若不在，转步骤（8）；判断点坐标是否在滚刀工作范围内只须判断点坐标是否超出即可；

（5）求甲齿面上点坐标：参照图7，采用与甲齿面上点坐标相同求法，但将满足圆环面半径由齿根圆弧半径换成齿顶圆弧半径，求与乙齿面上点相对应的甲齿面上点坐标；

（6）求和中间点坐标：和中间点指与和在同一截平面上且位于和中间的一系列离散点；和是截平面与一个齿单侧面交线的两个端点，此交线上单调变化，将分段取值后，求出满足条件的，即可得此交线上的一系列点、、……、，至此完成一条甲齿面对应的蜗轮滚刀副切削刃上点坐标求解；

 （7）不断修改值，即变换截平面，并转步骤（3），求出一系列截平面与蜗轮滚刀基本蜗杆甲齿面的交线，也即完成甲齿面的建模；具体操作是将减去,为整数，物理意义表示圆周方向截平面密度，越大，截平面越密；当时，修正，即将作为新的；

（8）修正末端，并求此下、以及中间点的坐标：当超出滚刀工作范围，修正最后一次求得的，然后按步骤（3）、步骤（5）和步骤（6）的方法求出末端、以及中间点的坐标；末端的求解方法与步骤（2）中起始端的求解方法相同，需满足的条件是左端面和齿根圆弧半径，此处搜索区间的上限和下限分别是最后一次超出滚刀工作范围对应的值和其前一个对应的值；

（9）逐步求出与甲齿面相同下乙齿面上、及中间点的坐标：乙齿面上、及中间点的坐标与甲齿面上的求法相同，但省去了起始端和末端的求解；至此完成蜗轮滚刀副切削刃上点坐标的求解；

（10）求齿根圆弧面上点坐标：齿根圆弧面是一段圆弧绕蜗轮滚刀基本蜗杆的回转轴线旋转一周而成的完整曲面，曲面方程为：

其中为中心距，是齿根圆弧半径，、和是齿根圆弧面上点的三维坐标参数，和是自变量；和的几何意义参照图10，给定可求出，从变化可得以为半径的一个圆，变化可得沿轴线方向的一系列圆，这些圆构成了滚刀基本蜗杆的齿根圆弧面，相同对应的点即为同一截平面与齿根圆弧面交线上的点；

（11）求主切削刃上点坐标：主切削刃是截平面与齿顶圆弧面相交而成的不连续的交线段，齿顶圆弧面与齿根圆弧面一样也是一个圆弧面，但是仅是被甲、乙齿面所夹的部分，齿顶圆弧面的曲面方程为：

其中为中心距，是齿顶圆弧半径，、和是齿顶圆弧面上点的三维坐标参数，和是自变量，和的几何意义与齿根圆弧面的和相同；如图11所示，由步骤（1）~（9）知，已求出图中的和点坐标，已知和点坐标，通过齿顶圆弧面方程反求其对应的值，即和；由于是在同一截平面上，截平面与齿顶圆弧面交线上每一点对应的值都相等，即或点对应的；已知，取和之间的一系列值，代入齿顶圆弧面方程即得一系列点坐标，这些点构成了和之间的齿顶圆弧线段；利用该方法，求出沿螺旋线方向的一些列齿顶圆弧线段，这些线段即为蜗轮滚刀的主切削刃；

（12）建立蜗轮滚刀的轴向齿廓模型：根据上述步骤所求得的蜗轮滚刀的主、副切削刃上点坐标及齿根圆弧面在轴向上的点坐标，在MATLAB中通过编程，分捡并重排各值下各坐标，采用plot3命令，加上两端的直线段，绘制各值对应的蜗轮滚刀轴向齿廓；图12、图13为两不同值对应的蜗轮滚刀轴向齿廓；

（13）建立蜗轮滚刀基本蜗杆的曲面模型：根据以上所求点坐标，并绘制蜗轮滚刀基本蜗杆两端面和起始端与末端使甲乙齿面封闭所需的端面，建立蜗轮滚刀基本蜗杆的曲面模型，如图14所示。

根据在MATLAB中编制好的程序，改变设计参数和值，运行即可得所要的蜗轮滚刀轴向齿廓。

以上是本发明的较佳实施例，凡依本发明技术方案所作的改变，所产生的功能作用未超出本发明技术方案的范围时，均属于本发明的保护范围。