ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОБЛЕМА СИНГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ В ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКЕ И МАТЕМАТИКЕ

摘要

Предлагается модифицированная форма дифференциальных уравнений, описывающих физические процессы, исследуемые в прикладной математике и механике. Отмечается, что решения классических уравнений в особых точках могут испытывать разрывы первого и второго рода, не имеющие физической природы и не наблюдаемые экспериментально. При выводе новых уравнений, описывающих физические поля и процессы, рассматриваются не бесконечно малые элементы среды, а элементы, обладающие конечными размерами. В результате классические уравнения включают нелокальные функции, осредненные по объему элемента, и дополняются уравнениями Гельмгольца, устанавливающими связь между нелокальными и актуальными физическими переменными, которые являются гладкими функциями, не имеющими особых точек. Рассмотрены сингулярные задачи теории математической физики и теории упругости. Полученные решения сопоставляются с результатами экспериментов.