1次元波動方程式から導出される線形の方程式の数学的な性質

摘要

電磁気現象の一つに屈折と同時に生じる部分反射があるが，物理学では電磁気を変分法で取り扱うことが多く，変分法では部分反射を無視している．数学の分野では，部分反射を意識することなく，波動方程式からFuchs functionが導かれ，それからモジュラー形式を導出した．回路理論で用いられる「縦続行列」は電圧と電流とが双対性を満たす二つの関数で表され，それらは同一の空間に存在していて，縦続行列はそれらを線形結合で表す数学的な道具であり，しかもモジュラー形式をも持つことが示された．今後の研究課題として，電磁気や量子力学に，モジュラー形式と双対性とを持った縦続行列を応用することにより，新しい機能や作用を明らかにする研究につなげることが期待できる．